2020-2021學年高三數(shù)學一輪復習知識點專題6-2 等差數(shù)列及其前n項和

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1、專題6.2 等差數(shù)列及其前n項和【考情分析】1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系【重點知識梳理】知識點一 等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示數(shù)學語言表達式：an1and(nN*，d為常數(shù))，或anan1d(n2，d為常數(shù))知識點二 等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則其通項公式為ana1(n1

2、)d通項公式的推廣：anam(nm)d(m，nN*)(2)等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d(其中nN*，a1為首項，d為公差，an為第n項)知識點三 等差數(shù)列及前n項和的性質(zhì)(1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項，且A(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項)知識點四 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關

3、系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù))知識點五 等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值；若a10，d0，則Sn存在最小值【必會結(jié)論】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，則aman2ap.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d, 則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md

4、的等差數(shù)列(6)等差數(shù)列an的前n項和為Sn, 則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d.【典型題分析】高頻考點一 等差數(shù)列基本量的運算【例1】(2019全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S40，a55，則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【答案】A【解析】法一：設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，因為所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故選A.法二：設等差數(shù)列an的公差為d，因為所以解得選項A，a12153；選項B，a131107，排除B；選項C，S1286，排除C；選項D，S12，排除D.故選A.

5、【舉一反三】 (2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A12 B10C10 D12【答案】B【解析】設等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10，故選B?！痉椒记伞康炔顢?shù)列基本運算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項數(shù)n.在求解時，一般要運用方程思想(2)求通項a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素(3)求特定項利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解(4)求前n項和利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解【特別提醒】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用

6、的是方程思想，要注意使用公式時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性在遇到一些較復雜的方程組時，要注意運用整體代換思想，使運算更加便捷【變式探究】 (2020遼寧大連模擬) 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a24，S422，an28，則n()A3 B7C9 D10【答案】D【解析】因為S4a1a2a3a44a22d22，d3，a1a2d431，ana1(n1)d13(n1)3n2，由3n228，得n10.高頻考點二 等差數(shù)列的判定與證明【例2】【2019全國II卷】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0，.（I）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（II）求an和bn的通項公

7、式.【答案】（I）見解析；（2），.【解析】（1）由題設得，即又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設得，即又因為a1b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列（2）由（1）知，所以，?！痉椒记伞康炔顢?shù)列的判定與證明方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù)，nN*)或anan1d(d是常數(shù)，nN*，n2)an為等差數(shù)列(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an為等差數(shù)列(3)通項公式法：ananb(a，b是常數(shù)，nN*)an為等差數(shù)列(4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數(shù))an為等差數(shù)列【特別提醒】若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項an，a

8、n1，an2，使得這三項不滿足2an1anan2即可；但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法【變式探究】（2020河北唐山模擬）已知數(shù)列an中，a1，其前n項和為Sn，且滿足an(n2)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式【解析】(1)證明：當n2時，SnSn1.整理，得Sn1Sn2SnSn1.兩邊同時除以SnSn1，得2.又4，所以是以4為首項，以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得數(shù)列的通項公式為4(n1)22n2，所以Sn.當n2時，anSnSn1.當n1時，a1，不適合上式所以an高頻考點三 等差數(shù)列的性質(zhì)與應用【例3】（2020新課標）北京天壇的

9、圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699塊B. 3474塊C. 3402塊D. 3339塊【答案】C【解析】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.【舉一反三】【2019全國III卷】記Sn為等差數(shù)列a

10、n的前n項和，則_.【答案】4【解析】設等差數(shù)列an的公差為d,因，所以，即，所以?！痉椒记伞恳话愕?，運用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程，但要注意性質(zhì)運用的條件，如mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)；數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具。【變式探究】（2020安徽蚌埠第二中學調(diào)研）一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為3227，則該數(shù)列的公差d 【解析】設等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.【答案】5高頻考點四 等差數(shù)

11、列前n項和的最值問題【例4】（2020北京卷）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（ ）A. 有最大項，有最小項B. 有最大項，無最小項C. 無最大項，有最小項D. 無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.【變式探究】(2019北京卷)設an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)記an的前n項和為Sn，求Sn的最小值【解析】(1)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(a38)2(a

12、210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：(函數(shù)法)由a110，d2，得Sn10n2n211n，n5或n6時，Sn取最小值30.法二：(鄰項變號法)由(1)知，an2n12.所以，當n7時，an0；當n6時，an0.所以Sn的最小值為S630.【方法技巧】求數(shù)列前n項和的最值的方法(1)通項法：若a10，d0，則Sn必有最大值，其n的值可用不等式組來確定；若a10，d0，則Sn必有最小值，其n的值可用不等式組來確定；(2)二次函數(shù)法：等差數(shù)列an中，由于Snna1dn2n，可用求函數(shù)最值的方法來求前n項和的最值，這里應由nN*及二

13、次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值；(3)不等式組法：借助Sn最大時，有(n2，nN*)，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn的最值)。【變式探究】（2018全國卷）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1=-7，S3=-15 （1）求an的通項公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值為16【解析】（1）設an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為16【總結(jié)提升】1.要注意等差數(shù)列前n項和公式的靈活應用，如等2求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)通項變號法當a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm。【變式探究】（2020山東德州模擬）兩等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn，Tn，且，則 【解析】因為數(shù)列an和bn均為等差數(shù)列，所以.【答案】