概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第9章

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1、 在 現(xiàn) 實 問 題 中 ， 處 于 同 一 個 過 程 中 的 一 些 變 量 ，往 往 是 相 互 依 賴 和 相 互 制 約 的 ， 它 們 之 間 的 相 互 關 系大 致 可 分 為 兩 種 ： 相關關系問題 （ 1） 確 定 性 關 系 函 數(shù) 關 系 ； （ 2） 非 確 定 性 關 系 相 關 關 系 ； 相 關 關 系 表 現(xiàn) 為 這 些 變 量 之 間 有 一 定 的 依 賴 關 系 ，但 這 種 關 系 并 不 完 全 確 定 ， 它 們 之 間 的 關 系 不 能 精 確地 用 函 數(shù) 表 示 出 來 ， 這 些 變 量 其 實 是 隨 機 變 量 ， 或 至少 有 一

2、 個 是 隨 機 變 量 。 相關關系舉例 例 如 ： 在 氣 候 、 土 壤 、 水 利 、 種 子 和 耕 作 技 術 等 條 件 基 本相 同 時 ， 某 農(nóng) 作 物 的 畝 產(chǎn) 量 Y 與 施 肥 量 X 之 間 有 一 定 的 關 系 ，但 施 肥 量 相 同 ， 畝 產(chǎn) 量 卻 不 一 定 相 同 。 畝 產(chǎn) 量 是 一 個 隨 機 變 量 。 又 如 ： 人 的 血 壓 Y 與 年 齡 X 之 間 有 一 定 的 依 賴 關 系 ， 一般 來 說 ， 年 齡 越 大 ， 血 壓 越 高 ， 但 年 齡 相 同 的 兩 個 人 的 血 壓 不一 定 相 等 。 血 壓 是 一 個

3、隨 機 變 量 。 農(nóng) 作 物 的 畝 產(chǎn) 量 與 施 肥 量 、 血 壓 與 年 齡 之 間 的 這種 關 系 稱 為 相 關 關 系 ， 在 這 些 變 量 中 ， 施 肥 量 、 年 齡是 可 控 變 量 ， 畝 產(chǎn) 量 、 血 壓 是 不 可 控 變 量 。 一 般 在 討論 相 關 關 系 問 題 中 ， 可 控 變 量 稱 為 自 變 量 ， 不 可 控 變量 稱 為 因 變 量 。 函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別 相 關 關 系 x 影 響 Y 的 值 ，x Y函 數(shù) 關 系 決 定 的 值 ， 因 此 ， 統(tǒng) 計 學 上 討 論 兩 變 量 的 相 關 關 系 時 ， 是 設 法確

4、定 ： 在 給 定 自 變 量 的 條 件 下 ， 因 變 量 的條 件 數(shù) 學 期 望 xX Y( | )E Y x 不 能 確 定 。 回歸分析的概念 研 究 一 個 隨 機 變 量 與 一 個 （ 或 幾 個 ） 可 控 變 量 之 間的 相 關 關 系 的 統(tǒng) 計 方 法 稱 為 回 歸 分 析 。 只 有 一 個 自 變 量 的 回 歸 分 析 稱 為 一 元 回 歸 分 析 ； 多于 一 個 自 變 量 的 回 歸 分 析 稱 為 多 元 回 歸 分 析 。)|()( xYEx 引 進 回 歸 函 數(shù) 稱 為 回 歸 方 程 ( ) ( | )y x E Y x Y x 回 歸 方

5、 程 反 映 了 因 變 量 隨 自 變 量 的 變 化 而 變 化的 平 均 變 化 情 況 . 回 歸 分 析 主 要 包 括 三 方 面 的 內(nèi) 容 （ 1） 提 供 建 立 有 相 關 關 系 的 變 量 之 間 的 數(shù) 學 關 系式 （ 稱 為 經(jīng) 驗 公 式 ） 的 一 般 方 法 ； （ 2） 判 別 所 建 立 的 經(jīng) 驗 公 式 是 否 有 效 ， 并 從 影 響隨 機 變 量 的 諸 變 量 中 判 別 哪 些 變 量 的 影 響 是 顯 著 的 ， 哪些 是 不 顯 著 的 ；回歸分析的內(nèi)容 （ 3） 利 用 所 得 到 的 經(jīng) 驗 公 式 進 行 預 測 和 控 制 。

6、 一元線性回歸模型 如 果 試 驗 的 散 點 圖 中 各 點 呈 直 線 狀 ， 則 假 設 這 批 數(shù)據(jù) 的 數(shù) 學 模 型 為 設 隨 機 變 量 Y依 賴 于 自 變 量 x， 作 n次 獨 立 試 驗 ，得 n對 觀 測 值 ：稱 這 n對 觀 測 值 為 容 量 為 n的 一 個 子 樣 ， 若 把 這 n對 觀測 值 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 描 點 ， 得 到 試 驗 的 散 點 圖 .1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )n nx y x y x y 0 1 ,i i iy x ni ,2,1 其 中 ， 且 相 互 獨 立 ，2 (0, )i N ni

7、,2,1 20 1 ,i iy N x 則 圖 9-1 xyO i( , )i ix y iii xy 10 ni ,2,1 其 中 i同 服 從 于 正 態(tài) 分 布 相 互 獨 立 ， ),0( 2N因 此 20 1 ( , )i iy N x ni ,2,1 ),0( )0(,2 110 N xY 210 、 x其 中 是 與 無 關 的 未 知 常 數(shù) 。 （ 9.1）一元線性回歸模型 一 般 地 ， 稱 如 下 數(shù) 學 模 型 為 一 元 線 性 模 型 而 稱 為 回 歸 函 數(shù) 或 回 歸 方 程 。0 1Y x 稱 為 回 歸 系 數(shù) 。0 1 、 回歸函數(shù)（方程）的建立 由 觀

8、 測 值 確 定 的 回 歸函 數(shù) ， 應 使 得 較 小 。1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )n nx y x y x y0 1Y x 0 1i i iy x 考 慮 函 數(shù) 20 1 0 11( , ) n i iiQ y x 問 題 ： 確 定 ， 使 得 取 得 極 小 值 。 0 1, 0 1( , )Q 這 是 一 個 二 元 函 數(shù) 的 無 條 件 極 值 問 題 。 回歸方程的建立 20 1 0 11min ( , ) n i iiQ y x 令 0 110 2 ( 1) 0n i iiQ y x 0 1 11 2 ( ) 0n i i iiQ y x x 0 1

9、y x 1 xyxxLL 1 11 1, n ni ii ix x y yn n 2 1 ( )nxx iiL x x 1 ( )( )nxy i iiL x x y y 回歸方程的建立 0 1y x 1 xyxxLL 記 表 示 對 的 估 計 值0 1, 0 1y x 則 變 量 對 的 回 歸 方 程 為 Y x簡 寫 為 0 1y x 0 1y x 回歸方程有效性的檢驗 對 于 任 何 一 組 數(shù) 據(jù) ， 都 可 按 最小 二 乘 法 確 定 一 個 線 性 函 數(shù) ， 但 變 量 與 之 間 是 否 真有 近 似 于 線 性 函 數(shù) 的 相 關 關 系 呢 ？ 尚 需 進 行 假 設

10、 檢 驗 。( , ) ( 1,2, , )i ix y i n xy假 設 0 1 1 1: 0, : 0,H H xy如 果 成 立 ， 則 不 能 認 為 與 有 線 性 相 關 關 系 。 0H三 種 檢 驗 方 法 ： F檢 驗 法 、 t-檢 驗 法 、 r檢 驗 法 。 21 ( )nT i yyiSS y y L 回歸方程有效性的F檢驗法 記 總 離 差 平 方 和 ， 反 映 觀 測 值 與 平 均 值 的 偏 差 程 度 。經(jīng) 恒 等 變 形 ， 將 分 解 TSS 2 21211 ( )( ) ( ) nT i i ii n i ii R Eni iy ySSS y y

11、y yS y ySS 回歸方程有效性的F檢驗法 2 21 11 ( )nR xii xy xL LSS y y 2 1 0 11 ( ) ,nE i i yy xyiSS y y L L Q 回 歸 平 方 和 ， 反 映 回 歸 值 與 平 均 值 的 偏 差 ， 揭 示變 量 與 的 線 性 關 系 所 引 起 的 數(shù) 據(jù) 波 動 。y x 剩 余 平 方 和 ， 反 映 觀 測 值 與 回 歸 值 的 偏 差 ， 揭 示試 驗 誤 差 和 非 線 性 關 系 對 試 驗 結(jié) 果 所 引 起 的 數(shù) 據(jù) 波 動 。 回歸方程有效性的F檢驗法 如 果 為 真 ， 則 0 1: 0H 22 1

12、TSS n 22 1RSS 22 2ESS n 于 是 ， 統(tǒng) 計 量 1, 2( 2) RESSF F nSS n 對 給 定 的 檢 驗 水 平 ，（ 1） 當 時 ， 拒 絕 ， 即 可 認 為 變 量 與 有 線 性 相 關 關 系 ；F F 0H xy（ 2） 當 時 ， 接 受 ， 即 可 認 為 變 量 與 沒 有 線 性 相 關 關 系 ；F F 0H y x 回歸方程有效性的F檢驗法 （ 2） 當 時 ， 接 受 ， 即 可 認 為 變 量 與 沒 有 線 性 相 關 關 系 ；F F 0H y x此 時 ， 可 能 有 以 下 幾 種 情 況 ： （ 2） 對 有 顯 著

13、影 響 ， 但 這 種 影 響 不 能 用 線 性 關 系表 示 ， 應 作 非 線 性 回 歸 ；yx（ 3） 除 之 外 ， 還 有 其 它 變 量 對 也 有 顯 著 影 響 ， 從而 削 弱 了 對 的 影 響 ， 應 考 慮 多 元 回 歸 。 yyxx（ 1） 對 沒 有 顯 著 影 響 ， 應 丟 棄 自 變 量 ；yx x 回歸方程有效性的r檢驗法 記 xyxx yyLR L L 樣 本 的 相 關 系 數(shù) R 可 反 映 變 量 與 之 間 的 線 性 相 關 程 度 。 xy因 為 2 1 21 xyE yy xy yy xxyxx yxxyy yy yyyyL LSS Q

14、 L L L LLL RL LL L 21R xy yySS L R L 回歸方程有效性的r檢驗法 記 xyxx yyLR L L 樣 本 的 相 關 系 數(shù) 越 大 ， 變 量 與 之 間 的 線 性 相 關 程 度 越 強 。 R xy因 為 21E yySS Q R L 2R yySS R L（ 1） 1R T yySS L（ 2） 時 ， 1R 0,E T RSS SS SS （ 3） 時 ， 0R 0,R T ESS SS SS 與 有 線 性 相 關 關 系 ； xy 與 無 線 性 相 關 關 系 ； xy 回歸方程有效性的r檢驗法 計 算 xyxx yyLR L L對 給 定

15、的 檢 驗 水 平 ， 查 相 關 系 數(shù) 的 臨 界 值 表 如 果 ， 則 拒 絕 ， 即 線 性 回 歸 方 程 有 效 ；否 則 ， 接 受 ， 即 線 性 回 歸 方 程 無 效 。R R 0H0HF檢 驗 與 r檢 驗 是 一 致 的 ： 22( 2) (1 ) ( 2)yyRE yyR LSSF SS n R L n 回歸方程有效性的t檢驗法 統(tǒng) 計 量 1 1 ( 2)( 2)E xxT t nSS n L H0成 立 時 ， 1 ( 2)( 2) E xxT t nSS n L 對 給 定 的 檢 驗 水 平 ， H0的 拒 絕 域 為 2( 2)T t n 即 當 時 ，

16、變 量 與 有 線 性 相 關 關 系 。 2( 2)T t n y xF檢 驗 與 t檢 驗 是 一 致 的 ： 2( 2)RESSF TSS n 編 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9脂 肪含 量% 15.4 17.5 18.9 20.0 21.0 22.8 15.8 17.8 19.1蛋 白質(zhì) 含量 % 44.0 39.2 41.8 38.9 37.4 38.1 44.6 40.7 39.8試 求 出 與 的 關 系 ， 并 判 斷 是 否 有 效 。 xy例 1 為 了 研 究 大 豆 脂 肪 含 量 和 蛋 白 質(zhì) 含 量 的 關 系 ，測 定 了 九 種 大 豆 品 種 籽 粒

17、 內(nèi) 的 脂 肪 含 量 和 蛋 白 質(zhì) 含 量 ，得 到 如 下 數(shù) 據(jù) x y 解 （ 1） 描 散 點 圖 （ 2） 建 立 模 型 由 散 點 圖 ， 設 變 量 與 為 線 性 相 關 關 系 ： xy y a bx 確 定 回 歸 系 數(shù) 和 ： a b編 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 15.4 17.5 18.9 20.0 21.0 22.8 15.8 17.8 19.1 168.3y 44.0 39.2 41.8 38.9 37.4 38.1 44.6 40.7 39.8 364.5 x2 237.16 306.25 357.21 400 441 519.84 2

18、49.64 316.84 364.81 3192.75y2 1936 1536.64 1747.24 1513.21 1398.76 1451.61 1989.16 1656.49 1584.04 14813.2xy 677.6 686 790.02 778 785.4 868.68 704.68 724.46 760.18 6775.02 168.3 364.518.7; 40.59 9x y 6775.02 9 18.7 40.5 41.13xyL 23192.75 9 18.7 45.54xxL 214813.2 9 40.5 50.95 yyL 0.9032xyxxLb L 57.38

19、91a y bx 所 以 ， 所 求 的 回 歸 方 程 為 0.9032 57.3891y x （ 3） 檢 驗 回 歸 方 程 的 有 效 性 0.8539xyxx yyLR L L 0.01 0.7977R 2 9 2 7df n 查 相 關 系 數(shù) 臨 界 值 表 因 為 0.01R R所 以 回 歸 方 程 在 的 檢 驗 水 平 下 有 統(tǒng) 計 意 義 。0.01 即 可 以 認 為 大 豆 的 蛋 白 質(zhì) 含 量 與 脂 肪 含 量 有 線 性 相 關 性 。 利用回歸方程進行預測1、 點 預 測 0 x x 時 ， 即 為 的 點 預 測 值 。 0y a bx y2、 區(qū) 間

20、 預 測 統(tǒng) 計 量 0 0 20 ( 2)11( 2)E xxy yT t nx xSSn n L 對 給 定 的 置 信 水 平 ， 的 預 測 區(qū) 間 為 1 0y 20 201( 2) 1( 2)E xxx xSSt n ny n L 0 x 續(xù) 例 1 求 大 豆 脂 肪 含 量 為 18.6%的 條 件 下 蛋 白 質(zhì)95%的 預 測 區(qū) 間 。 解 由 已 求 得 的 回 歸 方 程 0.9032 57.3891y x 得 蛋 白 質(zhì) 的 點 預 測 值 為 40.5896(18.6) 3.50061 所 以 脂 肪 含 量 為 18.6%時 ， 蛋 白 質(zhì) 的 95%的 預 測

21、 區(qū) 間 為 37.0890,44.0902利用回歸方程進行預測 控 制 則 為 預 測 的 反 問 題 ： 已 知 因 變 量 的 取 值 區(qū) 間 為 1 2,y y ， 確 定 自 變 量 的 取 值 區(qū) 間 使 得 1 2,x x利用回歸方程進行控制 2( ) 2ESSx un 一 般 地 ， 要 解 出 和 很 復 雜 ， 可 作 簡 化 求 解 ：1x 2x當 樣 本 容 量 很 大 時 ， ， 則 1 1 21 2ESSx y u ab n 2 2 21 2ESSx y u ab n 1 2 1P y y y ( 0)b 例1的上機操作步驟 分 兩 列 輸 入 回 歸 分 析 命

22、令 因 變 量 自 變 量 預 測 點 置 信 水 平 22 2( 2)1n RF T R t檢 驗 r檢 驗 F檢 驗 2R 預 測 區(qū) 間 點 預 測 值 自 變 量 值 前 一 節(jié) ， 我 們 學 習 了 一 元 線 性 回 歸 分 析 問 題 ， 在 實際 應 用 中 ， 有 些 變 量 之 間 并 不 是 線 性 相 關 關 系 ， 但 可 以經(jīng) 過 適 當 的 變 換 ， 把 非 線 性 回 歸 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 線 性 回 歸 問題 。 可 線 性 化 的 一 元 非 線 性 回 歸 常 見 的 幾 種 變 換 形 式 ： 1、 雙 曲 線 1 bay x 1 1,y xy x

23、 y a bx 令 2、 冪 函 數(shù) 曲 線 by axln , ln , lny y x x a a y a bx 令 化 非 線 性 回 歸 為 線 性 回 歸 變 形 ln ln lny a b x 3、 指 數(shù) 函 數(shù) 曲 線 bxy aeln , lny y a a y a bx 令 變 形 ln lny a bx 4、 負 指 數(shù) 函 數(shù) 曲 線 bxy ae1ln , , lny y x a ax y a bx 令 化 非 線 性 回 歸 為 線 性 回 歸 變 形 ln ln by a x 5、 對 數(shù) 函 數(shù) 曲 線 lny a b x lnx x y a bx 令 6、 S

24、型 （ Logistic） 曲 線 1 xKy Ae ln , lnK yy a Ay y a x 令 化 非 線 性 回 歸 為 線 性 回 歸 變 形 (1 )x xy Ae K y Aye K ln lnx K y K yAe A xy y 例 1 測 定 某 肉 雞 的 生 長 過 程 ， 每 兩 周 記 錄 一 次 雞 的 重 量 ，數(shù) 據(jù) 如 下 表x/周 2 4 6 8 10 12 14y/kg 0.3 0.86 1.73 2.2 2.47 2.67 2.8由 經(jīng) 驗 知 雞 的 生 長 曲 線 為 Logistic曲 線 ， 且 極 限 生 長 量為 k=2.827， 試 求

25、y對 x的 回 歸 曲 線 方 程 。解 由 題 設 可 建 立 雞 重 y與 時 間 x的 相 關 關 系 為 2.827 1 xy Ae 2.827ln , lnyy a Ay y a x 令 則 有 列 表 計 算 序 號 x y y X2 y2 xy1 2 0.3 2.131 4 4.541 4.2622 4 0.86 0.827 16 0.684 3.3093 6 1.73 -0.456 36 0.208 -2.7334 8 2.2 -1.255 64 1.576 -10.0425 10 2.47 -1.934 100 3.741 - 19.3426 12 2.67 -2.834 1

26、44 8.029 -34.0037 14 2.8 -4.642 196 21.544 -64.982 56 13.03 -8.162 560 40.323 -123.531 所 以 8.00 x 1.166y112xxL 30.807yyL 58.236xyL 0.519967xyxxLL 2.993762a y x 19.96063 aA e 所 以 所 求 曲 線 方 程 為 0.519972.8271 19.9606 xy e 上 機 操 作 輸 入 原 始 數(shù) 據(jù) 上 機 操 作 計 算 2.827* ln yy y 上 機 操 作 上 機 操 作 上 機 操 作 是 y*， 而 不

27、是 y 自 變 量 上 機 操 作 回 歸 方 程 ， 還 要 回 代 系 數(shù) 多 重 回 歸 分 析 在 實 際 問 題 中 ， 自 變 量 的 個數(shù) 可 能 多 于 一 個 ， 隨 機 變 量 y與多 個 可 控 變 量 x1,x2,x3,xk之 間是 否 存 在 相 關 關 系 ， 則 屬 于 多 重（ 元 ） 回 歸 問 題 。 本 節(jié) 討 論 多 重線 性 回 歸 。 多 重 線 性 回 歸 模 型 隨 機 變 量 與 之 間 的 線 性 關 系y 1 2, , , kx x x0 1 1 2 2 k ky x x x (1) 其 中 2 0,N 0 1 2 ,k , , , , 未

28、 知 則 （ 1） 式 稱 為 多 重 線 性 回 歸 模 型 。 多 重 線 性 回 歸 模 型 若 對 變 量 與 分 別 作 n次 觀 測 ， 則 可 得一 個 容 量 為 n的 子 樣y 1 2, , , kx x x 0 1 1 2 2i i i k ik iy x x x (2) 其 中 2 0, , ( 1,2, , )i N i n 0 1 2 k , , , , 為 待 定 參 數(shù) ， 稱 為 回 歸 系 數(shù) 。 （ 2） 式 含 有 k+1個 參 數(shù) ， 故 觀 測 次 數(shù) 應 滿 足 nk+1。 1 2, , , , , 1,2, ,i i ik ix x x y i n

29、 則 有 多 重 線 性 回 歸 模 型 的 矩 陣 形 式 記 12nyyY y 11 12 121 22 21 2111 kkn n nkx x xx x xX x x x 01k 12ne 則 （ 2） 有 矩 陣 形 式 Y X e 2 0,e N E其 中 確 定 的 最 小 二 乘 法 考 慮 多 元 函 數(shù) 20 1 11n i i k ikiQ y x x 目 標 ： 確 定 使 最 小 0 1, , , k Q 方 法 ： 0, 1,2, , iQ i k 解 得 0 1 1 2 2 k ky x x x 多 重 線 性 回 歸 方 程 線 性 回 歸 方 程 的 有 效 性

30、 檢 驗 方 差 分 析 法 0 1 2: 0kH 線 性 回 歸 方 程是 否 有 統(tǒng) 計 意 義 ， 可 檢 驗 假 設 0 1 1 2 2 k ky x x x 是 否 成 立 方 法 ： 方 差 分 析 法 ， 將 總 離 差 平 方 和 分 解 2 221 1 1n n nT i i i ii i iSS y y y y y y R ESS SS 線 性 回 歸 方 程 的 有 效 性 檢 驗 方 差 分 析 法 21nR iiSS y y 21nE i iiSS y y 回 歸 平 方 和 ， 反 映 線 性 關 系 對 觀 測 結(jié) 果 產(chǎn) 生 的 數(shù)據(jù) 波 動 ， SSR越 大

31、， 線 性 相 關 關 系 越 強 。剩 余 平 方 和 （ 或 殘 差 平 方 和 ） ， 反 映 除 線 性 因 素 之外 的 其 它 因 素 對 觀 測 結(jié) 果 產(chǎn) 生 的 數(shù) 據(jù) 波 動 ， SSE越 大 ，則 其 它 因 素 對 Y的 影 響 越 大 。 線 性 回 歸 方 程 的 有 效 性 檢 驗 方 差 分 析 法 22 1TSS n 在 H0成 立 的 條 件 下 ， 可 以 證 明 ： 22 RSS k 22 1ESS n k （ n為 觀 測 次 數(shù) ， k為 自 變 量 個 數(shù) ） 構(gòu) 造 F統(tǒng) 計 量 , 11 RE SS kF F k n kSS n k 當 時 ，

32、 拒 絕 H0。 , 1F F k n k 回 歸 系 數(shù) 的 統(tǒng) 計 檢 驗 回 歸 方 程 的 有 效 性 檢 驗 ， 只 是 解 決 了 與之 間 是 否 有 線 性 相 關 關 系 ， 至 于 變 量 對 的 影 響 是 否有 統(tǒng) 計 意 義 ， 無 從 看 出 ， 因 此 ， 還 需 對 回 歸 系 數(shù) 是 否為 0作 統(tǒng) 計 檢 驗 。 y 1 2, , , kx x xix y i提 出 假 設 0 1: 0; : 0i iH H 如 果 H0成 立 ， 可 以 證 明 統(tǒng) 計 量 1( 1)iii ET t n kC SS n k 當 時 ， 拒 絕 H0。 2 1T t n

33、k 2( 1)1nii k ikC x 利 用 回 歸 方 程 作 預 測 及 控 制 對 于 給 定 的 1 2, , , kx x x0 0 1 1 2 2 k ky x x x 點 估 計 值 置 信 水 平 為 的 預 測 區(qū) 間 為 1 10 2 0 0 0 011 T TESSy t X X X Xn k 例 2 某 種 水 泥 在 凝 固 時 放 出 的 熱 量 Y（ cal/g） 與 水 泥 中下 列 4種 化 學 成 分 有 關 ：1 2 3:3 ax c o Al o 的 成 分 （ %）2 2:3 ax c o Sio 的 成 分 （ %）3 2 3 2 3: 4 ax

34、c o Al o Fe o 的 成 分 （ %） 4 2: 2 ax c o Sio 的 成 分 （ %）現(xiàn) 記 錄 了 13組 觀 測 數(shù) 據(jù) ， 列 在 下 表 中 ， 試 求 對 的 線 性 回 歸 方 程 。 y 1 2, ,x x3 4,x x 1 1 2 2 3 3 4 4y a b x b x b x b x 編 號 X1(%) X2(%) X3(%) X4(%) Y(cal/g）1 7 26 6 60 78.52 1 29 15 52 74.33 11 56 8 20 104.34 11 31 8 47 87.65 7 52 6 33 95.96 11 55 9 22 109.27 3 71 17 6 102.78 1 31 22 44 72.59 2 54 18 22 93.110 21 47 4 26 115.911 1 40 23 34 83.8 12 11 66 9 12 113.313 10 68 8 12 109.4 上 機 操 作 因 變 量 自 變 量 線 性 方 程 是 有 效 的 線 性 回 歸 方 程