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1、第六章 一元微積分的應用一、導數(shù)的應用1、利用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性定理 設 在 可導，若對任意( )f x ( , )a b 都有 (或 ），( , )x a b ( ) 0f x ( ) 0f x 則 在 內(nèi)是單增的（或單減的）( )f x ( , )a b注：在 內(nèi)有有限個點使( , )a b不影響單調(diào)性。( ) 0f x 第六章 一元微積分的應用 第六章 一元微積分的應用例1 設在 上有 ，則 的大小順序是 （ ）0,1 ( ) 0f x (0), (1), (1) (0), (0) (1)f f f f f f （A) (1) (0) (1) (0)f f f f （B) (1) (1
2、) (0) (0)f f f f （C) (1) (0) (1) (0)f f f f （D) (1) (0) (1) (0)f f f f 第六章 一元微積分的應用解：( ) 0, ( )f x f x 又(1) (0) ( )f f f 0 1 (0) ( ) (1)f f f 于是，（B）入選 第六章 一元微積分的應用例2 設 在 連續(xù)，在 ( )f x 0, a 0,a可導，且 ， 單增，(0) 0f ( )f x試證： 在 內(nèi)也單增。 0,a( )f xx證明一：2( ) ( ) ( )f x xf x f xx x 令( ) ( ) ( )F x xf x f x ( ) ( )
3、( ) ( ) ( )F x f x xf x f x xf x 第六章 一元微積分的應用而(0) (0) 0F f ( ) 0, (0, ),F x x a ( )( ) 0f xx 解題提示：當知道 在 可導， ( )f x 0,a又已知 時，通常 ( ) 0 ( ( ) 0)f a f b 用拉格朗日中值定理 已知 單增，即( )f x ( ) 0f x 故 在 內(nèi)單增。 0,a( )f xx于是 單增；( )F x 第六章 一元微積分的應用用拉格朗日中值定理，有證明二：對(0, ),x a 在( )f x 0, x( ) ( ) (0) ( ), 0f x f x f xf x 由于
4、單增，有( )f x ( ) ( )f x f 2( ) ( ) ( )f x xf x f xx x 2( ) ( )xf x xfx 第六章 一元微積分的應用復習：極值、駐點的概念；極值點和駐點的關系；極值點的范圍；極值的兩個充分條件；求極值的步驟；最值的求法。 ( ) ( )f x fx 0故 在 內(nèi)單增。 0,a( )f xx2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(0 )x 第六章 一元微積分的應用例3 已知 2( ) ( )lim 1x a f x f ax a 則在 處（ ）x a（A） 的導數(shù)存在，且( )f x ( ) 0.f a （B） 取極大值( )f x（C） 取極小值( )f
5、 x 第六章 一元微積分的應用解：不知 是否可導，所以用定義( )f x判別極值。因為 2( ) ( )lim 1x a f x f ax a 由極限的保號性，存在 的 鄰域a 使得 2( ) ( ) 0f x f ax a 第六章 一元微積分的應用于是( ) ( ),f x f a故 是 的極大值，選（B） ( )f a ( )f x例4 設函數(shù)3 2( ) 3 3f x x ax bx c 有極值點 和 ，若用x x 表示 ，則, ,a b c ( ) ( )f f ( ) ( )f f （ ） 第六章 一元微積分的應用解：2( ) 3 6 3f x x ax b 23( 2 )x ax
6、b 是極值點，所以一定是駐點,x 即 為 的根，,x ( ) 0f x 由韋達定理可知2 ,a b ( ) ( )f f 3 3 2 23 ( ) 3 ( ) 2a b c 2( )( ) 3 23 ( ) 2 3 ( ) 2a b c 32(2 3 )a ab c 第六章 一元微積分的應用微分方程例5 若函數(shù) 對于一切實數(shù) 滿足( )f x x 2( ) 3 ( ) 1 ( )xxf x x f x e 若 在 有極值，( )f x試證它是極小值；( 0)x c c 若 在 有極值，則它是( )f x 0 x 極大值還是極小值？ 第六章 一元微積分的應用處有極值，故 解： 由 可導，且在(
7、)f x x c( ) 0 ( 0),f c c 將 代入 式，得 x c ( ) 2( ) 3 ( ) 1 ccf c c f c e 1( ) 0cef c c 故 為 的極小值。 ( )f x( )f c 第六章 一元微積分的應用 由 對一切實數(shù)二階可導，( )f x又 為極值，所以(0)f (0) 0,f 0(0) lim ( )xf f x 20 1lim 3 ( ) xx e f xx 0 1lim xx ex 0lim 1 0 xx e 故 為 的極小值。(0)f ( )f x 第六章 一元微積分的應用例6 由直線 及拋物線 0, 8y x 2y x圍成一個曲邊三角形，在曲邊2y
8、 x上求一點，使曲線在該點處的切線與直線 及 所圍成的三角形面0y 8x 積最大。 第六章 一元微積分的應用解：如圖 246810 x 20 40 60 80 100yP TA BC切點為0 0( , )P x y切線 的方程為 PT0 0 02 ( )y y x x x 點在 上，P 2y x所以20 0 ,y x令 得，0y 01 ,2x x 第六章 一元微積分的應用01( ,0),2A x則有令 得，8x 20 016 ,y x x 則有20 0(8,16 ),B x x于是， 的面積為ABC令20 0 0 01 1(8 )(16 ), 0 82 2ABCS x x x x 2 20 0
9、1 (3 64 16 ) 04S x x 第六章 一元微積分的應用 0 016 , 163x x （舍去）16( ) 8 03S 16 4096( )3 27S 為極大值，于是，當 時，三角形的面積 最大。 0 163x 第六章 一元微積分的應用3、函數(shù)作圖、圖形凹凸性的判別定義1 設 在區(qū)間 有定義，對( )f x I恒有1 2, ,x x I 1 2 1 2( ) ( )( ) ( )2 2x x f x f xf 或則稱 在 上是凸的（或凹的） ( )f x I 第六章 一元微積分的應用定理1（判別定理）若在 上 I ( ) 0f x （或 ），則 在 上是凸 ( ) 0f x ( )f
10、 x I（或凹的）。、曲線拐點的求法圖形的拐點。定義2 函數(shù) 圖形的凹凸分解點稱( )f x定理2（判別法1）若 （或 0( ) 0f x 第六章 一元微積分的應用不存在），當 變動經(jīng)過 時，0( )f x 0 xx變號，則 為拐點。( )f x 0 0( , ( )x f x0( ) 0,f x 內(nèi)有三階導數(shù)，且 0( ) 0,f x 定理3（判別法2）若 在 的鄰域 ( )f x 0 x0 0( , ( )x f x則 為拐點。、曲線的漸近線 水平漸近線 第六章 一元微積分的應用lim ( ) ,x f x b 的水平漸近線。 若 則 稱為 y b ( )y f x 鉛直漸近線若 則 為
11、的lim ( ) ,x a f x x a ( )y f x鉛直漸近線。 斜漸近線若( )lim , lim ( ) ,x xf xa b f x axx 第六章 一元微積分的應用則 稱為 的斜漸近線。y ax b ( )y f x、函數(shù)作圖作圖程序: 求出 定義域；( )y f x 求漸近線； 判別 的奇偶性和周期性；( )y f x 求 ，求出駐點和一階導不存在的點；求出 的點及不存在的點；( )f x ( ) 0f x ( )f x 第六章 一元微積分的應用 列表，判別函數(shù)的單調(diào)性、極值、 凹凸性、拐點； 求極值點、拐點、與坐標軸的交點 等特殊點的坐標； 描繪曲線。 第六章 一元微積分的
12、應用例7 作函數(shù) 的圖形 32( 1)1xy x 解： 定義域為( ,1) (1, ). 321 ( 1)lim ,1x xx 1x 為鉛直漸近線 321( ) ( 1)lim lim 1,1x xf x xa x x x 第六章 一元微積分的應用為斜漸近線lim ( ) xb f x ax 32( 1)lim 1x x xx 55y x 令 2 3( 1) ( 5) 0,( 1)x xy x 1, 5,x x 424( 1) 0,( 1)xy x 1.x 第六章 一元微積分的應用 列表yyy x ( , 1) (1,5)( 1,1) (5, )51 0 00極小拐點 極小值為拐點為27(5) ,2f ( 1,0). 第六章 一元微積分的應用 作圖 -6-4-2246 -5 5 10 15 20 25 30
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