2022-2023學(xué)年福建省德化市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及模長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 【詳解】由題意得，則， 故選：C 2．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圓錐的特征及扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 【詳解】由圓錐的特征可知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖形成的扇形弧長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)， 則該弧長(zhǎng)為， 又，由扇形的弧長(zhǎng)公式可知：圓錐的母線長(zhǎng)為. 故選：B 3．在平面四邊形中，是的中點(diǎn)，則（????） A． B． C． D．

2、 【答案】A 【分析】由平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)計(jì)算即可. 【詳解】?? 由是的中點(diǎn)，且可得，即四邊形為平行四邊形， 由， 故， 故選：A 4．設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（????） A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，則 【答案】D 【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定即可. 【詳解】?? 如圖所示，正方體ABCD-EFGH， 若平面ABCD為，EF為直線l，F(xiàn)G為直線m，顯然，而，即A錯(cuò)誤； 若平面ABCD為，EF為直線l，DC為直線m，顯然，，而，即B錯(cuò)誤； 若平面ABCD為，EA為直線l，DC為直

3、線m，顯然，而，即C錯(cuò)誤； 對(duì)于D項(xiàng)，過(guò)m作面，由面面平行與線面垂直的性質(zhì)可知，而，故，即D正確； 故選：D 5．在中，若，則最大角和最小角之和為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理，推出三條邊的比值，通過(guò)余弦定理求解中間角的大小，即可得出結(jié)果. 【詳解】由正弦定理得， ， 所以最大角為，最小角為， 所以設(shè)，， 則由余弦定理得， ， 又，所以，. 故選：D 6．我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問(wèn)：斬高幾何？”大致意思是：有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截

4、去一段，使之成為正四棱臺(tái)，且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺(tái)的體積，則該正四棱臺(tái)的體積是（????）（注：1丈=10尺） A．立方尺 B．立方尺 C．3892立方尺 D．11676立方尺 【答案】C 【分析】由棱臺(tái)的特征及其體積公式計(jì)算即可. 【詳解】?? 如圖所示，由四棱錐I-ABCD截得棱臺(tái)ABCD-EFGH，W、X分別為上下底面的中心，即IX為棱錐的高，WX為棱臺(tái)的高， 由題意可知棱臺(tái)上下底面均為正方形， 故其上下底面面積分別為，則， 棱錐的高，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以棱臺(tái)的高. 故（立方尺）.

5、故選：C 7．某市有一寶塔主體是由圓柱、棱柱、球等幾何體構(gòu)成，如圖所示．為了測(cè)量寶塔的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在寶塔附近選擇樓房作為參照物，樓房高為，在樓頂A處測(cè)得地面點(diǎn)處的俯角為，寶塔頂端處的仰角為，在處測(cè)得寶塔頂端處的仰角為，其中在一條直線上，則該寶塔的高度（????） ?? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知條件解三角形得CM，再解求CD即可. 【詳解】， 在中，易得， 在中，易得， 由正弦定理得：， 在中，. 故選：B 8．若正的邊長(zhǎng)為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以為坐

6、標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由題意設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)求最值即可. 【詳解】由題知， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖， ?? 則，， 由題意設(shè)， 則， ， ， ， ， 可得. 故選：D 二、多選題 9．已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（????） A． B． C．與向量平行的單位向量是 D．向量在向量上的投影向量為 【答案】AD 【分析】利用向量的坐標(biāo)表示逐一判斷即可. 【詳解】選項(xiàng)A：，，所以，A正確； 選項(xiàng)B：，所以，B錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C：，所以與向量平行的單位向量是或，C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)

7、D：向量在向量上的投影向量為，D正確； 故選：AD 10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（????） ?? A． B．平面 C． D．點(diǎn)B，D到平面的距離不相等． 【答案】BC 【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；由線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D. 【詳解】在四面體中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面 又平面，而平面平面,可得 又平面,面，則平面,故B正確； 同樣可得平面,所以點(diǎn)B，D到平面的距離相等，故D錯(cuò)誤； 由,可得,故C正確； 由,且,但不一定與相等,故,不一定相等,故A

8、錯(cuò)誤. 故選：BC 11．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列命題正確的是（????） A．若，則點(diǎn)是的重心 B．若點(diǎn)是的外心，則 C．若，則點(diǎn)是的垂心 D．若點(diǎn)是的垂心，則 【答案】ACD 【分析】利用三角形重心、外心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證可得答案. 【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)， 則， 因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在中線上； 同理可得點(diǎn)在中線上，所以點(diǎn)是的重心，A正確. ?? 對(duì)于B，設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的外心，所以; ，B不正確. ?? 對(duì)于C，因?yàn)椋裕? 即點(diǎn)在邊上的高線上，同理可得點(diǎn)也在邊上的高線上， 所以點(diǎn)是的垂心；C正確. 對(duì)于D，

9、因?yàn)? ，即. 因?yàn)辄c(diǎn)是的垂心，所以，所以， 所以存在，使得，D正確. 故選：ACD. 12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），下列結(jié)論正確的有（????） ?? A．若四點(diǎn)共面，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為 B．若，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為 C．若，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為 D．若直線與所成的角為，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為 【答案】ABD 【分析】根據(jù)各項(xiàng)分別確定點(diǎn)的軌跡即可求解. 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以確定一個(gè)平面，而不共線的三點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)， 所以確定的平面即為平面，故點(diǎn)在上，即點(diǎn)的軌跡為，，故A正確； ?? 對(duì)于B，連接，因?yàn)樵谡襟w中，所以平面，

10、而平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，同理可證， 又平面，所以平面，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，即點(diǎn)的軌跡為，，故B正確； 對(duì)于C，因?yàn)樵谡襟w中，所以平面， 而平面，所以，所以， 所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，則軌跡長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，因?yàn)?，直線與所成的角為，所以與所成的角為，即，所以在直角中，， 所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，則軌跡長(zhǎng)度為，故D正確； 故選：ABD. 三、填空題 13．若復(fù)數(shù)為一元二次方程的一個(gè)根，則_____ ． 【答案】6 【分析】把復(fù)數(shù)代入，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求答案. 【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為一元二次方程的一個(gè)根， 所以

11、，整理得， 所以且，解得， 所以. 故答案為:6. 14．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____． 【答案】/ 【分析】根據(jù)已知作出圖形，利用異面直線所成角的定義及余弦定理即可求解. 【詳解】由題意可知，連接,如圖所示， 在長(zhǎng)方體中， 所以，且， 所以四邊形是平行四邊形， 所以. 所以角為異面直線與所成的角. 又因?yàn)?，? 所以, 在中，由余弦定理得, 異面直線與所成角的余弦值為. 故答案為：. 15．已知一球體剛好和圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺(tái)上底面的半徑為，下底面的半徑為，則該球的體積為_(kāi)________． 【答案】 【分

12、析】在軸截面梯形中，，，，然后利用，求出母線長(zhǎng)，再由可求出球的半徑，從而可求出球體的體積. 【詳解】?? 如圖，在軸截面梯形中，，， 設(shè)球的半徑為,M為球與圓臺(tái)的一個(gè)切點(diǎn)，. 因?yàn)椋? ,即得， 解得. 又因?yàn)?，即，所以，? 所以該球體的體積為. 故答案為： 16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，若的面積為3，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取到最小值時(shí)，_______． 【答案】 【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積定理、余弦定理求出周長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，再借助函數(shù)性質(zhì)、均值不等式計(jì)算作答. 【詳解】由題意得，因?yàn)椋瑒t， 由余弦定理，所以即，即，則， 而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)a最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，

13、 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)， 所以當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取到最小值時(shí)，． 故答案為： 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求的周長(zhǎng)取到最小值時(shí)先將周長(zhǎng)表達(dá)為變量的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定當(dāng)且僅當(dāng)取最小值時(shí)周長(zhǎng)最小，再用基本不等式求取最小值時(shí)的取值. 四、解答題 17．已知復(fù)數(shù)． (1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍． (2)若復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限列出限制條件，求解不等式可得答案； （2）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解. 【詳解】（1）因?yàn)? 所以 因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

14、，所以 ，所以， 即實(shí)數(shù)的取值范圍為 （2），所以. 18．已知向量滿足，，． (1)求向量的夾角的大小； (2)設(shè)向量，若的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夾角公式即可求解； （2）根據(jù)向量夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系即可求解. 【詳解】（1）由，兩邊平方得， ∵，， ，解得， , ，?? . （2）向量的夾角為銳角，等價(jià)于且方向不同． 所以,解得， 若方向相同，設(shè)， ， ∵不共線， ，解得， 綜上所述，的取值范圍是. 19．如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點(diǎn)，底面ABCD，且

15、 ?? (1)證明：平面； (2)若，求三棱錐的體積． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）可以通過(guò)作輔助線結(jié)合中位線得到線線平行證明線面平行或者通過(guò)證明面面平行得到線面平行； （2）先求三棱錐的體積，得到三棱錐的體積，利用幾何體的分割可得答案. 【詳解】（1）證法一：連接AC交BO于點(diǎn)，連接． ， ∴四邊形為平行四邊形,∴是的中點(diǎn)； ∵中，是的中點(diǎn),； ∵ 平面，平面， ∴ 平面. ?? 證法二：中，分別是的中點(diǎn)，， 又平面，平面,平面 ， 且， ∴四邊形是平行四邊形， ， 又平面，平面,平面; ，平面,∴平面平面， ∵平面，平面

16、. （2）連結(jié)，， ?? 由中，， 得，, ∴ 的面積; 又平面，, ∴三棱錐的體積為; ∵是的中點(diǎn)， , ∴. 20．在下列3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題，并解答． ①；②；③． 問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為的面積，且滿足 ． (1)求角的大??； (2)若，平分，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)任選一條件，都有 (2) 【分析】（1）若選①：根據(jù)已知條件及正弦定理邊角化，利用輔助角公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； 若選②：根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用正弦定理角化邊及余弦定理的推論，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值

17、對(duì)應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； 若選③：根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，利用向量的數(shù)量積的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，利用余弦定理及等面積法即可求解. 【詳解】（1）若選①， 由及正弦定理，得, 中，， ， , 中，， ， ，?? . 若選②： 由， 得， ， 由正弦定理得，， ， 若選③： 由，又， ， ， ， ， （2）由（1）知，, 所以，解得， 由余弦定理得 ，又， ， ， ， 由平分，及，得 ，

18、 ， . 21．如圖所示，三棱臺(tái)中，底面，． (1)證明：是直角三角形； (2)若，問(wèn)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？ 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）結(jié)合棱臺(tái)的特征及條件先證得平面，由即可得結(jié)論； （2）作，先證為直線與平面所成角，設(shè)邊長(zhǎng)，結(jié)合條件解直角三角形得出含參表示的邊長(zhǎng)，作商即可解得. 【詳解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，平面，∴平面， ∵三棱臺(tái)中， ∴平面， 又平面，，故是直角三角形． （2） 在平面內(nèi)作，垂足為，連接． 由（1）知，平面，又平面，， ，平面，平面， 是在平面上的射影，即為直線與平面所成角． 設(shè)，

19、則，， ∵三棱臺(tái)中，， ，． 在中，，， 在中，， 解得． ∴ 當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為． 22．如圖，設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，為邊上的中線，已知． (1)求的面積； (2)點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與邊（不含端點(diǎn)）分別交于．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一、由正弦定理得，由AD為中線得，結(jié)合三角形面積公式可得，從而由正弦的和角公式得，求面積即可； 法二、由正弦定理得，在和中，由正弦定理作商得的正余弦值，從而由正弦的和角公式得，求面積即可； 法三、設(shè)，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得，解方程求得的余弦值，繼而可

20、得. （2）設(shè)，利用向量共線的充要條件可得結(jié)合得，，從而可得兩個(gè)三角形面積之比. 【詳解】（1）法一：由及正弦定理得： 又∵是邊上的中線，， 即 易知為銳角，， ； （法二）由及正弦定理得： ， 在中，由正弦定理得 ①， 在中，設(shè)，由正弦定理得②， ①②得，??易知為銳角，， ； （法三）：由及正弦定理得：， 設(shè)，∵AD為邊上的中線，∴， 則， ， ， ∴， 整理得，即， ∴ 或 ， 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意， ∴， ∴． （2） 設(shè) ∵D為BC的中點(diǎn)，， ， 又E、G、F三點(diǎn)共線，所以，即③ 又， ， 由（1）知，， 化簡(jiǎn)得④，??由③④，得，，?? ∴. 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問(wèn)以為基底，設(shè)利用向量共線充要條件即：若三點(diǎn)共線，則平面中任一點(diǎn)，有，有，故得出的一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合得出的另一個(gè)關(guān)系式，解方程組求出，再計(jì)算面積比值即可.