高中數(shù)學 第一章4 空間圖形的基本關系與公理第1課時目標導學 北師大版必修2

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1、 4　空間圖形的基本關系與公理 第1課時　空間圖形的基本關系與公理1～公理3 問題導學 1．公理1的應用 活動與探究1 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別是所在棱的中點，連接D′M，交C′B′的延長線于點E，連接C′N，交CB的延長線于點F. 求證：直線EF平面BCC′B′. 遷移與應用 如圖，在△ABC中，若AB，BC在平面α內，試判斷AC是否在平面α內． 公理1的作用：(1)用直線檢驗平面；(2)判斷直線是否在平面內，要證明直線在平面內，我們需要在直線上找到兩個點，這兩個點都在這個平面內，那么直線就在這個平面內．解決問題的關鍵就在于尋找這

2、樣的點． 2．公理2的應用 活動與探究2 已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求證：a，b，c三條直線在同一平面內． 遷移與應用 1．經(jīng)過同一直線上的三個點的平面(　　)． A．有且只有一個　　　B．有且只有三個 C．有無數(shù)個 D．不存在 2．已知A∈l，B∈l，C∈l，Dl(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面． 公理2的作用：(1)確定一個平面；(2)證明點、線的共面問題；(3)判斷一圖形是否為平面圖形．對于平面的確定問題，務必分清它們的條件，對于證明幾點(或幾條直線)共面問題，可先由其中幾個點(或直線)確定一個平面后，再證明其他點(或直線)也

3、在該平面內即可． 3．公理3的應用 活動與探究3 已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R三點(如圖)，求證：P，Q，R三點共線． 遷移與應用 如圖，在三棱錐S－ABC的邊SA，SC，AB，BC上分別取點E，F(xiàn)，G，H，若EF∩GH=P，求證：EF，GH，AC三條直線交于一點． 1．公理3的作用：(1)判斷兩平面是否相交；(2)證明點在直線上；(3)證明共線問題；(4)證明共點問題．證明三點共線問題的常用方法有：方法一是首先找出兩個平面，然后證明這三個點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，這些點都在交線上．方法二是選擇其中兩點確定一條直線，然后

4、證明另一點在其上． 2．證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點． 當堂檢測 1．點P在直線l上，而直線l在平面α內，用符號表示為(　　)． A．Pl，lα B．P∈l，l∈α C．Pl，l∈α D．P∈l，lα 2．如圖所示是表示兩個相交平面，其中畫法正確的是(　　)． 3．下列說法正確的是(　　)． A．線段AB在平面α內，直線AB不會在α內 B．平面α和β有時只有一個公共點

5、 C．三點確定一個平面 D．過一條直線可以作無數(shù)個平面 4．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，BB1的中點，則D1E與CF的延長線交于一點，此點在直線(　　)． A．AD上　　　 B．B1C1上 C．A1D1上 D．BC上 5．如圖，O1是正方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點．求證：O1，M，A三點共線． 提示：用最精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記. 答案： 課前預習導學 預習導引 1．(1

6、)點在直線上　點在直線外 A∈l　Bl　(2)點在平面內　點在平面外　(3)同一平面　沒有公共點　a∥b　只有一個公共點　a∩b＝P　不同在任何一個平面內　(4)有無數(shù)個公共點　只有一個公共點　l∩α＝P　沒有公共點　l∥α　(5)沒有公共點　α∥β　不重合但有公共點 預習交流1　提示：不能．如圖所示，a在平面α內，b在平面β內，但是a與b平行． 預習交流2　提示：當兩直線在同一平面內時，沒有公共點就一定平行；在空間中，當兩直線不同在任何一個平面內時，沒有公共點，是異面直線． 2．兩點　所有的點　在平面內　lα　不在同一條直線上　有且只有　確定　有且只有一個平面α　有一個公共點　有

7、且只有　α∩β＝l且A∈l 預習交流3　提示：“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一．“有且只有”強調的是存在性和唯一性兩個方面，確定一個平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩個方面． 預習交流4　提示：(1)能；(2)能；(3)能． 課堂合作探究 問題導學 活動與探究1　思路分析：要證明直線在平面內，只需證明直線上有兩個點在這個平面內． 證明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′， ∴直線BC平面BCC′B′. 又∵C′N∩CB＝F， ∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′. 同理可得E∈平面BCC′B′. ∴直線EF平面BCC′B′

8、. 遷移與應用　解：AC在平面α內，證明如下： ∵AB在平面α內，∴A點一定在平面α內． ∵BC在平面α內，∴C點一定在平面α內．∴A點、C點都在平面α內．∴直線AC在平面α內． 活動與探究2　思路分析：依題意，可先證a與b確定一個平面，再證明c在這個平面內，從而可證a，b，c在同一平面內． 證明：∵a∥b，∴a與b確定一個平面α， ∵a∩c＝A，∴A∈a，從而A∈α； ∵b∩c＝B，∴B∈b，從而B∈α. 于是ABα，即cα，故a，b，c三條直線在同一平面內． 遷移與應用　1．C 2．證明：因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內即可．

9、 因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα. 同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α內，即它們共面． 活動與探究3　思路分析：只需證明P，Q，R三點在平面ABC內，又在平面α內，再利用公理3推得結論． 證明：方法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，點P在平面ABC與平面α的交線上． 同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上， ∴P，Q，R三點共線． 方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. 又B

10、∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC平面APR.又∵Q∈直線BC， ∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR.∴P，Q，R三點共線． 遷移與應用　證明：∵E∈SA，SA平面SAC，F(xiàn)∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F(xiàn)∈平面SAC，∴EF平面SAC. 同理可得GH平面ABC. 又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC. ∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC， 即直線EF，GH，AC共點于P. 當堂檢測 1．D　2．D　3．D　4．B 5．證明：因為上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C1平面A1C1CA，B1D1平面AB1D1， 所以，O1是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點． 又因為A1C∩平面AB1D1＝M， A1C平面A1C1CA， 所以，M是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點． 又因為A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA， 所以，A是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點． 所以，O1，M，A都是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點，由公理3可知，O1，M，A三點共線． 5