概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題

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1、概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計典 型 習 題 講 解中 國 人 民 大 學 統(tǒng) 計 學 院李 因 果 第 一 章 隨 機 事 件 與 概 率.; : )87(. BAAB BABA P 偶 律 其 中 特 別 注 意 兩 個 對參 見 教 材 事 件 的 運 算 律 七 1.2 隨 機 事 件 的 概 率 :3)(2.1. 條 公 理足 以 下個 概 率 測 度 ， 如 果 它 滿 上 的 一稱 為上 的 一 個 實 值 函 數(shù)事 件 域 的在是 一 個 樣 本 空 間 ， 定 義 設定 義 概 率 的 公 理 化 定 義三 PF ;0)(:.2 ;1)(.1 APAP ， 都 有 對 任 意

2、 事 件公 理 公 理 .)()( :, .3 1121 i ii in APAPAAA 有 相 容 的 事 件 對 任 意 可 數(shù) 個 兩 兩 不公 理 ).,(: )( PP 概 率 空 間 ， 記 作 ， 為 一 個的 樣 本 空 間稱 具 有 概 率 測 度 ).)()()(:2, ,)( );()()()(.4 ABPBAPAP ABBAABBAA ABPAPBAPBAP 則 由 性 質(zhì)相 容 互 不與且由 于 性 質(zhì) ).( )()()( )()()()( , ,3ABCP BCPACPABP CPBPAPCBAP CBA 則設 個 事 件 的 情 況 將 加 法 公 式 推 廣

3、到 1.3 古 典 概 型 與 幾 何 概 型一 . 古 典 概 型 ).,2,1(,1)(:,)2( ;, ,)1( :21 ninP i n 即相 同 驗 中 發(fā) 生 的 可 能 性每 個 基 本 事 件 在 一 次 試 即由 有 限 個 基 本 事 件 組 成概 率 模 型 為 古 典 概 型稱 滿 足 下 列 兩 個 條 件 的 的 測 度 。稱 為 其 中幾 何 概 率稱 由 上 式 定 義 的 概 率 為 則為 任 意 可 度 量 子 集設有 一 般 地AAS S ASAP nRA n)( ,.)( )()( , ),3,2,1(,:, .)(,3; )(,2;)(,1 的 體 積

4、為時的 面 積為 時的 長 度為時（ AASnA ASnAASn 幾 何 概 型二 . 1.4 條 件 概 率. ,)( )()( .0)(, ,),(:3.1條 件 概 率 發(fā) 生 的事 件發(fā) 生 的 條 件 下為 已 知 事 件 則 稱且上 的 兩 個 事 件 是 其 給 定 概 率 空 間定 義 BA APABPABP AP BAP ).(1)(, ABPABP 特 別 地 例 2 一 盒 中 混 有 100只 新 ,舊 乒 乓 球 ， 各 有 紅 、白 兩 色 ， 分 類 如 下 表 。 從 盒 中 隨 機 取 出 一 球， 若 取 得 的 是 一 只 紅 球 ， 試 求 該 紅 球

5、是 新 球的 概 率 。 紅 白新 40 30舊 20 10設 A-從 盒 中 隨 機 取 到 一 只 紅 球 . B-從 盒 中 隨 機 取 到 一 只 新 球 . 60 An 40ABn 32)|( AABnnABP 全 概 公 式四 .互 不 相 容 。 因 此 有 與， 其 中由 于 212121212 AAAAAAAAA )()()( 21212 AAPAAPAP )()()()( 121121 AAPAPAAPAP 1 21,1.1 , , , , ( ) 0,( 1,2, , , ), ,n iii A AA P Ai n AB 一 般 地 有定 理 設 有 限 個 或 可 數(shù)

6、個 事 件為 一 個 完 備 事 件 組 且且 = 則 對 于 任 意 事 件有 ).()()( ii i ABPAPBP ).()()()()( 21 ABPAPABPAPBP AAAA 時 ， 有，特 別 地 ， 當 全 概 公 式四 . 有 則 對 任 意 事 件且事 件 組 為 一 個 完 備 設定 理 ,0)(, ).,2,1(,0)(, ,2.1 21 BPB iAP AAAi n )( )()( BP BAPBAP ii j jj ii ABPAP ABPAP )()( )()( 貝 葉 斯 公 式五 . 例 3 盒 中 有 3個 紅 球 ， 2個 白 球 ， 每 次 從 盒 中

7、 任 取一 只 ， 觀 察 其 顏 色 后 放 回 ， 并 再 放入 一 只 與 所 取 之 球 顏 色 相 同 的 球 ， 若 從 盒 中 連 續(xù)取 球 4次 ,試 求 第 1、 2次 取 得 白 球 、第 3、 4次 取 得 紅 球 的 概 率 。解 ： 設 Ai為 第 i次 取 球 時 取 到 白 球 ， 則 )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 52)( 1 AP 63)|( 12 AAP 73)|( 213 AAAP 84)|( 3214 AAAAP 例 4.市 場 上 有 甲 、 乙 、 丙 三 家 工 廠 生 產(chǎn) 的 同

8、 一 品 牌 產(chǎn) 品 ，已 知 三 家 工 廠 的 市 場 占 有 率 分 別 為 1/4、 1/4、 1/2， 且 三家 工 廠 的 次 品 率 分 別 為 2 、 1 、 3 ， 試 求 市 場 上 該 品牌 產(chǎn) 品 的 次 品 率 。買 到 一 件 丙 廠 的 產(chǎn) 品買 到 一 件 乙 廠 的 產(chǎn) 品買 到 一 件 甲 廠 的 產(chǎn) 品： 買 到 一 件 次 品設 ： : 321AAA B )()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP 0225.02103.04101.04102.0 )()()()( 321 BAPBAPBAPBP 例 6商 店 論 箱 出

9、 售 玻 璃 杯 ， 每 箱 20只 ， 其 中 每 箱 含 0， 1， 2只 次 品 的 概 率 分 別 為 0.8, 0.1, 0.1， 某 顧 客 選 中 一箱 ， 從 中 任 選 4只 檢 查 ， 結 果 都 是 好 的 ， 便 買 下 了 這 一 箱.問 這 一 箱 含 有 一 個 次 品 的 概 率 是 多 少 ？解 :設 A:從 一 箱 中 任 取 4只 檢 查 ,結 果 都 是 好 的 . B0, B1, B2分 別 表 示 事 件 每 箱 含 0， 1， 2只 次 品已 知 :P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 1)|( 0 BAP54)|( 42

10、04191 CCBAP 1912)|( 4204182 CCBAP由 Bayes公 式 : 20 111 )|()( )|()()|( i ii BAPBP BAPBPABP 0848.019121.0541.018.0 541.0 二 . 有 限 個 事 件 的 獨 立 性. ).()()(,1 , )2()(5.121 jijin APAPAAPnji AAA n 都 有 對 任 意兩 兩 相 互 獨 立 個 事 件兩 兩 相 互 獨 立定 義 都 有個 事 件對 任 意相 互 獨 立 個 事 件相 互 獨 立定 義 ),1(, , ,)2()(6.1 21 21 21niiiA AAkA

11、 AAn ki iink “ 伯 努 利 概 型 ” 。重 伯 努 利 試 驗 。試 驗 序 列 稱 為 次 ， 形 成 的復一 個 伯 努 利 試 驗 獨 立 重 列 。 特 別 地 ， 由重 復 進 行 形 成 的 試 驗 序 伯 努 利 試 驗 獨 立序 列 ， 如 果 它 是 由 一 個 努 利 試 驗 一 個 試 驗 序 列 稱 為 伯定 義 n n8.1 .,2,1,0 ,)1(),;()( ).,;(:)( , ),10(,)( ,)(3.1 nk ppCpnkbBP pnkbBPk ABn ppAPA knkknk k k 記 作次 ” ， 將生 恰 好 發(fā)“ 事 件令重 伯

12、努 利 試 驗 中在 則發(fā) 生 的 概 率 為事 件 設 在 一 次 試 驗 中伯 努 利 定 理 定 理 第 二 章 隨 機 變 量 的 分 布 與 數(shù) 字 特 征 2.1 隨 機 變 量 及 其 分 布一 . 隨 機 變 量 的 概 念由 第 一 章 可 知 : 隨 機 試 驗 具 有 : (1)結 果 的 不 確 定 性 ;(2)結 果 往 往 表 現(xiàn) 為 數(shù) 量 形 式 ,或 可 以 “ 數(shù)量 化 ” . 率 分 布 離 散 型 隨 機 變 量 的 概二 .變 量 。 是 一 個 離 散 型 隨 機各 可 能 值 ， 則 稱 確 定 的 概 率 取有 限 個 或 可 數(shù) 個 ， 并 以

13、的 全 部 可 能 取 值 為隨 機 變 量 ， 如 果 上 的 一 個是 定 義 在 設定 義 XX PX ),(2.2 ).( ),3,2,1(),( ,3,2,1: ,3.2 或 概 率 函 數(shù)的 概 率 分 布為 則 稱且 其 取 值 集 合 為是 一 個 離 散 型 隨 機 變 量 設定 義X ixXP ixXi i .)()( iii pxPxXP 或記 作也 可 將 :表 示 為的 概 率 分 布 也 可 以 列 表X nnpppP xxxX 21 21 分 布 函 數(shù)三 . ).(,)()(, ,4.2 xFXX xXPxFx X 記 作的 分 布 函 數(shù)為 隨 機 變 量 稱

14、 函 數(shù)實 數(shù) 對 于 任 意是 一 個 隨 機 變 量 設定 義 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 1、 單 調(diào) 不 減 性 ： 若 x1x2, 則 F(x1)F(x2); 2、 歸 一 性 ： 對 任 意 實 數(shù) x， 0F(x)1， 且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F xx ).x(F)x(Flim)0 x(F 0 xx0 0 3、 右 連 續(xù) 性 ： 對 任 意 實 數(shù) x，反 之 ， 具 有 上 述 三 個 性 質(zhì) 的 實 函 數(shù) ， 必 是 某 個隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 。 故 該 三 個 性 質(zhì) 是分 布 函 數(shù) 的 充 分 必 要 性 質(zhì) 。 一 般 地

15、 ， 對 離 散 型 隨 機 變 量 X PX= xk pk, k 1, 2, 其 分 布 函 數(shù) 為 xxk k k pxXPxF :)(離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 階 梯 函 數(shù) ,分布 函 數(shù) 的 跳 躍 點 對 應 離 散 型 隨 機 變 量 的 可能 取 值 點 ,跳 躍 高 度 對 應 隨 機 變 量 取 對 應 值的 概 率 ;反 之 ,如 果 某 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 階 梯 函數(shù) ,則 該 隨 機 變 量 必 為 離 散 型 . :的 概 率 分 布 為 一 般 地 ， 若 隨 機 變 量 XX nn nn pppp xxxx 121

16、 121 P , 121 nn xxxx 其 中 :)( 為的 分 布 函 數(shù)則 xFX 四 . 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) n nnn xx xxxpp xxxpp xxxp xxxF ,1 ,0)( 111 3221 211 1 五 . 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 概 率 密 度:),( 5.2)( 使 得 有積 函 數(shù) 一 個 非 負 的 可型 隨 機 變 量 ， 如 果 存 在 稱 為 連 續(xù) 一 個 隨 機 變 量定 義一 xf X .)()()( x dttfxXPxF ).(), ()(, xfXXxf 可 記 作度 函 數(shù) 或 密的 概 率 密 度

17、函 數(shù)稱 為其 中 :)( 有 以 下 性 質(zhì)xf ;,0)()1( Rxxf .1)()2( dxxf .,)(, 變 量 的 密 度 函 數(shù)則 其 可 以 作 為 某 個 隨 機 有 以 上 兩 個 性 質(zhì)如 果 一 個 函 數(shù)反 之 xf )()()( aXPbXPbXaP )()( aFbF ab dxxfdxxf )()( ba dxxf )( 函 數(shù)連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布三 )( 有處 連 續(xù) 時在 點當導 數(shù) 可 知 故 由 變 上 限 積 分 的由 于 ,)(: ,)()( xxf dttfxF x ).()()( xfdttfxF x .)()3( ;1)(,

18、0)()2();()1( :)(都 連 續(xù)在 任 意 點不 減單 調(diào) 性 的 性 質(zhì)函 數(shù)連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布xxF FF xF 1. 均 勻 分 布 若 X f(x) ， 其 它0 bxa,ab 1 。 。0 a bab cddxabdxxfdXcP dc dc 1)( )x(f x則 稱 X在 (a, b)內(nèi) 服 從 均 勻 分 布 。 記 作 XU(a, b) 對 任 意 實 數(shù) c, d (acd0的 指 數(shù) 分 布 。其 分 布 函 數(shù) 為 )x(f x0 0,0 0,1)( x xexF x 例 .電 子 元 件 的 壽 命 X(年 ） 服 從 參 數(shù) 為 0.5

19、的 指 數(shù) 分 布(1)求 該 電 子 元 件 壽 命 超 過 2年 的 概 率 。(2)已 知 該 電 子 元 件 已 使 用 了 1.5年 ， 求 它 還 能 使 用 兩 年的 概 率 為 多 少 ？解 ,00 05.0)( xxexf 0.5x 37.0)1( 12 0.5x edx0.5e2PX 5.1|5.3)2( XXP 37.0 11.5 0.5x3.5 0.5x edx0.5e dx0.5e 5.1 5.1,5.3 XP XXP .,2,1,)( :6.2 ipxXP Xii 的 概 率 分 布 為 設 隨 機 變 量定 義 ii iii i pxEX EXXpx 11 :,.

20、 , 定 義 為并 將 其 數(shù) 學 期 望 記 作存 在 的 數(shù) 學 期 望則 稱收 斂若 級 數(shù) 2.2 隨 機 變 量 的 數(shù) 字 特 征一 . 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 字 特 征 二 . 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 .)(:, ,)( ),(7.2 dxxfxEX Xdxxfx xfX 且 定 義 為存 在 的 數(shù) 學 期 望則 稱收 斂如 果 設 連 續(xù) 型 隨 機 變 量定 義 期 望 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 數(shù) 學三 . . )(,1.2一 個 實 函 數(shù) 為是 一 個 隨 機 變 量 設定 理 xgX .,2,1,)(:)1( ipxXP ii

21、已 知離 散 型 ,)(,)(1 存 在則 稱收 斂若 級 數(shù) XEgpxg ii i .)()(: 1 i ii pxgXEg并 定 義 ,)(,)()( ),(:)2( 存 在則 稱收 斂 若 無 窮 積 分已 知連 續(xù) 型 XEgdxxfxg xfX 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 密 度 函 數(shù) 1、 一 般 方 法 若 Xf(x), - x +, Y=g(X)為 隨 機 變 量 X 的 函 數(shù) ， 則 可 先 求 Y的 分 布 函 數(shù) FY (y) PYy P g(X) y yxg dxxf)( )(dy ydFyf YY )()( 然 后 再 求 Y的 密 度 函 數(shù)此 法

22、 也 叫 “ 分 布 函 數(shù) 法” 2、 公 式 法 一 般 地 若 X fX(x), y=g(x)是 單 調(diào) 可 導 函 數(shù) ， 則 |)(|)()()( yhyhfyfXgY XY 注 ： 1 只 有 當 g(x)是 x的 單 調(diào) 可 導 函 數(shù) 時 ， 才 可 用 以上 公 式 推 求 Y的 密 度 函 數(shù) 。2 注 意 定 義 域 的 選 擇其 中 h(y)為 y g(x)的 反 函 數(shù) . 例 設 XU(0,1),求 Y=ax+b的 概 率 密 度 .(a 0)解 : Y=ax+b關 于 x嚴 單 ,反 函 數(shù) 為 a byyh )(故 aa byfyhyhfyf XY 1)(|)(

23、|)()( 而 othersxxf X 0 101)(故 othersa byayfY 0 101)( 設 隨 機 變 量 X服 從 0， 2均 勻 分 布 ，求 Y=sin(X)的 概 率 密 度 。注 3 若 X fX(x) ， y=g(x)關 于 X分 段 嚴 格 單 調(diào) ， 且在 第 i個 單 調(diào) 區(qū) 間 上 ， 反 函 數(shù) 為 hi(y),則 Y=g(X）的 概 率 密 度 為 |)(|)()( 1 yhyhfyf imi iXY 四 . 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì) 則為 任 意 常 數(shù)為 隨 機 變 量設 , baX ;.1 aEa ;)(.2 aEXaXE ;)(.3 bEXbX

24、E :,)()( ),(),(,.4 21 2121 則 有都 存 在與如 果 對 于 任 意 實 函 數(shù)設 XEgXEg xgxgRaa ).()( )()( 2211 2211 XEgaXEga XgaXgaE 方 差 與 標 準 差 的 定 義 方 差 的 算 術 平 方 根 稱 為 標 準 差)(XD設 X是 一 個 隨 機 變 量 ， 若 E(X-E(X)2， 則稱 . D(X)=EX-E(X)2 為 X的 方 差 . ,)()( ,)()( 21 2 dxxfXEx pXExXD kk kk方 差 的 計 算 式 : D(X)=E(X2)-E(X)2 :方 差 的 性 質(zhì) :, 則

25、 有的 方 差 存 在設 隨 機 變 量 RbaX ;:;0)1( aEaDa 而 ;)(:;)()2( 2 aEXaXEDXaaXD 而 ;)(:;)()3( bEXbXEDXbXD 而 .)(;)( 2 baEXbaXEDXabaXD 而 夫 不 等 式隨 機 變 量 的 矩 與 切 比 雪六 .隨 機 變 量 的 矩.1 階 中 心 矩 。的為 稱存 在 時階 原 點 矩 ； 當?shù)膭t 稱 之 為 存 在為 正 整 數(shù) 。 若為 隨 機 變 量 ，設 kXEXXE EXkX EXkX k k k)( , ,的 二 階 中 心 矩 。 為而的 一 階 原 點 矩為由 此 可 見 XDXXEX

26、 ,: 切 比 雪 夫 不 等 式.2 都 有對 任 意 給 定 的 常 數(shù) 則的 期 望 與 方 差 都 存 在設 隨 機 變 量 ,0 ,X .)( 2 DXEXXP 情 況 給 出 證 明 。 離 散 型 與 連 續(xù) 型 兩 種 說 明 :1.切 貝 謝 夫 不 等 式 成 立 的 條 件 是 :DX,EX 存 在 .2.切 貝 謝 夫 不 等 式 給 出 了 隨 機 變 量 的 離 差 的 絕 對 值 與 其 方 差 DX的 關 系 . EXX 方 差 DX越 小 , 隨 機 變 量 X與 其 期 望 EX的離 差 也 越 小 .EX( ) EX EXX EX的 代 表 性 強 . 2

27、.3 常 用 的 離 散 型 分 布四 . 二 項 分 布 有記 作的 二 項 分 布 為 參 數(shù)服 從 以則 稱發(fā) 生 的 次 數(shù)驗 中 次 試表 示令發(fā) 生 的 概 率 為 每 次 試 驗 中 事 件重 伯 努 利 試 驗 中 設 在 ),(:, , ),10( , pnbX pnXA nXppA n ),2,1,0( ,)1(),;()( nk ppCpnkbkXP knkkn .)1(,),( npqpnpDXnpEXpnbX 則若 對 于 固 定 n及 p， 當 k增加 時 ,概 率 P(X=k) 先 是 隨之 增 加 直 至 達 到 最 大 值 , 隨 后 單 調(diào) 減 少 .二 項

28、 分 布 的 圖 形 特 點 ： XB(n,p)當 (n+1)p不 為 整 數(shù) 時 ， 二 項 概率 P(X=k)在 k=(n+1)p達 到 最大 值 ；( x 表 示 不 超 過 x 的 最 大 整 數(shù) ) .n=10,p=0.7 nPk0 二 項 分 布請 看 演 示 泊 松 分 布七 . .; ;: 等 待 的 顧 客 數(shù) 服 務 窗 口織 物 或 鑄 件 上 的 疵 點 數(shù)呼 叫 數(shù) 接 到 的 轉(zhuǎn) 接電 話 交 換 臺 在 某 個 時 段背 景 .),2,1,0(,!)( : kekkXP Xk 的 概 率 分 布 為若 隨 機 變 量定 義 ).(:,0 PX X記 作泊 松 分

29、布 為 參 數(shù) 的服 從 以參 數(shù) 。 則 稱其 中 )( )(4.2 關 系二 項 分 布 與 泊 松 分 布 的泊 松 定 理定 理 :,),0( , , 有數(shù)則 對 任 意 給 定 的 非 負 整 時如 果 當發(fā) 生 的 概 率 為 在 每 次 試 驗 中事 件重 伯 努 利 試 驗 中設 在 knpnp An nn )lim( .!)1(lim nn kknnknknn np ekppC 其 中 2.4 常 見 的 連 續(xù) 型 分 布一 . 均 勻 分 布 ),0(,0 0,)( : 常 數(shù)其 它的 概 率 密 度 為若 隨 機 變 量 Xexf Xx ).(: . eXX記 作 的

30、指 數(shù) 分 布服 從 參 數(shù) 為則 稱二 . 指 數(shù) 分 布 指 數(shù) 分 布 常 用 于 描 述 各 種 “ 壽命 ” . .0,1 0,0)( :),( xe xxF XeX x 的 分 布 函 數(shù) 為則若 .1,1, 2 DXEX并 且 ).()( :,),( )(5.2 rXPsXsrXP sreX 有則 對 任 意 正 實 數(shù)設 ”指 數(shù) 分 布 的 “ 無 記 憶 性定 理 三 . 正 態(tài) 分 布 ,21)( :2 22 )( Rxex Xx 的 概 率 密 度 為若 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 :, ,0, 2 記 作的 正 態(tài) 分 布參 數(shù) 為 服 從則 稱且為 參 數(shù)其 中 X

31、).,( 2NX 決 定 了 圖 形 的 中 心 位 置 ， 決 定 了 圖 形中 峰 的 陡 峭 程 度 . 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 特 點),( 2N 設 X ,),( 2N X的 分 布 函 數(shù) 是 ,dte)xX(P)x(F x )t( 2 2221 x 態(tài) 分 布 的 關 系一 般 正 態(tài) 分 布 與 標 準 正.3 ).,().0,( ,),(6.2 222 abaNYaRba baXYNX 則且 令 設定 理 ):( 服 從 正 態(tài) 分 布正 態(tài) 分 布 的 線 性 函 數(shù) 仍即 ).12,7(14),3,2(: 22 則例 如 NXYNX 算一 般 正 態(tài) 分 布 的 概

32、率 計.4 );1,0( ),(:16.2 2的 推 論利 用 定 理 NXY NX ).()(:3 0 xx和 推 論 2.5 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 的 分 布例 如 :已 知 離 散 型 隨 機 變 量 X的 概 率 分 布 為 :X 2101 P 0.1 0.3 0.4 0.2: ,32 2分 別 為 的 概 率 分 布與則若 ZYXZXY Y=2X+3 -5 -3 -1 1P 0.1 0.3 0.4 0.2 0 1 42XZ P 0.3 0.5 0.2 例 1 例 1 例 1 例 1 例 1 例 2 例 2 例 2 例 2 例 3 例 3 x 例 3 例 4 例 5 （ 2010

33、數(shù) 學 一 、 三 ） 例 6 （ 2010數(shù) 學 一 、 三 ） 例 7 （ 2010數(shù) 學 一 、 三 ） 例 8（ 2010數(shù) 學 一 、 三 ） 例 8 （ 2010數(shù) 學 一 、 三 ） 例 8（ 2010數(shù) 學 一 、 三 ） 例 9（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 10（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 11（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 11（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 12（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 12（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 13（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 13（ 2009數(shù) 學 一 、 三 ） 例 14（ 2008數(shù) 學 一 、 三 ） 例 15（ 2008數(shù) 學 一 、 三 ） 例 15（ 2008數(shù) 學 一 、 三 ） 例 15（ 2008數(shù) 學 一 、 三 ） 例 15（ 2008數(shù) 學 一 、 三 ） 例 16（ 2007數(shù) 學 一 、 三 ） 例 16（ 2007數(shù) 學 一 、 三 ） 例 16（ 2007數(shù) 學 一 、 三 ）