江蘇省南通市高三第二次調(diào)研測試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、南通市2015屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評分建議一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 命題“,”的否定是“ ”【答案】,2 設(shè)(為虛數(shù)單位,),則的值為 【答案】03 設(shè)集合,則 I 1While I 7 S 2 I + 1 I I + 2End WhilePrint S(第4題)【答案】4 執(zhí)行如圖所示的偽代碼,則輸出的結(jié)果為 【答案】115 一種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量(單位:t/hm2) 如下:9.8,9.9,10.1,10,10.2,則該組數(shù)據(jù)的方差為 【答案】0.026 若函數(shù)的圖象與軸相鄰兩個交點間的距離為

2、2,則實數(shù)的值 為 【答案】7 在平面直角坐標系中,若曲線在(為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線與直線 垂直,則實數(shù)的值為 【答案】AA1B不C不B1不C1不D1不D不(第8題)8 如圖,在長方體中,3 cm,2 cm,1 cm,則三棱錐 的體積為 cm3【答案】19 已知等差數(shù)列的首項為4,公差為2,前項和為 若(),則的值為 【答案】710設(shè)()是上的單調(diào)增函數(shù),則的值為 【答案】611在平行四邊形中,則線段的長為 BDC(第12題)A【答案】12如圖,在ABC中,點在邊上,45,則的值為 【答案】13設(shè),均為大于1的實數(shù),且為和的等比中項,則的最小值為 【答案】14在平面直角坐標系中,圓:,圓:

3、若圓上存在一點,使得過點可作一條射線與圓依次交于點,滿足,則半徑r的取值范圍是 【答案】二、解答題:本大題共6小題,共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15(本小題滿分14分)ABCDMNQ(第15題)如圖,在四面體中,平面平面,90,分別為棱,的中點 (1)求證:平面; (2)求證:平面平面證明:(1)因為,分別為棱,的中點, 所以, 2分 又平面,平面, 故平面 6分 (2)因為,分別為棱,的中點,所以, 又,故 8分 因為平面平面,平面平面, 且平面, 所以平面 11分又平面, 平面平面 14分 (注:若使用真命題“如果兩條平行線中的一條垂直于一個

4、平面,那么另一條也垂直于這個平面”證明“平面”,扣1分)16(本小題滿分14分)體育測試成績分為四個等級:優(yōu)、良、中、不及格某班50名學(xué)生參加測試的結(jié)果如下:等級優(yōu)良中不及格人數(shù)519233(1)從該班任意抽取1名學(xué)生,求這名學(xué)生的測試成績?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕?;?)測試成績?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為,2名女生記為,現(xiàn)從這5人中 任選2人參加學(xué)校的某項體育比賽 寫出所有等可能的基本事件; 求參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率解:(1)記“測試成績?yōu)榱蓟蛑小睘槭录?,“測試成績?yōu)榱肌睘槭录皽y試成績?yōu)橹小?為事件,事件,是互斥的. 2分 由已知,有 4分 因為當事件,之一發(fā)生時,事件發(fā)生, 所以由互斥事

5、件的概率公式,得 6分 (2) 有10個基本事件:, , 9分 記“參賽學(xué)生中恰好有1名女生”為事件在上述等可能的10個基本事件中, 事件包含了, 故所求的概率為 答:(1)這名學(xué)生的測試成績?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕蕿椋?(2)參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率為 14分(注:不指明互斥事件扣1分;不記事件扣1分,不重復(fù)扣分;不答扣1分事件包含的6種基本事件不枚舉、運算結(jié)果未化簡本次閱卷不扣分)17(本小題滿分14分)在平面直角坐標系中,已知向量(1,0),(0,2).設(shè)向量(),其中. (1)若,求xy的值;(2)若xy,求實數(shù)的最大值,并求取最大值時的值. 解:(1)(方法1)當,時,(), 2分

6、 則 6分 (方法2)依題意, 2分 則 6分 (2)依題意, 因為xy, 所以, 整理得, 9分 令, 則 . 11分 令,得或, 又,故.0極小值 列表: 故當時,此時實數(shù)取最大值. 14分 (注:第(2)小問中,得到,及與的等式,各1分)18(本小題滿分16分)xyOPAF(第18題)如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左頂點為,右焦點為.為橢圓上一點,且.(1)若,求的值;(2)若,求橢圓的離心率;(3)求證:以為圓心,為半徑的圓與橢圓的 右準線相切.解:(1)因為,所以,即, 由得,即, 3分 又, 所以,解得或(舍去) 5分 (2)當時,, 由得,即,故, 8分 所以,解得(負值已舍)

7、 10分 (3)依題意,橢圓右焦點到直線的距離為,且, 由得,,即, 由得, 解得或(舍去). 13分 所以 , 所以以為圓心,為半徑的圓與右準線相切. 16分 (注:第(2)小問中,得到橢圓右焦點到直線的距離為,得1分;直接使用焦半 徑公式扣1分)19(本小題滿分16分)設(shè),函數(shù) (1)若為奇函數(shù),求的值; (2)若對任意的,恒成立,求的取值范圍; (3)當時,求函數(shù)零點的個數(shù)解:(1)若為奇函數(shù),則, 令得,即, 所以,此時為奇函數(shù) 4分(2)因為對任意的,恒成立,所以 當時,對任意的,恒成立,所以; 6分 當時,易得在上是單調(diào)增函數(shù),在上 是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù), 當時,解得,所

8、以; 當時,解得,所以a不存在; 當時,解得, 所以; 綜上得,或 10分(3)設(shè), 令則,第一步,令, 所以,當時,判別式, 解得,; 當時,由得,即, 解得; 第二步,易得,且, 若,其中, 當時,記,因為對稱軸, ,且,所以方程有2個不同的實根; 當時,記,因為對稱軸, ,且,所以方程有1個實根, 從而方程有3個不同的實根; 若,其中, 由知,方程有3個不同的實根; 若, 當時,記,因為對稱軸, ,且,所以方程有1個實根; 當時,記,因為對稱軸, ,且, , 14分 記,則, 故為上增函數(shù),且, 所以有唯一解,不妨記為,且, 若,即,方程有0個實根; 若,即,方程有1個實根; 若,即,方

9、程有2個實根, 所以,當時,方程有1個實根; 當時,方程有2個實根; 當時,方程有3個實根 綜上,當時,函數(shù)的零點個數(shù)為7; 當時,函數(shù)的零點個數(shù)為8; 當時,函數(shù)的零點個數(shù)為9 16分(注:第(1)小問中,求得后不驗證為奇函數(shù),不扣分;第(2)小問中利用分離參數(shù)法參照參考答案給分;第(3)小問中使用數(shù)形結(jié)合,但缺少代數(shù)過程的只給結(jié)果分)20(本小題滿分16分)設(shè)是公差為的等差數(shù)列,是公比為()的等比數(shù)列記(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)已知數(shù)列的前4項分別為4,10,19,34 求數(shù)列和的通項公式; 是否存在元素均為正整數(shù)的集合,(,),使得數(shù)列 ,為等差數(shù)列?證明你的結(jié)論解:(1)證明:

10、依題意, , 3分 從而,又, 所以是首項為,公比為的等比數(shù)列 5分 (2) 法1:由(1)得,等比數(shù)列的前3項為, 則, 解得,從而, 7分 且 解得, 所以, 10分 法2:依題意,得 7分 消去,得 消去,得 消去,得, 從而可解得, 所以, 10分 假設(shè)存在滿足題意的集合,不妨設(shè),且, ,成等差數(shù)列, 則, 因為,所以, 若,則, 結(jié)合得, 化簡得, 因為,不難知,這與矛盾, 所以只能, 同理, 所以,為數(shù)列的連續(xù)三項,從而, 即, 故,只能,這與矛盾, 所以假設(shè)不成立,從而不存在滿足題意的集合 16分(注:第(2)小問中,在正確解答的基礎(chǔ)上,寫出結(jié)論“不存在”,就給1分)南通市201

11、5屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(附加題)A選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)BACPO(第21 - A題)如圖,從圓外一點引圓的切線及割線,為切點 求證:證明:因為PC為圓的切線, 所以, 3分 又, 故, 7分 所以, 即 10分B選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)設(shè)是矩陣的一個特征向量,求實數(shù)的值解:設(shè)是矩陣屬于特征值的一個特征向量, 則, 5分 故解得 10分C選修4-4:坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在極坐標系中,設(shè)直線與曲線相交于,兩點,求線段中點的極坐標 解:(方法1)將直線化為普通方程得, 將曲線化為普通方程得,, 4分 聯(lián)立并消去得, 解得, 所以AB中點的

12、橫坐標為,縱坐標為, 8分 化為極坐標為 10分 (方法2)聯(lián)立直線與曲線的方程組 2分 消去,得, 解得, 6分 所以線段中點的極坐標為,即 10分 (注:將線段中點的極坐標寫成的不扣分)D選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分) 設(shè)實數(shù),滿足,求證:證明:由柯西不等式,得, 6分 因為, 故, 8分 當且僅當,即,時取“” 10分 【必做題】第22、23題,每小題10分,共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22(本小題滿分10分)如圖,在平面直角坐標系中,點,在拋物線上 (1)求,的值;(2)過點作垂直于軸,為垂足,直線與拋物線的另一交點為,點在

13、直線B (第22題)yxOACPM 上若,的斜率分別為,且,求點的坐標解:(1)將點代入, 得, 2分 將點代入,得, 因為,所以 4分 (2)依題意,的坐標為, 直線的方程為, 聯(lián)立并解得, 6分 所以, 代入得, 8分 從而直線的方程為, 聯(lián)立并解得 10分23(本小題滿分10分)設(shè)A,B均為非空集合,且AB,AB,(3,)記A,B中元素的個數(shù)分別為a,b,所有滿足“aB,且b”的集合對(A,B)的個數(shù)為 (1)求a3,a4的值; (2)求解:(1)當3時,AB1,2,3,且AB, 若a1,b2,則1,2,共種; 若a2,b1,則2,1,共種,0極小值 所以a3; 2分 當4時,AB1,2,3,4,且AB, 若a1,b3,則1,3,共種; 若a2,b2,則2,2,這與AB矛盾; 若a3,b1,則3,1,共種, 所以a4 4分 (2)當為偶數(shù)時,AB1,2,3,n,且AB, 若a1,b,則1,共(考慮)種; 若a2,b,則2,共(考慮)種; 若a,b,則,共(考慮)種;若a,b,則,這與AB矛盾;若a,b,則,共(考慮)種; 若a,b,則,1,共(考慮)種, 所以an; 8分 當為奇數(shù)時,同理得,an, 綜上得, 10分23

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