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1、
3.3 幾何概型
3.3.1 幾何概型
【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】
1.了解幾何概型的定義及其特點(diǎn).
2.了解幾何概型與古典概型的區(qū)別.
3.會(huì)用幾何概型的概率計(jì)算公式求幾何概型的概率.
【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】
1.幾何概型的定義
如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型.
2.幾何概型的特點(diǎn)
(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).
(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
3.幾何概型的概率公式
P(A)=
.
【探要點(diǎn)、究所然】
[情境導(dǎo)學(xué)] 在現(xiàn)實(shí)生活中,常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能
2、結(jié)果是無(wú)窮多的情況,例如:一個(gè)正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓,往這個(gè)方格中投一個(gè)石子,求石子落在圓內(nèi)的概率,由于石子可能落在方格中的任何一點(diǎn),這個(gè)實(shí)驗(yàn)不能用古典概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率.對(duì)此,我們必須學(xué)習(xí)新的方法來(lái)解決這類問(wèn)題.
探究點(diǎn)一 幾何概型的概念
思考1 計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法?
答 (1)通過(guò)做試驗(yàn)或計(jì)算機(jī)模擬,用頻率估計(jì)概率;(2)利用古典概型的概率公式計(jì)算.
思考2 某班公交車到終點(diǎn)站的時(shí)間可能是11:30~12:00之間的任何一個(gè)時(shí)刻;往一個(gè)方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上.這兩個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),還是無(wú)限個(gè)?若沒(méi)有人為因素,
3、每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等?
答 出現(xiàn)的結(jié)果是無(wú)限個(gè);每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的.
思考3 下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝.你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少?
答 以轉(zhuǎn)盤(pán)(1)為游戲工具時(shí),甲獲勝的概率為;以轉(zhuǎn)盤(pán)(2)為游戲工具時(shí),甲獲勝的概率為.
思考4 上述每個(gè)扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長(zhǎng)度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的,從結(jié)論來(lái)看,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個(gè)因素有關(guān)?哪個(gè)因素?zé)o關(guān)?
答 與扇形的弧長(zhǎng)(或面積)有關(guān),與扇形區(qū)域所在的位置無(wú)關(guān).
思考5 玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中所求的概率就是幾何概型,你能給幾何概型下
4、個(gè)定義嗎?參照古典概型的特征,幾何概型有哪兩個(gè)基本特征?
答 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型;幾何概型的基本特征:(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);(2)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等.
思考6 古典概型和幾何概型有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?
答 相同點(diǎn):兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的;
不同點(diǎn):古典概型要求基本事件有有限個(gè),幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè).
例1 判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概型是古典概型,還是幾何概型.
(1)拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率;
(2)思考3中,求甲獲勝的概率.
5、解 (1)拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型;
(2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量,即與區(qū)域面積有關(guān),因此屬于幾何概型.
反思與感悟 判斷一個(gè)概率是古典概型還是幾何概型的步驟:(1)判斷一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是否相等,若不相等,那么這個(gè)概率既不是古典概型也不是幾何概型;(2)如果一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等,再判斷試驗(yàn)結(jié)果的有限性,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)時(shí),這個(gè)概率是古典概型;當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)時(shí),這個(gè)概率是幾何概型.
跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列試驗(yàn)
6、是否為幾何概型,并說(shuō)明理由:
(1)某月某日,某個(gè)市區(qū)降雨的概率.
(2)設(shè)A為圓周上一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接,求弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率.
解 (1)不是幾何概型,因?yàn)樗痪哂械瓤赡苄裕?2)是幾何概型,因?yàn)樗哂袩o(wú)限性與等可能性.
探究點(diǎn)二 幾何概型的概率公式
問(wèn)題 對(duì)于具有幾何意義的隨機(jī)事件,或可以化歸為幾何問(wèn)題的隨機(jī)事件,一般都有幾何概型的特性,那么,對(duì)于屬于幾何概型的試驗(yàn),如何求某一事件的概率?有沒(méi)有求幾何概型的概率公式呢?
思考1 有一根長(zhǎng)度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得的兩段的長(zhǎng)度都不小于1 m的概率是多少?你是怎樣計(jì)算的?
答 從每一個(gè)位
7、置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn).
如上圖,記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的,
于是事件A發(fā)生的概率P(A)=.
思考2 射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán),從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色,靶心是金色,金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑是122 cm,黃心直徑是12.2 cm,運(yùn)動(dòng)員在距離靶面70 m外射箭.假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn),那么如何計(jì)算射中黃心的概率?
答 如右圖,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為π1222 cm2的大圓
8、內(nèi),
若要射中黃心,則中靶點(diǎn)落在面積為π12.22 cm2的圓內(nèi),
所以P==0.01.
思考3 在裝有5升純凈水的容器中放入一個(gè)病毒,現(xiàn)從中隨機(jī)取出1升水,那么這1升水中含有病毒的概率是多少?你是怎樣計(jì)算的?
答 概率為,由于病毒在5升水中的哪個(gè)位置的可能性都有,1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除以5升水的體積.
思考4 根據(jù)上述3個(gè)思考中求概率的方法,你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計(jì)算公式嗎?
答 P(A)=
.
例2 某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達(dá),乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的,求乘客候車時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率.
解 如下圖所示,設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到
9、達(dá),而下輛車于時(shí)刻T2到達(dá),則線段T1T2的長(zhǎng)度為10,設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn),且TT2的長(zhǎng)為6,記“等車時(shí)間不超過(guò)6分鐘”為事件A,則事件A發(fā)生即當(dāng)點(diǎn)t落在線段TT2上,即D=T1T2=10,d=TT2=6.所以P(A)===.
故乘客候車時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率為.
反思與感悟 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.利用圖解題的關(guān)鍵:首先用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域,然后根據(jù)構(gòu)成這兩個(gè)區(qū)域的幾何長(zhǎng)度(面積或體積),用幾何概型概率公式求出事件A的概率.
跟蹤訓(xùn)練2 某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)
10、報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.
解 記“等待的時(shí)間小于10分鐘”為事件A,打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi)則事件A發(fā)生.
由幾何概型的概率公式求得P(A)==,
即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為.
探究點(diǎn)三 幾何概型的應(yīng)用
例3 在Rt△ABC中,∠A=30,過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率.
解
設(shè)事件D為“作射線CM,使|AM|>|AC|”.
在AB上取點(diǎn)C′使|AC′|=|AC|,
因?yàn)椤鰽CC′是等腰三角形,
所以∠ACC′==75,
μA=90-75=15,μΩ=90,
所以P(D)==.
11、
反思與感悟 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”,如本例以角度為“測(cè)度”.因?yàn)樯渚€CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的.若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”,就是錯(cuò)誤的,因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的.
跟蹤訓(xùn)練3 在△ABC中,∠B=60,∠C=45,高AD=,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,求BM<1的概率.
解 ∵∠B=60,∠C=45,∴∠BAC=75,
在Rt△ADB中,AD=,∠B=60,
∴BD==1,∠BAD=30.
記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,使BM<1”,則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生.
由幾何概型的概率公式得P(N)==.
12、
【當(dāng)堂測(cè)、查疑缺】
1.下列關(guān)于幾何概型的說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ( )
A.幾何概型也是古典概型中的一種
B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無(wú)關(guān)
C.幾何概型中每一個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性
D.幾何概型在一次試驗(yàn)中能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)
答案 A
解析 幾何概型與古典概型是兩種不同的概型.
2.面積為S的△ABC,D是BC的中點(diǎn),向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn),那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè),屬于幾何概型.設(shè)點(diǎn)落
13、在△ABD內(nèi)為事件M,則P(M)==.
3.ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 ( )
A. B.1-
C. D.1-
答案 B
解析 若以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,則圓與長(zhǎng)方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1,
故所求事件的概率為P(A)==1-.
4.在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sin 的值介于-與之間的概率為_(kāi)_______.
答案
解析 ∵-1≤x≤1,∴-≤≤.
由-≤sin ≤,得-≤≤,
即-≤x≤1.
故所求事件的概率為=.
【呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律】
1.幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型.
2.幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目.
3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.
4.理解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題,利用幾何概型公式求解,概率公式為
P(A)=