（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與橢圓的位置關(guān)系1直線與橢圓的位置關(guān)系將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程：ax2bxc0(或ay2byc0)考慮一元二次方程的判別式，有(1)0直線與橢圓相交；(2)0直線與橢圓相切；(3)0直線與橢圓相離2弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB|x1x2|y1y2|.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)()(2)過1(ab0)焦點(diǎn)的直線xc交曲線于A，B

2、兩點(diǎn)，則AB.()(3)直線ykx(k0)與橢圓1(ab0)交于不同的A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則SABF的最大值為bc.()(4)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關(guān)系隨k的變化而變化()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最大值為_設(shè)直線l的方程為yxt，代入y21得x22txt210，由題意得(2t)25(t21)0，即t2b0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長AB3，點(diǎn)A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.5若橢圓1中過點(diǎn)P(1,1)的弦恰好被P平分

3、，則此弦所在直線的方程是_x2y30設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.又x1x22，y1y22.即所求直線的方程為y1(x1)，即x2y30.定點(diǎn)問題橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左、右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)(c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，所以，解得c1.又e，解得a2，所以b2a2c23.所以所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A

4、(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化為34k2m2.所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)D(2,0)，kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40.化為7m216mk4k20，解得m12k，m2.且滿足34k2m20.當(dāng)m2k時(shí)，l：yk(x2)，直線過定點(diǎn)(2,0)與已知矛盾；當(dāng)m時(shí)，l: yk，直線過定點(diǎn).綜上可知，直線l過定點(diǎn).規(guī)律方法定點(diǎn)問題的求解策略(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇

5、參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意變式訓(xùn)練1已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，右頂點(diǎn)為A，且AF1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線x4交于點(diǎn)Q，問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0)，使得0.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：62172265】圖481解(1)由c1，ac1，得a2，b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k

6、2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設(shè)P(xp，yp)，則xp，ypkxpmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在點(diǎn)M(1,0)符合題意.定值問題(2017南京模擬)已知橢圓1(ab0)的離心率e，一條準(zhǔn)線方程為x2.過橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q.圖482(1)求橢圓的方程；(2)若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：62172266】解(1)因?yàn)椋?，所以a，c1，所以b1.故橢圓

7、的方程為y21.(2)法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)因?yàn)閗AP，所以直線AP的方程為yx1.令y0，解得m.因?yàn)閗AQ，所以直線AQ的方程為yx1.令y0，解得n.所以mn.又因?yàn)?x1，y1)在橢圓y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2.所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2.法二：設(shè)直線AP的斜率為k(k0)，則AP的方程為ykx1，令y0，得m.聯(lián)立方程組消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP，所以yPkxP1，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以kAQ，故直線AQ的方程為yx1.令y0，得n2k，所以mn(2k)2.所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2.規(guī)律方法圓錐曲線中的定

8、值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得變式訓(xùn)練2(2017揚(yáng)州期中)如圖483，已知橢圓C：1(ab0)，離心率為.過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))點(diǎn)D在橢圓C上，且ADAB.圖483(1)若橢圓C的右準(zhǔn)線方程為：x4，求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線BD，AB的斜率分別為k1，k2，求的值解(1)解得b23

9、，橢圓方程為1.(2)法一：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則B(x1，y1)A，D在橢圓上，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.kADkBD0，e，k1.ADAB，k2，.法二：設(shè)A(x0，y0)，D(x1，y1)，則B(x0，y0)則kADkBD，下同法一.最值(范圍)問題已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對稱圖484(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220.將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx

10、解得b.由得m.故m的取值范圍是.(2)令t，則AB.且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)ABd，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即m時(shí)，等號成立故AOB面積的最大值為.規(guī)律方法解決圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍變式訓(xùn)

11、練3(2017常州模擬)已知圓x2y21過橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l：ykxm與圓x2y21相切，與橢圓1相交于A，B兩點(diǎn)記，且.(1)求橢圓的方程；(2)求k的取值范圍；(3)求OAB的面積S的取值范圍解(1)由題意知2c2，所以c1.因?yàn)閳A與橢圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，從而b1，故a，所以所求橢圓方程為y21.(2)因?yàn)橹本€l：ykxm與圓x2y21相切，所以原點(diǎn)O到直線l的距離為1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k2

12、1，即k的取值范圍是.(3)AB2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得AB.設(shè)OAB的AB邊上的高為d，則d1，則SABdAB，所以S.即OAB的面積S的取值范圍是.思想與方法1有關(guān)弦的三個(gè)問題涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮利用圓錐曲線的定義求解2圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)與之相關(guān)的一些問題(2)兩種常見解法：幾何法

13、，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解易錯(cuò)與防范1求范圍問題要注意變量自身的范圍2中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部3解決定值、定點(diǎn)問題，不要忘記特值法課時(shí)分層訓(xùn)練(四十八)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1如圖485，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為.圖485(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：ykxm(k0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段B

14、C被y軸平分，且ABAC，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：62172267】解(1)由條件知橢圓1(ab0)的離心率為e，所以b2a2c2a2.又點(diǎn)A(2,1)在橢圓1(ab0)上，所以1，解得所以，所求橢圓的方程為1.(2)將ykxm(k0)代入橢圓方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由線段BC被y軸平分，得xBxC0，因?yàn)閗0，所以m0.因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因?yàn)锳BAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k時(shí)，直線yx過點(diǎn)A(2,1)，故

15、k不符合題設(shè)所以，此時(shí)直線l的方程為yx. 2已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由條件可得a2，c，b1，故橢圓C的方程x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.設(shè)OAB的面積為S，由x1x20，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0b0)過點(diǎn)P，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，記ABP三條邊

16、所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；若直線l的斜率為，試探究OA2OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：62172268】解(1)1，得a24，b23.所以橢圓C：1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化簡得(3m24)y26my90，易知0，所以y1y2，y1y2，所以kAPkBP，所以tkABkAPkBP2，所以當(dāng)m時(shí)，t有最大值.設(shè)直線l的方程為yxn，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)243(2n26)0，即n.x1x2，x1x

17、2，OA2OB2xyxy(xx)(yy)xx22(xx)n(x1x2)2n2(x1x2)2x1x2n(x1x2)2n22n2n27.所以當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，OA2OB2為定值7.2(2017泰州期末)如圖486，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2y24，橢圓C：y21，A為橢圓右頂點(diǎn)過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.圖486(1)求k1k2的值；(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，說明理由；(3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q.解(1)設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，y0)，y1，A(2,0)，所以k1k2.(2)聯(lián)立得(1k)x24kx4(k1)0，解得xp，ypk1(xp2)，聯(lián)立得(14k)x216kx4(4k1)0，解得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常數(shù)，使得kPQkBC.(3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，Q，則kAQk2，所以直線AC必過點(diǎn)Q.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為：y，聯(lián)立，解得xQ，yQ，所以kAQk2，故直線AC必過點(diǎn)Q.