江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、20142015學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題 (考試時間:120分鐘 總分160分) 命題人:王鴻、王光華 審題人:孟太、朱善宏注意事項:所有試題的答案均填寫在答題紙上,答案寫在試卷上的無效一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1. 已知集合,則 2已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是 3. 若等差數(shù)列的前5項和,且,則 4曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是 5將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個單位,得函數(shù)的圖象,則= 6在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相交于兩點(diǎn), 則線段的長度為 .7. 不等式的解集為 .8. 已知,且,則的值為 9. 在中,“”是“”的 條

2、件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一) 10如圖,已知正方形的邊長為3,為的中點(diǎn),與交于點(diǎn),則 11設(shè),已知在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則實(shí)數(shù)的值為 . (第10題圖)12已知等比數(shù)列的首項,其前四項恰是方程 的四個根,則 .13已知圓C:,點(diǎn)P在直線l:上,若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 14. 已知兩條平行直線 :和:(這里),且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ,直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長度分別為a 、b ,則當(dāng)變化時,的最小值為 二、解答題:本大題共6小題,共計90分請在答題

3、卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若()求的值; ()若,且,求的值16設(shè),函數(shù)()已知是的導(dǎo)函數(shù),且為奇函數(shù),求的值;()若函數(shù)在處取得極小值,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。ABCDEFMNG第17題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場,設(shè)計時決定保留空地邊上的一個水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中,且中,經(jīng)測量得到為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄設(shè)計時經(jīng)過點(diǎn)作一條直線交于,從而得到五邊形的市民健身廣場()假設(shè),試將五邊形的面積表示為的函數(shù),并注明函數(shù)的定義域;()問

4、:應(yīng)如何設(shè)計,可使市民健身廣場的面積最大?并求出健身廣場的最大面積18. 已知圓:,點(diǎn)是直線:上的一動點(diǎn),過點(diǎn)作圓M的切線、,切點(diǎn)為、()當(dāng)切線PA的長度為時,求點(diǎn)的坐標(biāo);()若的外接圓為圓,試問:當(dāng)運(yùn)動時,圓是否過定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;()求線段長度的最小值19.若數(shù)列滿足:對于,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列是公差為的“隔項等差”數(shù)列()若,是公差為8的“隔項等差”數(shù)列,求的前項之和;()設(shè)數(shù)列滿足:,對于,都有 求證:數(shù)列為“隔項等差”數(shù)列,并求其通項公式; 設(shè)數(shù)列的前項和為,試研究:是否存在實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列()?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由

5、20. 已知函數(shù),其中()若,試判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;()設(shè)函數(shù),若對任意的,總存在唯一的實(shí)數(shù),使得成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.高三數(shù)學(xué)期中試題(教師版)一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.已知集合,則 答案:2已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是 答案: 3. 若等差數(shù)列的前5項和,且,則 答案:134曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是 答案:5將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個單位,得函數(shù)的圖象,則= 答案: 6在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相交于兩點(diǎn), 則線段的長度為 .答案:47. 不等式的解集為 .答案:8.已知,且,則的值為 答案:9. 在

6、中,“”是“”的 條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一) 答案:必要不充分10如圖,已知正方形的邊長為3,為的中點(diǎn),與交于點(diǎn),則 答案: (第10題圖)11設(shè),已知在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則實(shí)數(shù)的值為 .答案:12已知等比數(shù)列的首項,其前四項恰是方程的四個根,則 .答案:13已知圓C:,點(diǎn)P在直線l:上,若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 答案:14. 已知兩條平行直線 :和:(這里),且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ,直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長度分別為a 、b ,則當(dāng)變化時,

7、的最小值為 答案:32二、解答題:本大題共6小題,共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若()求的值; ()若,且,求的值解:()因?yàn)椋?由正弦定理得,所以 4分 ()因?yàn)?,所以,所以,由余弦定理得,所?分 所以即 14分16設(shè),函數(shù)()已知是的導(dǎo)函數(shù),且為奇函數(shù),求的值;()若函數(shù)在處取得極小值,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解:(), 2分 故 , 為奇函數(shù), ,即 ; 6分 () 列表如下: 9分 在處取得極小值,在處取得極大值, 由題設(shè),; 12分 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為 14分ABCDEFMNG第17

8、題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場,設(shè)計時決定保留空地邊上的一個水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中,且中,經(jīng)測量得到為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄設(shè)計時經(jīng)過點(diǎn)作一條直線交于,從而得到五邊形的市民健身廣場()假設(shè),試將五邊形的面積表示為的函數(shù),并注明函數(shù)的定義域;()問:應(yīng)如何設(shè)計,可使市民健身廣場的面積最大?并求出健身廣場的最大面積解:()作GHEF,垂足為H,因?yàn)?,所以,因?yàn)樗?,所?2分過作交于T,則,所以 7分由于與重合時,適合條件,故,8分(),10分 所以當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最大值2000, 13分答:當(dāng)時,得到的市民健

9、身廣場面積最大,最大面積為14分18. 已知圓:,點(diǎn)是直線:上的一動點(diǎn),過點(diǎn)作圓M的切線、,切點(diǎn)為、()當(dāng)切線PA的長度為時,求點(diǎn)的坐標(biāo);()若的外接圓為圓,試問:當(dāng)運(yùn)動時,圓是否過定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;()求線段長度的最小值解:()由題可知,圓M的半徑r2,設(shè)P(2b,b),因?yàn)镻A是圓M的一條切線,所以MAP90,所以MP,解得所以 4分()設(shè)P(2b,b),因?yàn)镸AP90,所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑,其方程為: 即由, 7分解得或,所以圓過定點(diǎn) 9分()因?yàn)閳A方程為 即 圓:,即 得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為: 11分點(diǎn)M到直線AB的

10、距離 13分 相交弦長即: 當(dāng)時,AB有最小值16分19.若數(shù)列滿足:對于,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列是公差為的“隔項等差”數(shù)列()若,是公差為8的“隔項等差”數(shù)列,求的前項之和;()設(shè)數(shù)列滿足:,對于,都有 求證:數(shù)列為“隔項等差”數(shù)列,并求其通項公式; 設(shè)數(shù)列的前項和為,試研究:是否存在實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列()?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由 解:()易得數(shù)列前項之和 4分()()(A) (B)(B)(A)得() 所以,為公差為2的“隔項等差”數(shù)列 6分 當(dāng)為偶數(shù)時, 當(dāng)為奇數(shù)時,; 8分 當(dāng)為偶數(shù)時,; 當(dāng)為奇數(shù)時, 12分 故當(dāng)時, 由,則,解得所以存在實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列()

11、 16分20. 已知函數(shù),其中()若,試判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;()設(shè)函數(shù),若對任意大于等于2的實(shí)數(shù),總存在唯一的小于2的實(shí)數(shù),使得成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.解:()為減函數(shù)。理由如下:因?yàn)椋捎?,且,所以,從而函?shù)為減函數(shù)。(亦可先分別用定義法或?qū)?shù)法論證函數(shù)和在上單調(diào)遞減,再得函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)。) 5分()若時,;時。所以不成立. 7分若時,所以在單調(diào)遞減.從而,即. 9分(a)若時,.所以在上單調(diào)遞增,從而,即.要使成立,只需,即成立即可.由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以. 11分(b)若時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.從而,即. 13分要使成立,只需成立,即成立即可.由,得.故當(dāng)時,恒成立.綜上所述,. 16分

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