函數項級數的一致收斂性及基本性質

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1、 一 、 問 題 的 提 出 有 限 個 連 續(xù) 函 數 的 和 仍 是 連 續(xù) 函 數 ， 有 限 個 函 數 的 和 的 導 數 及 積 分 也 分 別 等 于 他 們 的 導 數 及 積 分 的 和 對 于 無 限 個 函 數 的 和 是 否 具 有 這 些 性 質 呢 ？ 對 于 冪 函 數 是 這 樣 的 ， 那 么 對 于 一 般 的 函 數 項 級 數 是 否 如 此 ？ 問 題 : 解 ,)( nn xxs 且 得 和 函 數 ：因 為 該 級 數 每 一 項 都 在 0,1是 連 續(xù) 的 ， .1,1 ,10,0)(lim)( x xxsxs nn .1)( 處 間 斷在和

2、函 數 xxs例 1 考 察 函 數 項 級 數 )()()( 1232 nn xxxxxxx和 函 數 的 連 續(xù) 性 函 數 項 級 數 的 每 一 項 在 , ba 上 連 續(xù) ， 并 且 級 數 在 , ba 上 收 斂 ， 其 和 函 數 不 一 定 在 , ba 上 收 斂 同 樣 函 數 項 級 數 的 每 一 項 的 導 數 及 積 分 所 成 的 級 數 的 和 也 不 一 定 等 于 他 們 和 函 數 的 導 數 及 積 分 結 論 對 什 么 級 數 ， 能 從 每 一 項 的 連 續(xù) 性 得 出 和 函 數 的 連 續(xù) 性 ， 從 每 一 項 的 導 數 及 積 分

3、所 成 的 級 數 之 和 得 出 原 來 級 數 的 和 函 數 的 導 數 及 積 分 呢 ？ 問 題 二 、 函 數 項 級 數 的 一 致 收 斂 性 設 有 函 數 項 級 數 1 )(n n xu 如 果 對 于 任 意 給 定 的 正 數 ， 都 存 在 著 一 個 只 依 賴 于 的 自 然 數 N ， 使 得 當 Nn 時 ， 對 區(qū) 間 I上 的 一 切x ， 都 有 不 等 式 )()()( xsxsxr nn 成 立 ， 則 成 函 數 項 級 數 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I上 一 致 收 斂 于 和 )(xs ， 也 稱 函 數 序 列 )(xsn 在 區(qū)

4、間 I上 一 致 收 斂 于 )(xs 定 義 只 要 n充 分 大 )( Nn ,在 區(qū) 間 I上 所 有 曲 線 )(xsy n 將 位 于 曲 線 )(xsy 與 )(xsy 之 間 .xyo I )(xsy )(xsy )(xsy )(xsy n 幾 何 解 釋 : 研 究 級 數 111112111 nxnxxxx 在 區(qū) 間 ),0 上 的 一 致 收 斂 性 . 例 2解 ,1)( nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxs nnn余 項 的 絕 對 值 )0(11)()( xnnxxsxsr nn 對 于 任 給 0 ， 取 自 然 數 1N ， 則 當 Nn

5、時 ， 對 于 區(qū) 間 ,0 上 的 一 切 x，有 )(xrn 根 據 定 義 ，所 給 級 數 在 區(qū) 間 ,0 上 一 致 收 斂 于 .0)( xs 例 3 研 究 例 1中 的 級 數 )()()( 1232 nn xxxxxxx在 區(qū) 間 ( 0 , 1內 的 一 致 收 斂 性 .解 該 級 數 在 區(qū) 間 (0,1)內 處 處 收 斂 于 和 0)( xs ， 但 并 不 一 致 收 斂 對 于 任 意 一 個 自 然 數 ,n 取 nnx 21 ， 于 是,21)( nnnn xxs ,0)( nxs但 .21)()()( nnnnn xsxsxr從 而 只 要 取 21 ，

6、 不 論 n多 么 大 ， 在 (0,1)總 存 在 點 nx ， ,)( nn xr使 得因 此 級 數 在 ( 0, 1 )內 不 一 致 連 續(xù) 說 明 :從 下 圖 可 以 看 出 : 但雖 然 函 數 序 列 nn xxs )( 在 ( 0, 1 )內 處 處,0)( xs )(xsn 在 ( 0, 1 )內 各 點 處 收收 斂 于斂 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 是 不 一 致 的 o xy (1,1)nn xxsy )( 1n 2n 4n 10n 30n 1一 致 收 斂 上， 這 級 數 在注 意 ： 對 于 任 意 正 數 ,01 rr 小 結 一 致 收 斂 性 與

7、 所 討 論 的 區(qū) 間 有 關 定 理 （ 魏 爾 斯 特 拉 斯 (Weierstrass)判 別 法 ） 如 果 函 數 項 級 數 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 滿 足 條 件 : (1) )3,2,1()( naxu nn ; (2) 正 項 級 數 1n na 收 斂 , 則 函 數 項 級 數 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 一 致 收 斂 . 一 致 收 斂 性 簡 便 的 判 別 法 ： 證 由 條 件 (2)， 對 任 意 給 定 的 0 ， 根 據 柯 西 審 斂 原 理 存 在 自 然 數 N ， 使 得 當 Nn 時 ， 對 于 任 意 的 自

8、然 數 p 都 有 .221 pnnn aaa 由 條 件 (1)， 對 任 何 Ix ， 都 有 )()()( 21 xuxuxu pnnn )()()( 21 xuxuxu pnnn ,221 pnnn aaa 令 p ,則 由 上 式 得 2)(xrn . 因 此 函 數 項 級 數 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 一 致 收 斂 .例 4 證 明 級 數 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 ),( 上 一 致 收 斂 . 證 在 ),( 內 ),3,2,1(1sin 22 2 nnn xn 級 數 1 21n n 收 斂 ， 由 魏 爾 斯 特 拉 斯

9、 判 別 法 ， 所 給 級 數 在 ),( 內 一 致 收 斂 三 、 一 致 收 斂 級 數 的 基 本 性 質定 理 1 如 果 級 數 1 )(n n xu 的 各 項 )(xun 在 區(qū) 間 ba, 上 都 連 續(xù) ,且 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 于 )(xs ,則 )(xs 在 ba, 上 也 連 續(xù) .證 設 xx ,0 為 ba, 上 任 意 點 由 )()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn )()()()( 00 xrxrxsxs nnnn (1)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnn

10、n 級 數 1 )(n n xu 一 致 收 斂 于 )(xs ， 對 0 ， 必 自 然 數 )(NN ， 使 得 當 Nn 時 , 對 ba, 上 的 一 切 x 都 有 3)( xrn (2).3)( 0 xrn同 樣 有 故 )(xsn ( Nn )在 點 0 x 連 續(xù) ， (3)0 當 0 xx 時 總 有 3)()( 0 xsxs nn由 (1)、 (2)、 (3)可 見 , 對 任 給 0 ， 必 有 0 ， 當 0 xx 時 ， 有 .)()( 0 xsxs )(xsn 是 有 限 項 連 續(xù) 函 數 之 和 ， 所 以 )(xs 在 點 0 x 處 連 續(xù) ， 而 0 x

11、在 ba, 上 是 任 意 的 ， 因 此 )(xs 在 ba, 上 連 續(xù) 定 理 2 如 果 級 數 1 )(n n xu 的 各 項 )(xun 在 區(qū) 間 ba, 上 都 連 續(xù) ,且 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 于 )(xs ,則 )(xs 在 ba, 上 可 以 逐 項 積 分 , 即 xxxxxx dxxudxxu dxxs 000 )()()( 21 xx n dxxu0 )( 其 中 bxxa 0 ,并 且 上 式 右 端 的 級 數 在 ba, 上 也 一 致 收 斂 . (4) 證 級 數 1 )(n n xu 在 ba, 一 致 收 斂

12、 于 )(xs , 由 定 理 1, )(xs ， )(xrn 都 在 ba, 上 連 續(xù) ， 所 以 積 分 xx dxxs0 )( ， xx n dxxr0 )( 存 在 ,從 而 有 xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )( .)(0 xx n dxxr 又 由 級 數 的 一 致 收 斂 性 , 對 任 給 正 數 必 有)(NN 使 得 當 Nn 時 ,對 ba, 上 的 一 切 x ,都 有 .)( abxrn xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )(.)( 0 xxqb 根 據 極 限 定 義 ， 有 ni xx

13、 nnxx nnxx dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(即 1 00 )()( i xx ixx dxxudxxs 由 于 N只 依 賴 于 而 于 xx ,0 無 關 ， 所 以 級 數 1 0 )(i xx i dxxu 在 ba, 上 一 致 收 斂 . 于 是 ， 當 Nn 時 有 定 理 3 如 果 級 數 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 收 斂 于 和 )(xs ， 它 的 各 項 )(xun 都 具 有 連 續(xù) 導 數)(xun ， 并 且 級 數 1 )(n n xu 在 ba, 上 一 致 收 斂 ， 則 級 數 1 )(n n xu

14、 在 ba, 上 也 一 致 收 斂 ， 且 可 逐 項 求 導 ， 即 )()()()( 21 xuxuxuxs n (5) 注 意 :級 數 一 致 收 斂 并 不 能 保 證 可 以 逐 項 求 導 .例 如 ， 級 數 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 任 何 區(qū) 間 , ba 上 都 是 一 致 收 斂 的 .逐 項 求 導 后 得 級 數 ,cos2coscos 22 xnxx. ,發(fā) 散 的 都 是所 以 對 于 任 意 值因 其 一 般 項 不 趨 于 零 x所 以 原 級 數 不 可 以 逐 項 求 導 定 理 4 如 果 冪 級 數 1n nn x

15、a 的 收 斂 半 徑 為 0R , 則 其 級 數 在 ),( RR 內 的 任 意 閉 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 .進 一 步 還 可 以 證 明 ， 如 果 冪 級 數 1n nnxa 在 收 斂 區(qū) 間 的 端 點 收 斂 ， 則 一 致 收 斂 的 區(qū) 間 可 擴 大 到 包含 端 點 冪 級 數 的 一 致 收 斂 性 定 理 5 如 果 冪 級 數 1n nnxa 的 收 斂 半 徑 為0R ， 則 其 和 函 數 )(xs 在 ),( RR 內 可 導 ， 且 有 逐 項 求 導 公 式 1 11)( n nnn nn xnaxaxs , 逐 項 求 導 后 所 得

16、到 的 冪 級 數 與 原 級 數 有 相 同 的 收 斂 半 徑 證 在 ),( RR 內 任 意 取 定 x ， 在 限 定 1x ， 使 得Rxx 1 記 11 xxq ， 則 先 證 級 數 1 1n nnxna 在 ),( RR 內 收 斂 ,11 11111111 nnnnnnnn xaxnqxaxxxnxna 由 比 值 審 斂 法 可 知 級 數 1 1n nnq 收 斂 ，),(01 nnqn于 是 故 數 列 1nnq 有 界 ， 必 有 0M ， 使 得 ),2,1(111 nMxnqn 又 Rx 10 ， 級 數 1 1n nnxa 收 斂 ， 由 比 較 審 斂 法

17、即 得 級 數 1 1n nnxna 收 斂 由 定 理 4， 級 數 1 1n nnxna 在 ),( RR 內 的 任 意 閉 區(qū) 間 ba, 上 一 致 連 續(xù) ， 故 冪 級 數 1n nnxa 在 ba, 上 適 合 定 理 3 條 件 ， 從 而 可 以 逐 項 求 導 即 得 冪 級 數 1n nnxa 在 ),( RR 內 可 逐 項 求 導 . 設 冪 級 數 1 1n nnxna 的 收 斂 半 徑 為 R ,RR 由 ba, 在 ),( RR 內 的 任 意 性 ， 將 此 冪 級 數 1 1n nnxna 在 x,0 )( Rx 上 逐 項 積 分 即 得 ,1n nn

18、xa 因 逐 項 積 分 所 得 級 數 的 收 斂 半 徑 不 會 縮 小 ，,RR 所 以 .RR 于 是 即 1 1n nnxna 與 1n nnxa 的 收 斂 半 徑 相 同 四 、 小 結1、 函 數 項 級 數 一 致 收 斂 的 定 義 ；2、 一 致 收 斂 級 數 的 判 別 法 魏 爾 斯 特 拉 斯判 別 法 ；4、 冪 級 數 的 一 致 收 斂 性 3、 一 致 收 斂 級 數 的 基 本 性 質 ； 練 習 題 上 一 致 收 斂 在 任 一 有 限 區(qū) 間證 明之 差 的 絕 對 值 小 于 正 數 與 其 極 限時能 使 當取 多 大問 上 收 斂 于 在一 、 已 知 函 數 序 列 ,)(.2 ; )(,),(.1 0 ),(),3,2,1(sin baxs xsNnxN nnxsn nn 上 的 一 致 收 斂 性 在 區(qū) 間二 、 按 定 義 討 論 級 數 ),()1()1( 221 1 nn n xx .0,.2 ;,2cos.1 1 21 xex xnxn nxn n區(qū) 間 上 的 一 致 收 斂 性 所 給判 別 法 證 明 下 列 級 數 在三 、 利 用 魏 爾 斯 特 拉 斯 練 習 題 答 案取 自 然 數一 、 xN .1二 、 一 致 收 斂