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1、 一、問題的提出求 近 似 實 根 的 步 驟 ：確定根的大致范圍根的隔離根的隔離區(qū)間稱為所求實間區(qū)間內(nèi)的唯一實根區(qū)使所求的根是位于這個確定一個區(qū)間, baba問 題 ：高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計算方法 軸交點的大概位置定出它與的圖形，然后從圖上如圖，精確畫出x xfy )(以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實根常用方法二分法和切線法（牛頓法） 二、二分法區(qū)間即是這個根的一個隔離，于是內(nèi)僅有一個實根在且方程，上連續(xù)，在區(qū)間設(shè), ),()( 0)()(,)(ba baxf bfafba
2、xf ；，那末如果11 0)( f作 法 ： ).(2, 11 fbaba，計算的中點取 ,)()( 1111 bbaaff 同號，那末取與如果);(21 0)()(11 1111 abab babfaf ，且，即知由 ,)()( 1111 baabff同號，那末取與如果);(211111 ababba 及也有總之，);(211111 ababba 且時，可求得當(dāng) );(21 )(21, 222 2211211 abab bababa 且時，可求得當(dāng)復(fù)上述做法，作為新的隔離區(qū)間，重以).(21 , abab bannnn nn 且可求得次如此重復(fù)小于的近似值，那末其誤差作為或如果以)(21 a
3、b ban nn 例 .10, 04.19.01.1 323 使誤差不超過的實根的近似值用二分法求方程xxx解 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令.),()(內(nèi)連續(xù)在顯然xf ,9.02.23)( 2 xxxf .0)(,049.1 xf ,),()(內(nèi)單調(diào)增加在故xf如圖至多有一個實根0)( xf ,06.1)1(,04.1)0( ff .1,00)(內(nèi)有唯一的實根在 xf .1,0,1,0即是一個隔離區(qū)間取 ba計算得: ;1,5.0,055.0)(,5.0 1111 baf故 ;75.0,5.0,032.0)(,75.0 2222 baf故 ;75.0,625.0,016.0)
4、(,625.0 2333 baf故 ;687.0,625.0,0062.0)(,687.0 4444 baf故 ;687.0,656.0,0054.0)(,656.0 5555 baf故 ;672.0,656.0,0005.0)(,672.0 6666 baf故 ;672.0,664.0,0025.0)(,664.0 7777 baf故 ;672.0,668.0,0010.0)(,668.0 8888 baf故 ;672.0,670.0,0002.0)(,670.0 9999 baf故 .671.0,670.0,0001.0)(,671.0 10101010 baf故 .671.0670.0
5、.10,671.0 ,670.0 3其誤差都小于作為根的過剩近似值作為根的不足近似值即 三、切線法是根的一個隔離區(qū)間，內(nèi)有唯一個的實根在則方程上保持定號在及且，上具有二階導(dǎo)數(shù)，在設(shè), ),()( ,)()( 0)()(,)(ba baxf baxfxf bfafbaxf 定 義用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法） 如圖，更接近方程的根比軸的交點的橫坐標(biāo)線與作切線，這切那個端點（此端點記作同號的在縱坐標(biāo)與01 00 )(,( )(xx xxfx xf ,0 ax 令).)()( 000 xxxfxfy 則切線方程為A Bxyo a b1x )(x
6、fy 0)(,0)( 0)(,0)( xfxf bfaf 作切線，在點)(,( 11 xfx .)( )( 1112 xf xfxx 得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值)1()( )( 111 nnnn xf xfxx .,)()(: 0 bxxfbf 可記同號與如果注意,)( )( 0001 xf xfxx 得令,0y A Bxyo a b1x )(xfy 2x 例 .10, 04.19.01.1 323 使誤差不超過的實根的近似值用切線法求方程xxx解 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令.0)1(,0)0(.1,0 ff是一個隔離區(qū)間上，如圖，在1,0 ,02.26)( xxf
7、,09.02.23)( 2 xxxf 同號，與)()( xfxf .10 x令代入(1),得;738.0)1( )1(11 ffx ;674.0)738.0( )738.0(738.02 ffx ;671.0)674.0( )674.0(674.03 ffx ;671.0)671.0( )671.0(671.04 ffx計算停止.10,671.0 3其誤差都小于得根的近似值為 四、小結(jié)求方程近似實根的常用方法:二 分 法 、 切 線 法 （ 牛 頓 法 ） 、 割 線 法 切 線 法 實 質(zhì)：特定的迭代法求方程的根的迭 代 法是指由根的近似值出發(fā),通過遞推公式將近似值加以精確化的反復(fù)演算過程.基 本 思 想 : )(0)( xxxf )( )()( xf xfxx 優(yōu) 點 :.形式簡單便于計算;2.形式多樣便于選擇. 練 習(xí) 題誤差不超過使法求這個根的近似值，唯一的實根，并用二分內(nèi)有在區(qū)間一、試證明方程01.0 )1,0(0163 23 xxx過的近似根，使誤差不超二、求方程01.0 0133 xx 練 習(xí) 題 答 案一、19.018.0 0 x二、33.032.0 0 x
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