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1、 我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望， 它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨 機變量的一個重要的數(shù)字特征 . 但是在一些場合，僅僅知道平均值是 不夠的 . 例如，某零件的真實長度為 a，現(xiàn)用甲、 乙兩臺儀器各測量 10次，將測量結(jié)果 X用坐 標上的點表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu) 劣，你認為哪臺儀器好一些呢？ a 甲儀器測量結(jié)果 a 乙儀器測量結(jié)果 較好 測量結(jié)果的 均值都是 a 因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近 又如 ,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊 10發(fā)炮 彈，其落點距目標的位置如圖： 你認為哪門炮射擊效果好一些呢 ? 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 乙炮 因為乙炮的彈著點較
2、集中在中心附近 . 中心 中心 為此需要引進另一個數(shù)字特征 ,用它 來度量隨機變量取值在其中心附近的離 散程度 . 這個數(shù)字特征就是我們要介紹的 方差 一、方差的定義 采用平方是為了保證一切 差值 X-E(X)都起正面的作用 由于它與 X具有相同的度量單位，在實 際問題中經(jīng)常使用 . 方差的算術(shù)平方根 稱為標準差 )( XD 設(shè) X是一個隨機變量 ， 若 E(X-E(X)2， 則 稱 D(X)=EX-E(X)2 (1) 為 X的方差 . 若 X的取值比較分散， 則方差較大 . 若方差 D(X)=0,則 r.v X 以概率 1取常數(shù)值 . 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué) 期望的離散程度 .
3、若 X的取值比較集中， 則方差較??； D(X)=EX-E(X)2 X為離散型， P(X=xk)=pk 由定義知，方差是隨機變量 X的函數(shù) g(X)=X-E(X)2的 數(shù)學(xué)期望 . ,)()( ,)( )( 2 1 2 dxxfXEx pXEx XD k k kk X為連續(xù)型， Xf(x) 二、計算方差的一個簡化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開 證： D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)2+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 利用期望 性質(zhì) 請自己用此公式計算常見分布的方差 . 例 1 設(shè) r.v X服從幾何分布，概率函數(shù)為 P(
4、X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2, ， n 其中 0p0, 2 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越 小，則事件 |X-E(X)| 的概率越大，即 隨機變量 X集中在期望附近的可能性越大 . 2 2 2 1|)(| XEXP 2 2 |)(| XEXP 由此可體會方差的概率意義： 它刻劃了隨機變量取值的離散程度 . 如圖所示 當方差已知時，切比雪夫不等式給出了 r.v X與它的期望的偏差不小于 的概率的估 計式 . 如取 3 2 2 |)(| XEXP 1 1 1.0 9 3|)(| 2 2 XEXP 可見，對任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離 E(X)超過 3
5、 的 概率小于 0.111 . 2 例 3 已知正常男性成人血液中，每一毫升 白細胞數(shù)平均是 7300，均方差是 700 . 利用 切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在 52009400之間的概率 . 解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為 X 依題意， E(X)=7300,D(X)=7002 所求為 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) 2)2 1 0 0( )(1 XD = P |X-E(X)| 2100 由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100 2) 21 00 70
6、0(1 9 8 9 11 即估計每毫升白細胞數(shù)在 52009400之間的 概率不小于 8/9 . 例 4 在每次試驗中，事件 A發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求： n需要多大時， 才能使得在 n次獨立重復(fù)試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的 頻率在 0.740.76之間的概率至少為 0.90? 解：設(shè) X為 n 次試驗中，事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， E(X)=0.75n, 的最小的 n . 900760740 .).( nXP 則 XB(n, 0.75) 所求為滿足 D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) 2)01.0( )(1 n XD
7、= P |X-E(X)| 0.01n 20 00 1.0 1 87 5.01 n n n 18751 P(0.74n X0.76n ) )76.074.0( nXP )76.074.0( nXP 可改寫為 在切比雪夫不等式中取 n，則 0 .0 1 = P |X-E(X)| 0.01n 1 87 509.01 1 87 5 n 解得 依題意，取 9.018 751 n 即 n 取 18750時，可以使得在 n次獨立重復(fù) 試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的頻率在 0.740.76之間的 概率至少為 0.90 . 我們介紹了隨機變量的方差 . 它是刻劃隨機變量取值在其中心附近離 散程度的一個數(shù)字特征 . 下面我們將介紹刻劃兩 r.v間線性相關(guān)程度的 一個重要的數(shù)字特征： 相關(guān)系數(shù)
概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差
