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1、 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院三、一般迭代法 (補充) 第 八 節(jié)的實根求方程0)( xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方 程 的 近 似 解 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院一 、 根 的 隔 離 與 二 分 法，內(nèi)只有一個根在若方程,0)( baxf 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)）（在且baxf ,)(為則稱, ba.其隔根區(qū)間,0)()(,)( bfafbaCxf為隔根區(qū)間, ba(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間的一般方法 ;)(估計隔根區(qū)間的草圖由xfy 轉(zhuǎn)化為等價
2、方程將0)( xf xoy )(xfy xoy.)(,)(的草圖估計隔根區(qū)間由xyxy a b)()( xx a b )(xy )(xy Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院(2) 逐步收索法01, 3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實根,)5.1,1(可轉(zhuǎn)化為.)5.1,1(即為其隔根區(qū)間,的左端點出發(fā)從區(qū)間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 若0)1()( hjafjhaf )1(;,1,0( bhjaj .)1(內(nèi)必有根，則區(qū)間hjajha 搜索過程也可從 b 開始 , 取步長 h 0 . xoy 213xy 1 xy Higher mathematics
3、 綿 陽 師 范 學(xué) 院1a 1b2. 二 分 法，設(shè),)( baCxf ，0)()( bfaf只有且方程0)( xf，一個根),( ba取中點，21 ba 1，若0)( 1 f .1 即為所求根則，若0)()( 1 faf ,),( 1 a則根;, 111 baa令,),( 1 b否則對新的隔根區(qū)間, 11 ba重復(fù)以上步驟,反復(fù)進行,得, 111 bba 令 , 11 nn bababa的中點若取, nn ba則誤差滿足)(211 nnn ab )(121 abn a b)(211 nnn ba ,的近似根作為 0 n1a 1b Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院
4、例1. 用二分法求方程04.19.01.1 23 xxx的近似實根時,要使誤差不超過,10 3至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 ?解: 設(shè) ,4.19.01.1)( 23 xxxxf ),()( Cxf則9.02.23)( 2 xxxf )067.5( 0,),()(單調(diào)遞增在 xf又,04.1)0( f 06.1)1( f故該方程只有一個實根 , ,1,0為其一個隔根區(qū)間欲使)01(1211 nn 310必需,10002 1 n即11000log2 n 96.8可見只要對分區(qū)間9次 ,即可得滿足要求的實根近似值10 (計算結(jié)果見“高等數(shù)學(xué)”(上冊) P177178) Higher mathematics
5、 綿 陽 師 范 學(xué) 院二 、 牛 頓 切 線 法 及 其 變 形:)(滿足xf 0)()(,)1 bfafba上連續(xù)在不變號及上在)()(,)2 xfxfba .),(0)( 內(nèi)有唯一的實根在方程baxf 有如下四種情況:xbayo xbayo xbayo xbayo00ff 00ff 00ff 00ff Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標(biāo)與)(xf 同號的端點為,)(,( 00 xfx用切線近似代替曲線弧求方y(tǒng) xbao 1x 0 x在此點作切線 ,其方程為)()( 000 xxxfxfy 令 y = 0 得它與 x 軸
6、的交點,)0,( 1x )( )( 0001 xf xfxx 其中再在點)(,( 11 xfx作切線 ,可得近似根.2x如此繼續(xù)下去, 可得求近似根的迭代公式 :)( )( 111 nnnn xf xfxx ),2,1( n 2x稱為牛頓迭代公式 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院牛頓法的誤差估計: )( )( 111 nnnn xf xfxx由微分中值定理得)()()( nn xffxf y xbao 1x 0 x2x)(之間與在 nx,0)( f )( )( f xfx nn ,0則得mxfx nn )(說明: 用牛頓法時,若過縱坐標(biāo)與)(xf 異號的端點作切線
7、,則切線與 x 軸焦點的橫坐標(biāo)未必在.,內(nèi)ba)(min, xfm ba 記 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法若用一常數(shù)代替y xbao ,)( 1 nxf即用平行,)()( 10 nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)( )( 011 xf xfxx nnn ),2,1( n優(yōu)點:，避免每次計算)( 1 nxf因而節(jié)省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院y xo 0 x 1x(2) 割線法為避免求導(dǎo)運算 ,)( 1 nxf用割線代替切線,21 21
8、)()( nn nn xx xfxf例如用差商代替從而得迭代公式: )()()( )( 2121 11 nnnn nnn xxxfxf xfxx 2x 3x(雙點割線法) ),3,2( n特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法.說明: 若將上式中,02 xxn換為則為單點割線法,逼近根的速度與簡化牛頓法相當(dāng). Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院例2. 用切線法求方程0742 23 xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01 .解: .742)( 23 xxxxf設(shè)y xo 34由草圖可見方程有唯一的正實根 ,且9)4(,10)3( ff .43為一隔根區(qū)間，
9、因此上，由于在43 443)( 2 xxxf )2)(23( xx 046)( xxf )23(2 x 0)(min4,3 xfm 11)3( f Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院y xo 34,40 x故取得)4( )4(41 ffx 2894 68.3而mxfx )( 11 1103.1 09.0，精度不夠故1x再求)68.3( )68.3(68.32 ffx 9.2103.168.3 63.3mxfx )( 22 11042.0 01.0004.0 因此得滿足精度要求的近似解63.3 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院三 . 一 般
10、迭 代 法 (補充) ,)(0)( xxxf 轉(zhuǎn)化為等價方程將方程在隔根區(qū),0 x間內(nèi)任取一點按遞推公式),2,1()( 1 nxx nn ,nx生成數(shù)列,lim nn x若則 即為原方程的根 .稱為迭代格式 , ,)(稱為迭代函數(shù)x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nn x初值 .否則稱為發(fā)散 . Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院例3. 用迭代法求方程.2,1013內(nèi)的實根在xx解法1 將方程變形為,13 xx迭代格式為,13 1 nn xx 5.10 x取1 2 3 nnx 05.1 375.2 396.12 779.1903 發(fā)散 !解法2 將方程變形為,
11、13 xx迭代格式為,13 1 nn xx 5.10 x取1 2 nnx 05.1 35721.1 33086.1 7 832472.1 32472.1迭代收斂 ,1.32472 為計算精度范圍內(nèi)的所求根 . Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院定理. :,)(上滿足在區(qū)間方程baxx bxaxx )()(1 且，連續(xù)）1)()(2 Lxx 且，存在），上有唯一解在方程） ,)(1 baxx nnn xx bax )( ,2 10）(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān).可以證明下述定理: Higher mathematics 綿 陽 師 范 學(xué) 院內(nèi) 容 小 結(jié)1. 隔根方法 作圖法 二分法 2. 求近似根的方法二分法 牛頓切線法簡化牛頓法割線法一般迭代法思考與練習(xí)比較求方程近似根的方法之間的關(guān)系及優(yōu)缺點 . 作業(yè)(習(xí)題3-8)P180 1 ; 3
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