[初一數(shù)學]乘法公式

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1、乘法公式 　　一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 　　要注意等式的特點： 　?。?）等式的左邊是兩個二項式的乘積，且這兩個二項式中，有一項相同，另一項互為相反數(shù)； 　?。?）等式的右邊是一個二項式，且為兩個因式中相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方． 　　值得注意的是，這個公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項式或多項式．平方差公式可以作為多項式乘以多項式的簡便公式，也可以逆用做為快速計算的工具． 　　例１　下列各式中不能用平方差公式計算的是（　?。? 　　A．（a－b）（－a－b）　 B．（a2－b2）（a2＋b2） 　　C．（a＋b）（－a－

2、b）　 D．（b2－a2）（－a2－b2） 　　解：Ｃ．根據(jù)上面平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，Ａ中，－b是相同的項，a與－a是性質(zhì)符號相反的項，故可使用；Ｂ中a2是相同項，－b2與b2是互為相反數(shù)符合公式特點；同樣Ｄ也符合．而Ｃ中的兩個二項式互為相反數(shù)，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式計算． 　　例２　運用平方差公式計算： 　?。ǎ保?x2－y）（－y－ x2）； 　?。ǎ玻╝－3）（a2＋9）（a＋3）． 　　解：（１）（ x2－y）（－y－ x2） 　　＝（－y ＋ x2）（－y－ x2） 　?。?－y)2－（ x2）2 　　＝y(tǒng)2－ x4 ；

3、 　?。ǎ玻╝－3）（a2＋9）（a＋3） 　?。剑╝－3）（a＋3）（a2＋9） 　　＝（a2－32）（a 2＋9） 　?。剑╝2－9）（a2＋9） 　　＝a4－81 ． 　　例３　計算： 　?。ǎ保?4.52－45.52 ； 　?。ǎ玻?2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 　　分析：（１）中的式子具有平方差公式的右邊的形式，可以逆用平方差公式；（２）雖然沒有明顯的符合平方差公式的特點，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項式或多項式，我們可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能夠利用公式．正如前文所述，利用平方差可

4、以簡化整式的計算． 　　解：（１）54.52－45.52 　?。剑?4.5＋45.5）(54.5－45.5) 　　＝1009 　?。?00 ； 　　（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) 　　=(2x2+1)2-(3x)2 　　=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1 　　二、完全平方公式： (a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2　　 　　(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2． 　　二項式的平方，等于其中每一項（連同它們前面的符號）的平方，加上這兩項積的兩倍． 　　完全平方公式是計算兩數(shù)和或差的平方的簡算公式，在有關代數(shù)

5、式的變形和求值中應用廣泛．正確運用完全平方公式就要抓住公式的結(jié)構(gòu)特點，通過與平方差公式的類比加深理解和記憶．運用中要防止出現(xiàn)（ab）2＝a2b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等錯誤． 　　需要指出的是，如同前面的平方差公式一樣，這里的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項式或多項式． 　　例１　利用完全平方公式計算： 　?。ǎ保ǎ?a－5）2 ；　 （２）（a－b＋c）2 ． 　　分析：有關三項式的平方可以看作是二項式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通過兩次應用完全平方公式來計算． 　　解：（１）（－3a－5）2

6、 　?。剑ǎ?a）2－2（－3a）5 ＋ 5 2 　　＝9a2 ＋ 30a ＋ 25 　?。ǎ玻╝－b＋c）2 　　＝[（a－b）＋c]2 　?。剑╝－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2 　?。絘 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2 　?。絘 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ． 　　例２利用完全平方公式進行速算. 　　(1)1012　　　 (2)992 　　解: (1)1012　　　　　　　　　 　分析:將1012變形為(100+1)2原式可 　　=(100+1)2　　　　　　　　 　　　　　　利用完全平方公式來速

7、算. 　　=1002+21001+12 　　=10201 　　解: (2)992　　　　　　　　　　 分析:將992變形為(100-1)2原式可 　　=(100-1)2　　　　　　　 　　　　　　利用完全平方公式來速算. 　　=1002-21001+12 　　=9801 　　例３　計算： 　?。ǎ保?92－98100??；（２）4951－2 499 ． 　　解：（１）992－98100　 　　＝（100－１）2－98100 　?。?002－２100＋１－9800 　?。?0000 －　200－9800＋１ 　　＝１； 　　

8、（２）4951－2499 　　＝（50－1）（50＋１）－2499 　?。?500－1－2499 　?。剑埃? 　　例４　已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值． 　　分析：由前面的公式變形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 　　解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10 　　所以　 　　a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2 10＝ 44 　　(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4

9、 10＝ 24 ． 　　三：練習 　　1．利用乘法公式進行計算： 　　(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)　　 (2) (3x+2)2-(3x-5)2　　　　　(3) (x-2y+1)(x+2y-1) 　　(4) (2x+3y)2(2x-3y)2　　　　　　(5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2 　　(6) (x2+x+1)(x2-x+1)　　　　 　　解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) 　　=(x4-1)(x4+1) 　　=x8-1. 　　(2)解法1：原式=(9x2+

10、12x+4) -(9x2-30x+25) 　　=9x2+12x+4-9x2+30x-25 　　=42x-21 　　解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] 　　=(6x-3)7 　　=42x-21. 　　(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)] 　　=x2-(2y-1)2 　　=x2-(4y2-4y+1) 　　=x2-4y2+4y-1 　　(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2 　　=(4x2-9y2)2 　　=16x4-72x2y2+81y4 　　(5) 原式=[(2x

11、+3) -(3x-2)]2 　　=(-x+5)2 　　=x2-10x+25 　　(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x] 　　=(x2+1)2-x2 　　=(x4+2x2+1) -x2 　　=x4+x2+1 　　2．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a2+b2 ； 　　解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab 　　=52-43 　　=13 　　(2) a2+b2=(a+b)2-2ab 　　=52-23 　　=19. 在線測試 　　選擇題 　　1．在下列多項式的乘

12、法中，可以用平方差公式計算的是（　） 　　 A、(x+1)(1+x)　　 B、( a+b)(b- a) 　　 C、(-a+b)(a-b)　　 D、(x2-y)(x+y2) 　　2．下列各式計算正確的是（?。? 　　 A、(a+4)(a-4)=a2-4　　　　　　 B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9 　　 C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1　　 D、(a+2)(a-4)=a2-8 　　3．(- x+2y)(- x-2y)的計算結(jié)果是（?。? 　　 A、 x2-4y2 　　　　 B、4y2- x2 　　 C、 x2+4y2 　　　　 D、- x2-

13、4y2 　　4．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的結(jié)果是（?。? 　　 A、a4b4c4-1 　　 B、1-a4b4c4 　　 C、-1-a4b4c4　　 D、1+a4b4c4 　　5．下列各式計算中，結(jié)果錯誤的是（ ） 　　 A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b2. 　　 B、 　　 C、m2-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n2 　　 D、 答案與解析 　　答案：1、B　 2、C　 3、A　 4、B　 5、D 　　解析： 　　1．B． ( a+b)(b- )=(b+ a)(b- a)

14、.符合平方差公式的特點，故選B。 　　2．C．(a+4)(a-4)=a2-42=a2-16, 故A錯； 　　　　　(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9，故B錯。 　　　　　(5ab+1)(5ab-1)=(5ab)2-12=25a2b2-1，故C正確； 　　　　　(a+2)(a-4)=a2+(2-4)a+2(-4)=a2-2a-8，故D錯。 　　3．A．原式=(- x)2-(2y)2= x2-4y2. 　　4．B．原式=(1+abc)(1-abc)(1+a2b2c2) 　　　　　　　=[12-(abc)2](1+a2b2c2) 　　　

15、　　　　=(1-a2b2c2)(1+a2b2c2) 　　　　　　　=1-a4b4c4. 　　5．D． 才正確，差一個符號。 中考解析： 乘法公式 平方差公式 　　考點掃描: 　　熟練掌握平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算． 　　名師精講: 　　1．平方差公式：(a+b）(a–b)=a2–b2．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差．平方差公式的左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，而右邊正好是這兩個數(shù)的平方差． 　　2．平方差公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式． 　　中考典例: 　　1．（

16、湖北武漢）觀察下列各式(x–1)(x+1)=x2–1,(x–1)(x2+x+1)=x3–1，(x–1)(x3+x2+x+1)=x4–1，根據(jù)前面各式的規(guī)律可得(x–1)(xn+xn–1+…+x+1)=___________． 　　考點：平方差公式的延伸 　　評析：該題是一個探索規(guī)律性的試題，要通過觀察把握住給出的等式中的不變量和變量與變量間的變化規(guī)律．不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為xn+1–1． 　　真題專練: 　　1．（廣東?。┗啠?x+y)(x–y)–x2=　　 ． 　　2．（德陽市）化簡：x2–(x+y)(x–y) 　　答案：1、原式=x2–y2–x2

17、=–y2　　　 2、原式=x2–(x2–y2)=x2–x2+y2=y2 完全平方公式 　　考點掃描: 　　熟練掌握完全平方公式，靈活運用完全平方公式進行計算 　　名師精講: 　　1．完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或者減去）它們的積的2倍． 　　2．公式中的字母a、b，可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．公式可推廣：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．即三個數(shù)的和的平方，等于各個數(shù)的平方和加上每兩個數(shù)的積的2倍． 　　3．如果一個多項式能化成另一個多項式的平方

18、，就把這個多項式叫做完全平方式．如，a22ab+b2=(ab)2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2，則a22ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式． 　　中考典例: 　　1．（北京西城區(qū)）下列各式計算正確的是（　 ） 　　A、(x–1)2=x2–2x+1　　B、(x–1)2=x2–1 　　C、x3+x3=x6　　　　　　D、x6x3=x2 　　考點：完全平方公式及冪的運算性質(zhì) 　　評析：該題是考查學生對公式及冪的運算法則掌握的情況，所以解決此題就要對公式特別是完全平方公式及冪的運算法則掌握熟練，由完

19、全平方公式(ab)2=a22ab+b2可以判定A對，B不對，由整式的加減可判定C不對，再根據(jù)同底數(shù)冪除法的法則確定D也不對，因此只有選A． 　　說明：當該題確定A選項后，其他選項也可以不考慮，因為數(shù)學試題中一般不會出現(xiàn)多選題． 　　真題專練: 　　1．(上海市)下列計算中，正確的是（　 ） 　　A、a3a2=a6　　　　B、(a+b)(a–b)=a2–b2 　　C、(a+b)2=a2+b2　　 D、(a+b)(a–2b)=a2–ab–4b2 　　2．（湖南長沙）下列關系式中，正確的是（　 ） 　　A、(a–b)2=a2–b2　　B、(a+b)(a–b

20、)=a2–b2． 　　C、(a+b)2=a2+b2　　　D、(a+b)2=a2–2ab+b2． 　　3．（德陽市）已知x(x–1)–(x2–y)=–3求： 的值． 　　答案： 　　1、B　　　2、B　 　　3、由x(x–1)–(x2–y)=–3得x–y=3， 　　 = = ．當x–y=3時，原式= ． 課外拓展： 乘法公式漫談 　　初一要學習兩個乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，初學者對于各乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義往往不易掌握，運用時容易混淆，因此要學習好乘法公式，必須注意以下幾點． 　　一、注意乘法公式的推導 　

21、　乘法公式是直接計算特殊的多項式乘法得來的，即： 　　平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2； 　　完全平方公式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 　　(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 　　由此可見，理解乘法公式要與多項式乘法聯(lián)系起來，這樣對公式才理解的深、記得準、記得牢，一旦把公式忘記了，自己也可以把公式推導出來． 　　二、注意掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征 　　乘法公式的結(jié)構(gòu)特征是各公式的本質(zhì)所在．在學習時，應仔細觀察其結(jié)構(gòu)特征，并會

22、用語言加以表述． 　　平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2； 　　結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個數(shù)和與這兩個數(shù)差的積，而右邊是這兩個數(shù)的平方差． 　　完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2. 　　結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個數(shù)的和(或差)的平方，而右邊是這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍． 　　三、注意弄清乘法公式中的字母含義 　　公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式、多項式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式．例如： 　　(2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2. 　　(

23、4x+3y)2=(4x)2+24x3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2. 　　四、注意運用公式容易出現(xiàn)的錯誤 　　在學習中不少同學經(jīng)常出現(xiàn)如下錯誤： 　　(1)(a+b)(a+b)=a2+b2； 　　(2)(a+b)2＝a2+b2；(a-b)2＝a2-b2． 　　錯誤(1)的原因是模仿平方差公式所至，切記只有平方差公式，沒有平方和公式；錯誤(2)的原因是與積的平方(ab)2=a2b2相混淆．對于這些錯誤，同學們只要利用多項式的乘法計算一下，即可得到驗證． 　　五、注意掌握公式的形式變形 　　平方差公式的常見變形： 　　(1)位置變

24、化：(a+b)(-b+a)＝_________； 　　(2)符號變化：(-a-b)(a-b)=_________； 　　(3)系數(shù)變化：(3a+2b)(3a-2b)＝_________； 　　(4)指數(shù)變化：(a3+b2)(a3-b2)＝_________； 　　(5)項數(shù)變化：(a+2b-c)(a-2b+c)=_________； 　　(6)連用變化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=_________. 　　只要掌握了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，這些變形即可得解。 　　完全平方公式的常見變形： 　　(1)a2+b2＝(a+b)2-

25、2ab＝(a-b)2+2ab； 　　(2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； 　　(3)(a+b)2-(a-b)2＝4ab． 　　這些變形應用十分廣泛，因而要熟記這些變形公式． 　　六、注意公式的靈活運用 　　1．連續(xù)運用乘法公式． 　　例1計算(x+3)(x-3)(x2+9)． 　　解：原式＝(x2-9)(x2+9)＝x4-81． 　　例2計算(m+n)(m-n)(m2-n2)． 　　解：原式=(m2-n2)(m2-n2)＝(m2-n2)2＝m4-2m2n2+n4． 　　說明：例1是兩次運用平方差公式

26、；例2是先運用平方差公式，再運用完全平方公式． 　　2．靈活選用乘法公式． 　　例3計算[(x+3y)(x-3y)]2． 　　分析：本題若先根據(jù)積的乘方性質(zhì)，再用完全平方公式計算比較復雜，而先用平方差公式，再運用完全平方公式，簡捷明快，富有較強的靈活性． 　　解：原式=(x2-9y2)2=x4-18x2y2+81y4. 　　3．逆用乘法公式． 　　例4計算(1-y)2-(1+y)2． 　　分析：本題的常規(guī)解法是先用完全平方公式將(1-y)2和(1+y)2展開，再合并同類項，若能想到平方差公式逆用，其解法非常簡便。 　　解：原式=[(1-y)+(1+y)][(1-y)-(1+y)]=-4y. 　　4．變形運用乘法公式 　　例5．已知x+y=4，且x-y=10，則2xy=________.(天津市中考題) 　　分析：本題的常規(guī)解法是解二元一次方程組，而運用完全平方公式的變形公式求解，會更巧妙、靈活。 　　解：∵ 4xy=(x+y)2-(x-y)2=16-100=-84. 　　∴ 2xy=-42.