[初一數(shù)學]滬教版初一下數(shù)學詳細講義

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1、第十二章 實數(shù) 第1講 實數(shù)的概念 【知識要點】 1. 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),也就是不能用兩整數(shù)比表示的數(shù). 無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù).只有符號不同的兩個無理數(shù)是互為相反數(shù). 2. 實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù). 3. 實數(shù)分類： 【學習目標】 理解無理數(shù)、實數(shù)的概念 【典型例題】 【例1】 下列表述是否正確,并說明理由： （1）一個實數(shù),不是正數(shù),就是負數(shù).（2）有限小數(shù)都是有理數(shù),無限小數(shù)都是無理數(shù). （3）一個有理數(shù)不是整數(shù),就是負數(shù).（4）一個無理數(shù),不是正數(shù)就是負數(shù). （5）一個實數(shù)不是有理數(shù),就是無

2、理數(shù). 【分析】利用實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的概念. 【解答】因為零是實數(shù),但它既不是正數(shù)也不是負數(shù),在（1）的實數(shù)分類中并沒有把零包括在內(nèi),所以（1）不正確. 無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),所以（2）不正確. 因為零是有理數(shù),它既不是正數(shù)也不是負數(shù),在（3）的有理數(shù)分類中沒有把零包括在內(nèi),所以（3）不正確. 無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù),所以（4）正確. 實數(shù)是有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱,所以（5）正確. 【注】零在實數(shù)中仍是正、負數(shù)的分界點,不可忽視. 【例2】選擇題： （1） 在實數(shù)范圍內(nèi),有一個數(shù)不是正實數(shù),這個數(shù)一定是 （A） 負實

3、數(shù) （B）負有理數(shù) （C）非正實數(shù) （D）非負實數(shù) （2） 實數(shù)(兩個11之間依次多一個0)中,無理數(shù)的個數(shù)有 （ ） （A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）5個 【解答】（1）按實數(shù)可以分為正實數(shù),零,負實數(shù),非正實數(shù),即零或負實數(shù),選（C）. （2）判斷無理數(shù)應根據(jù)無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”來斷定,應選（B）. 【例3】分別將下列各數(shù)填入相應的橫線上： （每兩個3之間1的個數(shù)依次多1

4、） 有理數(shù)是 無理數(shù)是 【分析】有理數(shù)是能表示為形式的數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),分別用這兩條標準去檢驗上面的數(shù)得出正確結(jié)果. 【解答】有理數(shù)是： 無理數(shù)是：（每兩個3之間1的個數(shù)依次多1）. 【基礎訓練】 1. 實數(shù)可以分為和兩類. 2． 有理數(shù)可以分為和;但按符號來分還可以分為、和. 3．叫無理數(shù). 4．,無理數(shù)有個,它們是 5．寫出在2和3之間的一個無理數(shù). 第2講 數(shù)的開方 （1）平方根和開平方 【知識要點】 1.平方根 如果一個數(shù)的平方根等于,那么這個數(shù)叫做的平方根,也可敘述為：“如果,那么就叫做的平方根.” 2.開平方

5、 求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方,叫做被開方數(shù). 3.平方根的性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù).正數(shù)的兩個平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根）,讀作“根號”; 表示的負平方根,讀作“負根號”. 零的平方根記作,. 因為任何一個正數(shù)、負數(shù)或零的平方都不是負數(shù),所以負數(shù)沒有平方根. 4.開平方與平方的關(guān)系 開平方與平方互為逆運算,根據(jù)平方根的意義,“如果,那么叫做的平方根”, 記作,我們得到： （1）一個正數(shù)的平方根的平方等于這個數(shù),即：當時, （2）一個正數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù),即：當時, 一個負數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù)的相反

6、數(shù),即：當時, 【學習目標】 1.理解平方根與開平方的概念; 2.理解開平方與平方互為逆運算的關(guān)系; 3.掌握平方根的性質(zhì),分清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別,并知道它們之間的聯(lián)系. 【典型例題】 例1 判斷下列說法是否正確： （1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9. （4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是 【解答】（1）不正確.因為1是正數(shù),1的平方根有兩個,是. （2）不正確.因為-16是負數(shù),負數(shù)沒有平方根. （3）不正確.應該是的平方是9. （4）不正確.表示81的正的平方根.它是一個正數(shù),=9

7、,而. （5）正確.因為根據(jù)平方根的概念,-7是49的平方根,但反過來說,49的平方根是-7就錯了. (6)不正確.,的平方根即為4的平方根,所以的平方根應是. 【點評】解答這道題目是對鞏固和掌握平方根的概念和性質(zhì)不可忽視的基本訓練. 【例2】求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算術(shù)平方根）;求的值就是求的負的平方根（即的算術(shù)根的相反數(shù)）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算術(shù)平方根的相反數(shù).搞清各式的符號語言的意義,是得到正確解的關(guān)鍵. 【解答】（1） （

8、2） （3） （4） 【例3】求下列各數(shù)的平方根： （1）0.64 （2） （3）0 （4） 【解答】（1）的平方根是即： （2） （3） （4） 【點評】運用平方運算求一個非負數(shù)的平方根是常用的方法.用符號語言表示一個非負數(shù)的平方根,應由不習慣到習慣,這對加深平方根概念和性質(zhì)的理解有好處. 【例4】 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根. 【分析】由已知得：=,即： ①, ②, 解由方程①和②組成的方程組得和的值,再求的平方根. 【解答】由已知得解得的平方根是. 【基礎訓練】 1.下列說法正確的是

9、（ ） （A）因為3的平方是9,所以9的平方根是3 （B）因為-3的平方是9,所以9的平方根是-3 （C）因為的底數(shù)為-3,所以沒有平方根 （D）因為-9是負數(shù),所以-9沒有平方根 2.下列各數(shù)是否有平方根,如果有,有幾個？并說明理由. （1）（2）-8 （3）0 （4） 3.已知與互為相反數(shù),求的值 4.求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根 （1）0.0009 （2） （3） 5.求值. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【提高訓練】 1.一個數(shù)的算術(shù)平方根為,比這個數(shù)大2的數(shù)是

10、 ( ) (A) （B） （C） （D） 2. ,則的取值范圍為 （ ） (A) （B） （C） （D） 3.若,則 4.已知,求的值. 5.已知一個正數(shù)的平方根是和,求的值. 6.已知為實數(shù),求的最小值和取得最小值時的值. 第2講 數(shù)的開方 （2）立方根和開立方 【知識要點】 1.立方根 與平方根類似,有： 如果一個數(shù)的立方等于,那么這個數(shù)叫做的立方根,用“”表示,讀作“三次根號”,中的叫做被

11、開方數(shù),“3”叫做根指數(shù);也可敘述為“如果,那么就叫做的立方根”,記作. 2.開立方 求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.開立方與立方互為逆運算. 3.立方根的性質(zhì) 我們已學過正數(shù)的立方是一個正數(shù),負數(shù)的立方是一個負數(shù),零的立方等于零,由立方運算可知正數(shù)有一個正立方根,負數(shù)有一個負立方根,零的立方根是零,也就是說任意一個數(shù)都有立方根,而且只有一個立方根. 類似于平方與開平方之間的關(guān)系,根據(jù)立方根的意義,可以得到 .（以上是實數(shù)） 方法與技能：一個數(shù)的立方根記作“”,根指數(shù)3不能忽略. 由于,有,,有,可見.一般地,如果>0則,,如果把非負數(shù)的立方根叫做算術(shù)立方根,那么負數(shù)的立方根

12、可以由它的相反數(shù)的算術(shù)立方根的相反數(shù)來表示,也就是把“—”號提到根號外面來. 典型剖析 【學習目標】 1.理解立方根與開立方的概念; 2.理解開立方與立方互為逆運算的關(guān)系; 【典型例題】 【例1】 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【分析】 由立方根的意義,如果,那么就叫做的立方根,記作,可知的立方根的立方：. 【解答】 （1） （2） 也可以這樣求： （3） （4） 【例2】 判斷題（對的打“√”,錯的打“”） （1）1的立方根是. （2）任何數(shù)都有立方根. （3）

13、如果,那么. （4）兩個互為相反數(shù)的立方根也是互為相反數(shù). （5）一個數(shù)的立方根和平方根都是它本身,這個數(shù)是0或1. （6）的平方根是. 【解答】（1）（）. 1的立方根是1. （2）（√）.任何實數(shù)都有唯一的立方根,記作. （3）（√）.因為是的立方根,則;同理,.由可推出,即.. （4）（√）. ,兩個互為相反數(shù)的立方根也互為相反數(shù). (5) () 如果一個數(shù)的立方根是它本身,則 或.如果一個數(shù)的平方根是它本身,則,則,所以或1. （6）（√）. ,它的平方根為. 【例3】 若<0,則______________. 【解答】<0,. 【例4】 求下列各

14、數(shù)的立方根 （1）0.216 （2） （3） 【分析】運用立方運算求一個數(shù)的立方根是常用的方法,求帶分數(shù)的立方根,要先將帶分數(shù)化為假分數(shù).用這個性質(zhì)有,但對于平方根來說不能適用,因為復數(shù)沒有平方根. 【解答】（1） 的立方根是0.6,即. （2）,而 的立方根是,即. （3） 的立方根是,即; 的立方根是,即. 【基礎訓練】 1. 判斷 （1）的立方根是和

15、 （ ） （2）的的立方根是沒有意義的 （ ） （3）的立方根是 （ ） （4）的立方根是4 （ ） （5）是的立方根 （ ） 2.下列說法正確的是（

16、 ） （A）一個數(shù)的立方根有兩個,且它們互為相反數(shù) （B）任何一個數(shù)必有立方根和平方根 （C）一個數(shù)的立方根必與這個數(shù)同號 （D）負數(shù)沒有立方根 3. 求下列各數(shù)的立方根： 4.求下列各式的值： 5.計算： 【能力提高】 1.設,則的立方根= . 2.若求的值. 3.已知是的算術(shù)平方根, 是的立方根, 求的立方根. 4.解方程： 5.立方根有如下性質(zhì)： (1)計算：的值. (2)設用含的代數(shù)式表示. 第2講

17、 數(shù)的開方 （3）次方根 【知識要點】 1.次方根 如果一個數(shù)的次方(是大于1的整數(shù))等于,那么這個數(shù)叫做的次方根,也可敘述為“如果(是大于1的整數(shù)),那么就叫做的次方根”,記作.平方根和立方根是次方根的特例. 2.開次方 求一個數(shù)的次方根的運算叫做開次方,叫做被開方數(shù), 叫做根指數(shù). 次方根簡稱為“方根”;開次方簡稱“開方”. 3.次方根的性質(zhì) 由于次方根包含平方根和立方根在內(nèi),而平方根和立方根有不同的性質(zhì),這使得研究次方根的性質(zhì)時,必然要把指數(shù)按奇數(shù)或偶數(shù)分別進行研究. 與立方根類比：實數(shù)的奇次方根有且只有一個,用“”表示,其中被開方數(shù)是任意一個實數(shù),根指數(shù)是大于1

18、的奇數(shù). 與平方根類比：正數(shù)的偶次方根有兩個,它們互為相反數(shù),正次根用“”表示,讀作“次根號”,負次根用“”表示,其中被開方數(shù),根指數(shù)是正偶數(shù)（當時,在中省略）,負數(shù)的偶次方根不存在. 因為零的次方等于零,所以零的次方根等于零,表示為 方法與技能：研究次方根,必須用分類思想把指數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)來考慮,學習奇次根式時與立方根類比,學習偶次根式時與平方根類比,這種類比方法是數(shù)學思維重要方法之一. 綜上,無論為奇數(shù)還是偶數(shù),對于正數(shù)的正次方根都記作,稱為正數(shù)的次算術(shù)根.（的次算術(shù)根為零）正數(shù)的次算術(shù)根,有下列重要性質(zhì)： （為大于或等于2的整數(shù)） 即根指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)如果有公因數(shù)則可以

19、約去,這一公式可以順用,即將化為反過來,也可以將化為. 【學習目標】 1.理解次方根的概念; 2.理解開次方與次乘方互為逆運算的關(guān)系; 【典型例題】 【例1】 求值： （1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根 （4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）的五次方根 【分析】 運用乘方運算求方根的值是常用的方法,對于正數(shù)的偶次方根有兩個,它們互為相反數(shù)要充分理解,求次方根的值必須考慮指數(shù)的奇、偶性,增強分類的意識,學會正確的語言表述是很重要的,給書寫也帶來簡

20、便. 【解答】 （1） 32的五次方根 （2） -32的五次方根 （3） 16的四次方根 （4） 64的六次方根 （5） 0.000064的六次方根 （6） 的五次方根 【例2】 選擇題： 1.下列語句中,正確的是（ ） （A）正數(shù)的次方根記作 （B）如果是偶數(shù),當且僅當是非負實數(shù)時,則有意義 （C）零的次方根無意義 （D）任何實數(shù)都能開方 2.在實數(shù)范圍內(nèi)能開偶次方根的條件是（ ） （A）為任意實數(shù) （B） （C） （D）

21、 【分析】理解立方根和開立方的概念 【解答】1.（B） 當是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根記作“”, 當是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根記作“”,故（A）錯. 當為非負實數(shù)時,有偶次方根,所以（是偶數(shù)）有意義,故（B）對.零的次方為零,故（C）錯. 負數(shù)沒有偶次方根,任何實數(shù)不一定都能開方,故（D）錯. 2.（C） 由被開方數(shù)解得,故選（C）. 【例3】求適合下列等式中的. （1） （2） 【分析】理解開次方與次乘方互為逆運算的關(guān)系 【解答】（1）是的立方根,因為,所以是的立方根,因此 ,即. （2）由已知可知,是的四次方根,由于,所以是的四次方根,因此,即.

22、 【基礎訓練】 1.的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ） 3. 的四次方根是（ ） 4. 的五次方根是（ ） 5.如果,那么 6.下列式子中,正確的是 7.用符號表示下列各方根,并求出各方根的值. (1) 的三次方的三次方根 （2）的六次方根 （3）—8平方的六次方根 8.計算： 【能力提高】 1.下列各式不正確的是 2. 3.計算： 4.已知是自然數(shù), 是實數(shù)且成立.試討論及的取值范圍. 第3講 實數(shù)的運算 （1）用數(shù)軸上的點表示

23、實數(shù) 【知識要點】 知識點1 用數(shù)軸上的點表示無理數(shù) 方法一：用畫圖的方法找到數(shù)軸上的一個點來表示它.例如：邊長為的正方形,對角線長為（這在學習了直角三角形中勾股定理后很容易知道, 現(xiàn)在暫不作介紹）,我們可以在數(shù)軸上以一個單位長為邊長作一個 正方形,以原點為圓心,正方形對角線為半徑作弧,與數(shù)軸正 半軸交于點就表示無理數(shù),與數(shù)軸負半軸交于點就表示 圖1 無理數(shù). 方法二：用無限不循環(huán)小數(shù)點的近似值來確定這個點的位置.例如：可以精確到百分位的近似數(shù)來確定數(shù)軸上表示這個點的位置.

24、 知識點2 數(shù)軸上的點和實數(shù)成一一對應 每一個有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示,反過來數(shù)軸上的每一個點都可以用一個有理數(shù)或無理數(shù)表示.為有理數(shù)和無聊隸屬統(tǒng)稱為實數(shù),因此,全體實數(shù)所對應的點布滿了整個數(shù)軸,數(shù)軸上的點和實數(shù)成一一對應. 知識點3 實數(shù)的相反數(shù)和絕對值 一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離,叫做這個數(shù)的絕對值,實數(shù)的絕對值記作 ,

25、 當時 當時 當時 絕對值相等,符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),零的相反數(shù)是零,非零實數(shù)的相反數(shù)是. 知識點4 兩個實數(shù)大小的比較 兩個實數(shù)可以比較大小,其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣,負數(shù)小于零,零小于正數(shù),兩個正數(shù),絕對值大的數(shù)較大;兩個負數(shù),絕對值大的反而小,從數(shù)軸上看,右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點索表示的數(shù)大. 知識點5 同一數(shù)軸上,兩點間的距離 在數(shù)軸上,如果點、點索對應的數(shù)分別是,那么兩點的距離. 方法與技能：當有理數(shù)系擴展到實數(shù)后,有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、大小比

26、較法則都自然延伸到實數(shù)系.有關(guān)概念、性質(zhì)仍然正確,特別是數(shù)形結(jié)合思想仍然是研究的重要方法.了解了數(shù)學系擴大的原則,大大的提高了學習的效率. 【學習目標】 1.會用數(shù)軸上的點表示實數(shù); 2.理解在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)的概念,會比較實數(shù)的大小; 【典型例題】 【例1】寫出下列各數(shù)的相反數(shù)與絕對值： ,,,,, 【分析】與有理數(shù)一樣,實數(shù)的相反數(shù)是;實數(shù)的絕對值的為或. 【解答】 的相反數(shù)是,絕對值是; 的相反數(shù)是,絕對值是; 的相反數(shù)是,絕對值是; 的相反數(shù)是,絕對值是; 的相反數(shù)是,絕對值是; 的相反數(shù)是,絕對值是 【例2】比較與的大小. 【分析】

27、 可以先將無理數(shù)用近似的有限小數(shù)表示,轉(zhuǎn)化為有理數(shù)后再進行比較. 【解答】 【例3】 如圖2,在數(shù)軸上,如果點、點所對應的數(shù)分別為和,求 兩點間的距離. 圖2 【解答】 【注】 也可以這樣計算： 【例4】 已知在數(shù)軸上的位置如圖3所示,則的值等于（ ） （A） （B

28、） （C） （D）

29、 圖 3 【解答】 如圖12-5所示,知. 原式.選（C）. 【例5】 當是,（ ） （A） （B） （C）

30、 （D） 【解答】 原式,選（B）. 【例6】 當?shù)闹底畲髸r,的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解答】 . 當且僅當時,的值最大,為,此時,選（D）. 【分析】 由于二次根式表示的算術(shù)平方根,隱含條件是,,結(jié)合不等式的性質(zhì),獲得如上. 對于的幾何意義是表示數(shù)軸兩點間的距離,也是數(shù)形結(jié)合重要知識點,首先,其次與實數(shù)絕對值概念結(jié)合,當時,.這是有廣泛應用的知識點. 【例7】 如果,求的取值范圍. 【解答】 ,表示點到點的距離;表示點到點的距離,從圖4上觀察,

31、 圖4 當點在點到點之間時,恒有 . . 【基礎訓練】 1.無理數(shù)可以用（ ）點來表示. 2.數(shù)軸上的點都表示（ ）數(shù). 3.在數(shù)軸上表示的點離開原點的距離是（ ）. 4．的相反數(shù)、絕對值依次是（ ）、（ ）. 5.在數(shù)軸上分別標出所對應的點的大致位置. 6.設在數(shù)軸上對應的點是,在數(shù)軸上對應的點是,那么、兩點間的距離是

32、 （ ） 7.比較下列各組數(shù)的大小. 【能力提高】 1.如果試化簡: 2.由,試在與之間求一個無理數(shù);在與之間求兩個無理數(shù). 3.已知為實數(shù),化簡: 4.一個正實數(shù)的兩個4次方根分別為與,求與這個正實數(shù). 第3講 實數(shù)的運算 （2）實數(shù)的運算 【知識要點】 知識點1 算術(shù)平方根的積和商 注意：公式都是雙向的,既可從左到右,也可從右到左,這里的都是算術(shù)平方根,非算數(shù)平方根,公式不一定成立. 當

33、且僅當時,成立.如,就不能直接應用,應將化為再進行. 另一方面,對于上節(jié)已提到的算術(shù)根的基本性質(zhì),更要仔細對待. 對于,如下的應用十分頻繁： (根號內(nèi)的數(shù)可以移到根號外;反過來,也可把根號外的數(shù)移到根號內(nèi)),這里要特別注意的正負,如則 知識點2 近似數(shù)的精確度 近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精確度. 近似數(shù)的精確度有以下兩種表達方式： 一種是精確到哪一個數(shù)位,例如精確到千分位（即保留3位小數(shù)）,那么準確數(shù)與近似數(shù)的誤差不大于0.0005（即萬分之五）,這是因為近似數(shù)是經(jīng)過四舍五入截取得到的. 另一種是指定保留幾個有效數(shù)字.對于一個近似數(shù),從左邊第一

34、個不是零的數(shù)字起,往右到末尾數(shù)字為止的所有數(shù)字,叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字.如果保留五個有效數(shù)字,π的近似值為3.1416.那么π的準確值在3.14155與3.14165之間,絕對誤差為0.00005.如用π代表圓周率的準確值,則 利用無理數(shù)的近似數(shù)作計算時,中間過程中,應比最后要求精確度多保留一位數(shù)字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值. 知識點1和2都是難點,應結(jié)合典例剖析仔細理解. 【學習目標】 1.掌握實數(shù)的加減乘除運算; 2.會運用算術(shù)平方根的積和商進行計算,理解近似數(shù)的精確度. 【典型例題】 【例1】不用計算器,計算： 【分析】掌握實數(shù)的加減乘除

35、運算,通過合并同類項以及算術(shù)平方根的積和商來計算. 【例2】已知化簡：（使分母不含根號）. 【分析】運用算數(shù)平方根的積和商來計算 【解答】 【例3】化簡,再用計算器求值,要求保留兩位小數(shù). 【分析】運用算數(shù)平方根的商運算 【例4】計算： 【解答】, 【例5】 當時,化成分母不含根式的式子. 【解答】 【例6】化簡的結(jié)果是 （ ） 【基礎訓練】 1．計算的結(jié)果是（ ） （A） （B）

36、 （C） （C） 2．下列式子中,正確的是（ ） （A） （B） （B） （D） 3．下列各式中,正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．要使有意義,則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C）且 （D）且 5．把跟號外的因式移到根號內(nèi),得（ ） （A） （B） （C） （D） 填空題：

37、 6. 如果,那么,. 7．如果,則. 8．計算. 9．計算. 10．若,則. 【能力提高】 1．已知為實數(shù),,求的值. 2．已知,求（1）（2） 3．計算. 4．已知等式求的值 5．已知且,試求的值. 第4講 分數(shù)指數(shù)冪 【知識要點】 知識點1 （1）分數(shù)指數(shù)冪概念. 把指數(shù)的取值范圍擴大到分數(shù),我們規(guī)定：其中為正整數(shù),

38、.在這規(guī)定中的與叫做分數(shù)指數(shù)冪, 是底數(shù). (2)有理數(shù)指數(shù)冪概念 整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為有理數(shù)指數(shù)冪. 知識點2 運用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算 （1） 有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)： 設為有理數(shù),那么① ② ③ （2） 利用冪的性質(zhì)計算. 冪的指數(shù)取值范圍擴大到有理數(shù)后,冪的運算性質(zhì)仍舊適用. 【學習目標】 1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念以及會運用指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算; 2.理解分數(shù)指數(shù)冪的意義與表示方式以及它與算術(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系. 【典型例題】 【例1】 把下列方根轉(zhuǎn)化為冪的形式,冪的形式轉(zhuǎn)化為方根形式. 【分析】分數(shù)指數(shù)冪與方根互化時,方根的根

39、指數(shù)作為分數(shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)的指數(shù)作為分數(shù)指數(shù)的分子. 【解答】 【例2】 計算：（結(jié)果用冪的形式表示） 【分析】運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算 【解答】 【例3】 利用冪的運算性質(zhì)運算： 【分析】利用方根形式轉(zhuǎn)化為冪的形式,通過冪的性質(zhì)來解決. 【解答】 【例4】 化簡： 【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪化簡求值. 【解答】 【例5】已知說明成立. 【分析】 引用輔助字母,利用冪的運算性質(zhì)找出的關(guān)系. 【解答】設 當時,等式顯然成立. 若則 所以 因為, 所以 兩邊同乘以得

40、 所以 【基礎訓練】 1.把寫成冪的形式 . 2.把寫成方根的形式 . 3.下列各式中錯誤的是 （ ） 4.設則可化為 5.如果則 （ ） 6. = . 7.計算 . 8.計算： 9.計

41、算： 10.計算： 【能力提高】 1. 2. 3.計算： 4.化簡： 5.解答題： 已知求的值. 《實數(shù)》章節(jié)測試 （全卷共三個大題,滿分150分,考試時間90分鐘） 一、選擇題（本大題共6個小題,每小題4分,共24分） 1.下列說法正確的是 （ ） A．無限小數(shù)是無理數(shù)

42、 B.帶根號的數(shù)都是無理數(shù) C．無理數(shù)是無限小數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù) 2.－27的立方根與的平方根之和為 （ ） A.0 B.6 C.0或-6 D.0或6 3.下列式子中,正確的是 （ ） A． B. C. D. 4.有下列說法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應;②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù);③負數(shù)沒有立方根;④無

43、理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù)和零.其中正確的有 （ ） A．0個 B.1個 C. 2個 D.3個 5.若式子有意義,則得取值范圍是 （ ） A． B. C. D.以上都不對 6.下列說法正確的有 （ ） ①一個數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個數(shù)的相反數(shù)的立方根;②64的平方根是8,立方根是4;③表示的平方根,表示的立

44、方根;④一定是負數(shù) A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ①④ 二、填空題（本大題12個小題,每小題4分,共48分） 7. 的算術(shù)平方根是 ,的平方根是 . = 8. 比較大小： 1.7 ; ; 2 9. 若,則 ;若,則 ;若, ; 10. 的相反數(shù)是 , 絕對值等于的數(shù)是 11. 若, 則 ;,且,則

45、 . 12. 如果正方體的體積擴大為原來的27倍,則邊長擴大為原來的 倍;若體積擴大為原來的2n倍,則邊長擴大為原來的 倍. 13. 如果,都是有理數(shù),且,則= ,= 14. 已知,則 15. 若,則化簡的結(jié)果是 16.若,都是無理數(shù),且,則,的值可以是 .（填一組） 17．若n為自然數(shù),那么＝ ． 18．在兩個連續(xù)整數(shù)和之間,,那么,的值分別是 ． 三、解答題（本大題7個小題,共78分） 19.

46、將下列各數(shù)的序號填在相應的集合里.（10分） ①,②,③3.1415926,④－0.456,⑤3.030030003……（每相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐漸多1）,⑥0,⑦,⑧－,⑨,⑩ 有理數(shù)集合：{ ……}; 無理數(shù)集合：{ ……}; 正實數(shù)集合：{ ……}; 整數(shù)集合： { ……}; 20.計算（10分） ⑴ （ 精

47、確到0.01） ⑵ 21.（10分）已知的平方根是,的算術(shù)平方根是4,求的平方根. 22.（10分）已知,為實數(shù),且滿足,則的值是多少？ 23.（12分）已知,滿足,求的平方根. 24.（12分）閱讀下面的文字,解答問題. 大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎？ 事實上,小明的表示方法是有道理,因為的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)

48、部分. 請解答：已知：,其中是整數(shù),且,求的相反數(shù). 25.（14分）觀察下列各式：請寫下你猜想的規(guī)律,用自然數(shù)的代數(shù)式表示,并證明你的猜想. 第14章 三角形 第一講 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 【知識要點】 1．三角形的概念：由不在同一直線上的三點順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形叫做三角形。 由三角形的概念可知，三角形三邊有以下關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。 2

49、. 三角形的三邊與三內(nèi)角是三角形的六要素。 3. 三角形的特殊線段：三角形的高、中線、角平分線。 （1） 三角形的三條高的交點在銳角三角形內(nèi)、在直角三角形直角頂點、在鈍角三角形外； （2） 三角形的三條中線的交點在三角形內(nèi)； （3）三角形的三條角平分線的交點在三角形內(nèi)。 4. 三角形的分類 （1） 按角分 （2）按邊分 【注意】 在做三角形分類的題目時，要注意重合的部分，比如等邊三角形也屬于等腰三角形和銳角三角形。 5. 三角形的內(nèi)角和等于180. 【注意】（1） 直角三角形兩銳角互余。 （2） n邊形內(nèi)角和等于（n－2）180. 6.三角形的外角：三角形內(nèi)角的鄰

50、補角。 由5和6我們可以推出:三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。進而可知，三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。 7. 三角形的外角和等于360. 【注意】n邊形的外角和都等于360. 【學習目標】 1． 理解三角形的概念，理解三角線的邊、角、高、中線、角平分線等有關(guān)概念以及三角形的分類； 2． 理解三角形的構(gòu)成條件，在解題中牢記要檢驗兩邊之和是否大于第三邊； 3．熟練使用三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)。 【典型例題】 1．判定能否構(gòu)成三角形 【例1】下列長度的三條線段中，不能組成三角形的是（ ） （A） 6cm，8cm，12cm （B）8c

51、m，12cm，15cm （C） 4cm，8cm，12cm （D） 【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判定。小技巧：已知最大邊的情況下，只需用最大邊與其余兩邊之和比較。 【解答】（C）. 較小兩邊之和＝4+8＝12cm，最大邊＝12cm，不符合“兩邊之和大于第三邊”，所以選（C）。 【例2】若ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11，有一邊長為4，則這個三角形的最大邊長為________. 【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”得出最長邊可取值的范圍，然后取其中的最大值。 【解答】設最長邊長為x，則第三邊為11－4－x，所以11－4－x + 4 > x，x < 5.5;

52、x為最長邊，所以x > 4且x > 11－4－x，x > 4; 所以4 < x < 5.5，整數(shù)x＝5. 【例3】三角形的三邊長分別為a，b，c，那么代數(shù)式c2+2ab-b2-a2是（ ） （A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D）與零的大小關(guān)系不能確定 【分析】因式分解后，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判斷因式符號。 【解答】c2+2ab-b2-a2＝c2-(a-b)2 = (c+a-b)(c+b-a)，因為兩邊之和大于第三邊， c+a-b>0, c+b-a>0, 所以原式>0，選C 2．內(nèi)角的計算 【例1】如圖，已知1＝20，2＝25，A

53、＝35，求BDC的度數(shù)。 【分析】利用“三角形內(nèi)角和等于180”計算。 【解答】 所以 【例2】在不等邊三角形，它的最小內(nèi)角的取值范圍是________. 【分析】利用內(nèi)角和定理，并注意到是最小內(nèi)角。 【解答】設三內(nèi)角為，且，則 ，且三角形內(nèi)角. 所以. 【點評】在討論取值范圍是不要忘了內(nèi)角大于零度，并且不要遺漏“”. 【例3】ABC中，如果那么ABC是（ ） （A） 銳角三角形 （B） 直角三角形 （C） 鈍角三角形 （D）等腰三角形 【分析】用內(nèi)角和定理結(jié)合提干信息，得到每個內(nèi)角的取值范圍。 【解答】同理根據(jù)三角形的分類，三個內(nèi)

54、角都是銳角的三角形是銳角三角形，選（A）。 【例4】已知ABC中，, D、E為垂足， BD、CE交于點H，如圖，，求的度數(shù)。 【分析】用內(nèi)角和定理以及“直角三角形兩銳角互余”，加上一個量再減去這個量保持原數(shù)量不變。 【解答】 【點評】此題涉及了4個三角形的內(nèi)角和關(guān)系，處理這樣看似復雜的題目，只要理清關(guān)系就迎刃而解。 3．內(nèi)角與外角的聯(lián)系 【例1】ABC中，的外角平分線交于點O，如果，求的度數(shù)。 【分析】利用內(nèi)角和定理以及“三角形外角等于其不相鄰兩內(nèi)角的和”計算。 【解答】. 【基礎訓練】 1. 三條線段a，b，c如能組成三角形，那么它們的長度比可能是（

55、 ） （A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：4 2. 已知三角形的三邊分別為1，x，5，且x為整數(shù)，求x. 3. 對于ABC，下列命題中不正確的是（ ） （A） 如果，那么ABC是直角三角形 （B） 如果，那么ABC是銳角三角形 （C） 如果，那么ABC是鈍角三角形 （D） 如果，那么ABC是直角三角形 4. 已知ABC的三個內(nèi)角滿足關(guān)系式，則此三角形（ ） （A） 一定有一內(nèi)角為45 （B） 一定有一內(nèi)角為60 （C） 一定是直角三角形 （D） 一

56、定是鈍角三角形 5. 如果以4cm長的線段為底組成一個等腰三角形,腰長x應在的范圍是( ) （A）x>4cm （B）x>2cm （C）x≥4cm （D）x≥2cm 6. 在△ABC中,∠A=2∠B=75,則∠C等于( ) （A）30 （B）6730′ （C）105 （D）135 7. 若三角形兩邊長分別為6cm和2cm,第三邊長為偶數(shù),則第三邊長為( ) （A）2cm （B）4cm （C）6cm （D）8cm 8. 一個三角形有_____條角平分線,______條中線,_____條高. 9. 三角形兩邊分別為5cm和6

57、cm,則第三邊c的范圍為_____. 10. 若等腰三角形兩邊長分別為3和4,則它的周長為______. 11. 在ABC中,∠A=∠B=∠C,則∠A=_____. 12. 在ABC中, ,則∠B=______. 13. 在ABC中,的平分線交于點O,則___. 【能力提高】 1. 已知a，b，c是三角形的三邊長，那么代數(shù)式的值是（ ） （A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能確定 2. 已知△ABC是等腰三角形 （1） 如果AB＝8cm，BC＝16cm，求AC之長； （2） 如果AB＝8cm，BC＝12

58、cm，求AC之長. 3. 中，AB＝AC，AC邊上的中線BD，把分成兩個三角形，其周長之差為4cm，如果的周長為16cm，求此三角形三邊之長。 4. 如圖,在△ABC中,AF、CE、BD都是中線,且交于點H,在圖中找出△ABH、△AHC、△BHC的三邊AB、AC、BC邊上的中線. 5. 兩根木棒的長分別是7cm和10cm,要選擇第三根木棒,將它們釘成一個三角形,第三根木棒的長有什么限制?說明理由. 6. 一個零件的形狀如圖,按規(guī)定∠A應等于90,∠B與∠C應分別是32和21,檢驗工人量得∠BDC=148,就判斷這個零件

59、不合格,試用三角形有關(guān)知識說明理由. 7. 如圖,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,并相交于H,求∠BHC的度數(shù). 第二講 全等三角形 【知識要點】 1．全等三角形的概念：經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形。 【注意】互相重合的頂點叫做對應頂點；互相重合的邊叫做對應邊；互相重合的角叫做對應角。 2. 兩個全等三角形的表示：ABC≌DEF 【注意】把對應頂點的字母寫在對應的位置上。 3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等。 4. 全等三角形的判定 （1） 兩

60、邊夾一角對應相等：S.A.S； （2） 兩角夾一邊對應相等：A.S.A； （3） 兩角一對邊對應相等：A.A.S； （4） 三邊對應相等：S.S.S； 【學習目標】 1. 理解全等形的概念； 2. 理解全等三角形的性質(zhì)； 3. 熟練使用全等三角形的4條判定法則，并利用全等三角形的性質(zhì)證明邊或者角的關(guān)系。 【典型例題】 1．全等三角形的性質(zhì) 【例1】如圖，AB=AD, AC=AE, 如果ABE≌ACD全等，BAD＝90,BE=10,CAE＝_______,CD=____. 【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等。 【解答】ABE≌A

61、CD，則BAD＝CAE＝90,. 2．全等三角形的判定 【例1】如圖，已知 , 求證： 【分析】只要證明ABD≌ACE，就可證明。已知,，如果能再找出一對角相等就可判定全等。由已知，則，即 【解答】 【點評】從已知條件中獲取足夠信息證明兩個三角形全等，進而證明對應邊相等、對應角相等，是重點考察的內(nèi)容。而利用角和邊的等量加減等量其和差相等，也是常用技巧。 【例2】如圖，A在OC上, B在OD上, OA=OB, OC=OD, BC與AD相交于T，求證：OT平分. 【分析】只要證明，就是OT平分, 可尋求證明, 為此要證CT=DT，這樣又要證，那么可從判定入手

62、。 【解答】 【點評】證明全等三角形并利用其性質(zhì)和其他信息證明另一對三角形全等，是一個難點，只要我們耐心就可以解決。 【例3】 水管沿公路直線鋪設，A、B是公路同側(cè)的兩個居民點，為了給這兩點供水需在總水管上選一點P，使自P到A、B所鋪設水管的總長最短，問P應設在總水管上哪一點？ 【分析】自點A向總水管所在直線l引垂線，垂足為D，延長AD到A, 使AD=AD，這樣l就是AA的中垂線，聯(lián)結(jié)AB交l于P，點P即為所求點。 【解答】在l上取異于點P的點P1，則AP1=AP1(中垂線定理） 【點評】這個取對稱點利用中垂線定理的解法叫做“軸對稱變換法”，是解

63、決此類問題的典型解法，需要體會掌握。 【基礎訓練】 1. 如圖AB=AC, AD=AE, CD與BE交于點F，則①ABE≌ACD;②BDF≌CEF;③F在A的平分線上.以上結(jié)論正確的是 （A）只有① （B）只有② （C）只有①② （D）①②③ 2. 下列命題中正確的是（ ） （A）全等三角形的高相等 （B）全等三角形的中線相等 （C）全等三角形的角平分線相等 （D）全等三角形對應角的平分線相等 3. ABC是不等邊三角形, DE=BC,以 D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的

64、三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出 （A）2個 （B）4個 （C）6個 （D）8個 4. 兩三角形有以下元素對應相等，不能判定全等的是（ ） （A）兩角和一邊 （B）兩邊及夾角 （C）三個角 （D）三條邊 5. 如果兩個三角形兩邊對應相等，且其中一邊所對的角也相等，那么這兩個三角形（ ） （A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面積相等 6. 如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）

65、 （A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互補或相等 7. 如圖，求證：AB=DE,AB∥DE. 8. 在ABC中，B=60，A和C的平分線相交于點O，求證：AE+CD=AC. 【能力提高】 1. 在ABC中，AB>BC>CA, 那么在①C60,②B<60,③A=60中正確的是（ ） （A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③ 2. 如圖，已知AB=DE，直線AE、BD相交于C，B與C互補，求證：AC=E

66、C. 3. 如圖,設ABC在邊AC、AB上的高分別為BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直線CF上截取CQ=AB，求證：AP=AQ, AP⊥AQ. 4. ABC為等腰直角三角形，A=90，D為BC的中點，P是線段BD上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC, E、F是垂足，求證：DE=DF，且DE⊥DF. 5. 如圖和均為等邊三角形，求證：DC=BE。 6. 如圖∠ABC＝90AB＝BC，D為AC上一點分別過A.C作BD的垂線，垂足分別為E.F,求證：EF＝CF－AE. 7. 如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點．① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF．以此三個中的兩個為條件，另一個為結(jié)論，可構(gòu)成三個命題，即：①② ③，①③ ②，②③ ①． （1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）； （2）請證明你認為正確的命題． 8. 如圖，已知為等邊三角形