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1、西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 1 概率論 與 數(shù)理統(tǒng)計 B 習題 二 答案 A 1. 下列給出的數(shù)列，哪些 可作為 隨機變量的分布律，并說明理由 。 （ 1） 15i ip ( 0,1,2,3,4,5)i ； （ 2） 6 )5( 2ip i ( 0,1,2,3)i ； （ 3） 251ip i ( 1,2,3,4,5)i 。 解： 要說明題中給出的數(shù)列，是否是隨機變量的分布律，只要驗證 ip 是否滿足下列二 個條件：其一條件為 ,2,1,0 ipi ， 其二條件為 1 i ip 。 依據(jù)上面的說明可得（ 1）中的數(shù)列為隨機變量的分布
2、律；（ 2）中的數(shù)列不是隨機變量 的分布律，因為 0 646 953 p ； （ 3）中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，這是因為 51 12520i ip 。 2. 一袋中有 5 個乒乓球，編號分別為 1， 2， 3， 4， 5.從中隨機地取 3 個，以 X 表示取 出的 3 個球中最大號碼，寫出 X 的分布律和分布函數(shù) 。 解： 依題意 X 可能取到的值為 3， 4， 5，事件 3X 表示隨機取出的 3 個球的最大號 碼為 3，則另兩個球的只能為 1 號， 2 號，即 10 1 3 5 13 XP ；事件 4X 表示隨機取 出的 3 個球的最大號碼為 4，因此另外 2 個球可在 1、 2、 3
3、號球中任選，此時 103 3 5 2 31 4 XP ；同理可得 106 3 5 2 41 5 XP 。 X 的分布律為 X 3 4 5 概率 101 103 106 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 2 X 的分布函數(shù)為 0 3x xF 101 43 x 104 54 x 1 5x 3. 從一批含有 10 件正品及 3 件次品的產品中一件一件地抽取產品 .設每次抽取時，所面 對的各件產品被抽到的可能性相等 .在下列三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次 數(shù) X 的分布律： （ 1）每次取出的產品立即放回這批產品中再取下一件產品； （
4、 2）每次取出的產品都不放回這批產品中； （ 3）每次取出一件產品后總以一件正品放回這批產品中 。 解： （ 1）設事件 ,2,1, iAi 表示第 i 次抽到的產品為正品，依題意， ,1 nAA 相互 獨立，且 ,2,1,1310 iAP i 而 ,2,1,1310133 11111 kAPAPAPAAAPkXP kkkkk 即 X 服從參數(shù) 1310p 的幾何分布。 （ 2）由于每次取出的產品不再放回，因此， X 可能取到的值為 1， 2， 3， 4， 1 0 3 1 0 51 , 2 , 1 3 1 3 1 2 2 6 3 2 1 0 5 3 2 1 1 0 13 , 4 1 3 1 2
5、 1 1 1 4 3 1 3 1 2 1 1 1 0 2 8 6 P X P X P X P X 。 X 的分布律為 X 1 2 3 4 概率 1310 265 1435 2861 （ 3） X 可能取到的值為 1， 2， 3， 4， 1 0 3 1 1 3 31 , 2 , 1 3 1 3 1 3 1 6 9 3 2 1 2 7 2 3 2 1 63 , 4 1 3 1 3 1 3 2 1 9 7 1 3 1 3 1 3 2 1 9 7 P X P X P X P X 。 所求 X 的分布律為 X 1 2 3 4 概率 1310 16933 219772 21976 4. 設隨機變量 X )
6、,6( pB ，已知 )5()1( XPXP ，求 p 與 )2( XP 的值 。 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 3 解： 由于 pBX ,6 ， 因此 6,1,0,166 6 kppkXP kk 。 由此可算得 ,165,161 55 ppXPppXP 即 ,1616 55 pppp 解得 21p ； 此時， 641521!2 562121262 6262 XP 。 5. 某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經驗，每月銷售量 X 服從參數(shù) 4 的泊松分布 ， 問在月初進貨時，要進多少才能以 99的概率充分滿足顧客的需要？ 解： 設至少要進
7、 n 件物品，由題意 n 應滿足 ,99.0,99.01 nXPnXP 即 99.0 !41 10 4 nk k eknXP ， 則 99.0 !40 4 nk k eknXP ， 查泊松分布表可求得 9n 。 6. 有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為 0.000 1.在某 天該段時間內有 1 000 輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于 2 的概率 。 解： 設 X 為 1000 輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意， X 服從 0001.0,1000 pn 的二項 分布，即 0001.0,1000 BX ，由于 n 較大， p 較小，因此也可以近似地認為 X 服從 1.0000
8、1.01000 np 的泊松分布，即 1.0PX ，所求概率為 01 0 . 1 0 . 1 2 1 0 1 0 .1 0 .11 0 ! 1 ! 1 0 .9 0 4 8 3 7 0 .0 9 0 4 8 4 0 .0 0 4 6 7 9 P X P X P X ee 。 7. 設隨機變量 X 的密度函數(shù)為 2,() 0,xfx 0,xA其 他 , 試求：（ 1）常數(shù) A;（ 2） )5.00( XP 。 解： （ 1） xf 成為某個隨機變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件，其一為 0 xf ；其二為 1dxxf ，因此有 A xdx0 12 ，解得 1A ，其中 1A 舍去，即取 1A 。 （
9、 2）分布函數(shù) x dxxfxXPxF = x x x dxx d xdx x d xdx dx 1 0 1 0 0 0 020 20 0 1 10 0 x x x 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 4 = 1 0 2x 1 10 0 x x x 8. 設隨機變量 X 的密度函數(shù)為 ( ) e xf x A ()x ，求：（ 1）系數(shù) A；（ 2） )10( XP ；（ 3） X 的分布函數(shù) 。 解： （ 1）系數(shù) A 必須滿足 1dxAe x ，由于 xe 為偶函數(shù)，所以 122 0 0 dxAedxAedxAe xxx 解得 21A
10、； （ 2） 11 010 121212110 edxedxeXP xx ； （ 3） x dxxfxF = x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x x e e 1 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x x e e 2 11 2 1 0 0 x x 9. 證明：函數(shù) 22e , 0,() 0, 0, x cx xfx c x （ c 為正的常數(shù)） 可作 為一個密度函數(shù) 。 證明： 由于 0 xf ，且 1 2 02 2 0 22 222
11、cxcxcx e c xdedxe c xdxxf ， 因此 xf 滿足密度函數(shù)的二個條件，由此可得 xf 為某個隨機變量的密度函數(shù)。 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 5 10. 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0() 1 (1 )e xFx x , 0, 0,xx 求 X 的密度函數(shù)，并計算 )1( XP 和 )2( XP 。 解： 由分布函數(shù) xF 與密度函數(shù) xf 的關系，可得在 xf 的一切連續(xù)點處有 xFxf ， 因此 xf ,0,xxe 其他 0 x 所求概率 11 2111111 eeFXP ； 22 3211121212
12、eeFXPXP 。 11. 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X（單位： min） 是一隨機變量，它 服從 51 的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 51e() 5 0 x fx , 0,x其 它 . 某顧客在窗口等待服務，若超過 10 min，他 就離開 。 （ 1）設某顧客某天去銀行，求他未等到服務就離開的概率； （ 2） 設某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務而離開的概率 。 解： （ 1）設隨機變量 X 表示某顧客在銀行的窗口等待服務的時間，依題意 X 服從 51 的指數(shù)分布，且顧客等待時間超過 10min 就離開，因此，顧客未等到服務就離開的概率為 10 255110 e
13、dxeXP x； （ 2）設 Y 表示某顧客五次去銀行未等到服務的次數(shù)，則 Y 服從 2,5 epn 的二項 分布，所求概率為 422 4225202 141 115105 101 ee eeee YPYPYP 12. 設隨機變量 X 服從 )1,0(N ，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：（ 1） )2.2( XP ; （ 2） )76.1( XP ;（ 3） )78.0( XP ;（ 4） )55.1( XP ;（ 5） )5.2( XP 。 解： 查正態(tài)分布表可得 （ 1） 9861.02.22.2 XP ； 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B
14、課程習題答案 6 （ 2） 0392.09608.0176.1176.1176.1 XPXP ； （ 3） 2177.07823.0178.0178.078.0 XP ； （ 4） 55.155.155.155.155.1 XPXP 8788.019394.02155.1255.1155.1 （ 5） 15.2215.215.2 XPXP 0124.09938.0125.222 。 13. 設隨機變量 X 服從 )16,1(N ，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算： （ 1） )44.2( XP ;（ 2） )5.1( XP ;（ 3） )8.2( XP ;（ 4） )4( XP ;（ 5）
15、)25( XP ;（ 6） )11( XP ;（ 7）確定 a，使得 )()( aXPaXP 。 解： 當 2, X 時， abbXaP ，借助于該性質，再查 標準正態(tài)分布函數(shù)表可求得 ： （ 1） 8051.086.0 4 144.244.2 XP ； （ 2） 125.01 4 15.115.1 XP 5498.0125.0125.011 ； （ 3） 3264.06736.0145.0145.0 4 18.28.2 XP ； （ 4） 75.025.1 4 144 144 XP 6678.07734.018944.075.0125.1 ； （ 5） 175.0 4 154 1225 XP
16、 9321.018413.07734.01175.0 ； 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 7 （ 6） 4 104 12120111111 XPXPXP 8253.05987.07724.0125.075.01 ； （ 7） 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2P X a P X a P X a P X a P X a 1 1 1( ) 0 14 2 4aa a 。 14. 某廠生產的滾珠直徑 X 服從正態(tài)分布 )01.0,05.2(N ，合格品的規(guī)格規(guī)定直徑為 2.02 ，求滾珠的合格率 。 解： 所求得概率為 2 . 2
17、 2 . 0 5 1 . 8 2 . 0 52 0 . 2 2 0 . 2 0 . 1 0 . 1PX 1 . 5 2 . 5 1 . 5 1 2 . 5 0 .9 3 3 2 1 0 .9 9 3 8 0 .9 2 7 15. 某人上班 路上 所需的時間 )100,30( NX （單位： min），已知上班時間是 8： 30. 他每天 7： 50 分出門，求 :（ 1）某天遲到的概率；（ 2）一周（以 5 天計）最多遲到一次的概 率 。 解： （ 1）由題意知某人路上所花時間超過 40 分鐘，他就遲到了，因此所求概率為 1587.08413.011110 3040140 XP ； （ 2）記
18、 Y 為 5 天中某人遲到的次數(shù)，則 Y 服從 1587.0,5 pn 的二項分布， 5 天 中最多遲到一次的概率為 8192.08413.01587.0158413.01587.0151 450 YP 。 16. 設隨機變量 X 在 6,1 上服從均勻分布，求方程 012 Xtt 有實根的概率。 解 ： X 的密度函數(shù)為 xf ,51 61 x ； ,0 其他 。 方程 012 Xtt 有實根的充分必要條件為 042 X ，即 42X ，因此所求得概率為 622 5451022224 dxXPXPXXPXP 或。 17. 設隨機變量 2 (10,2 )XN ，令 32YX，試求： （ 1）
19、Y 的概率密度函數(shù)； （ 2） 概率 26 38PY （ (0.5) 0.6915 ， (1) 0.8413 ） 。 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 8 解：因為 2 (10,2 )XN ，故 23 2 (3 2 , 6 )Y X N （ 1） Y 的概率密度函數(shù)為： 2( 3 )721() 62 y Yf y e y （ 2） 3 8 3 2 2 6 3 2 2 6 3 8 1 1 66PY 2 1 1 0 . 8 4 1 3 0 . 6 8 2 6 。 18. 設隨機變量 X 的概率密度為 其它0 2c o s)( xxA xf X
20、 ，試求： （ 1） 常數(shù) A；（ 2） XY sin 的概率密度。 解： （ 1） 因為 /2 /2 /2/21 ( ) c o s s i n | 2f x d x A x d x A x A ，故 12A ； （ 2） 因為 1 c o s() 22 0X xxfx 其 它 ， sinyx ， c o s 0 ( / 2 )y x x ， ( ) arcsinx h y y ， 2 1( ) 1 11h y yy 所以由公式可得： 2 1 1 1( ( ) ) ( ) c o s ( a r c s in ) 1 1 22() 1 0 X Y f h y h y y yfy y 其 他
21、19. 設 X 的分布律為 X -2 -0.5 0 2 4 概率 81 41 81 61 31 求出：以下隨機變量的分布律。 （ 1） 2X ； （ 2） 1X ； （ 3） 2X 。 解：由 X 的分布律可列出下表 概率 81 41 81 61 31 X -2 -0.5 0 2 4 2X 0 1.5 2 4 6 1X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 9 （ 1） 2X 的分布律為 2X 0 23 2 4 6 概率 81 41 81 61 31 （ 2） 1X
22、的分布律為 1X -3 -1 1 23 3 概率 31 61 81 41 81 （ 3） 2X 的分布律為 2X 0 41 4 16 概率 81 41 247 31 其中 24761812242 XPXPXP 。 20. 設隨機變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，求隨機變量的函數(shù) XeY 的密度函數(shù) yfY 。 解 ： xfX ,0, xe 0;x其 他 xey 的反函數(shù) yyhyyh 1,ln ，因此所求的 Y 的密度函數(shù)為 yhyhfyf XY ln 1, 0, ye y , ;0ln其他 y = ,0 ,12y .;1其他 y B 1. 有 2500 名小學生獨立參加了保險公司舉辦的平
23、安保險，每個參加保險的小學生一年 交付保險費 12 元，若在一年內出現(xiàn)意外傷害事故，保險公司一次性賠付 10000 元，設在一 年內每名小學生出事故的概率為 0.002，求：（ 1）保險公司虧本的概率；（ 2）保險公司獲利 不少于 10000 元的概率。 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 10 解：設 A 公 司 出 現(xiàn) 虧 本， 1 0 0 0 0 B 公 司 獲 利 不 少 于 元， X 為一年內出現(xiàn)意外 事故的學生人數(shù)，則 (2500, 0.002)XB 。 （ 1）若一年內有 X 名學生出事故，則保險公司應賠付 10000X 元，
24、則該事件發(fā)生的概率 為： 2 5 0 0 3 40 33 2 5 0 0 5 5 2500 00 ( ) 1 0 0 0 0 2 5 0 0 1 2 3 ( ) 1 ( ) 5 2 3 61 ( 0 . 0 0 2 ) ( 0 . 9 9 8 ) 1 1 0 . 7 3 !6 kk k k k k kk P A P X P X P X k P X k C e ek ， （ 2）保險公司獲利不少于 10000 元的概率為： 22 55 00 5( ) 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 ( ) 1 8 . 5 0 . 1 2!k kkP B P X P X P X k
25、 e ek 。 2. 設連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為 2 0 , 0 ( ) , 0 1 1, 1 x F x A x x x ，試求：（ 1）系數(shù) A ；（ 2） X 落在 1( 1, )2 及 1( ,2)3 內的概率；（ 3） X 的概率密度。 解：（ 1）由 ()Fx的連續(xù)性，有 1lim ( ) (1)x F x F ，即 2 1lim 1x Ax ，得 1A ，于是： 20 , 0( ) , 0 1 1, 1 x F x x x x ； （ 2） 21 1 1 1 1 ( ) ( 1 ) ( ) 02 2 2 4P X F F ， 21 1 1 8 2 ( 2 ) ( ) 1
26、( )3 3 3 9P X F F ； （ 3） 2 , 0 1( ) ( ) 0, xxf x F x 其 他 。 3. 設隨機變量 X 的概率密度為 2 , 0 1 1( ) , 1 2 0, b x x f x xx 其 他 ，試確定常數(shù) b ，并求其分布 函數(shù)。 解： 12 201 111 ( ) 0 122bf x d x b x d x d x bx ； 當 0 x 時， ( ) ( ) 0 xF x f t d t ； 當 01x時， 20 0( ) ( ) ( ) 2 xx xF x f t d t f t d t t d t ； 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一
27、 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 11 當 12x時， 01 201 1 3 1( ) ( ) ( ) 2xxF x f t d t f t d t t d t d ttx ； 當 2x 時， ( ) 1Fx ； X 的分布函數(shù)為 2 0 , 0 , 0 1 2() 31 , 1 2 2 1 , 2 x x x Fx x x x 。 4. 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0 1ln 1 1 x F x A x x e xe ，試求：（ 1）常數(shù) A；（ 2） 2PX ， P X e 。 解：（ 1） 根據(jù)分布函數(shù)的右連續(xù)性可知： 0l i m ( ) 1 ( ) l n 1xe F x
28、 F e A e A A ； （ 2） | | 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) l n 2 0 l n 2P X P X F F ； 0P X e。 5. 隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為 2 , | | 1() 1 0, c x fx x 其 他 ，求：（ 1） c 的值；（ 2） X 落在 11( , )22 內的概率。 解：（ 1） 1 1 0211 ( ) 2 a r c s i n 2 21 cf x d x d x c x c cx ，得 1c ； （ 2） 1 12 21 02 2 1 1 1 2 2 1 a r c s i n2 2 6 31 dxP X xx 。 6. 隨機
29、變量 X 的概率密度函數(shù)為 c o s , |x | 2 ,() 0,Axfx 其 他 , 求：（ 1） A 的值；（ 2） ()Fx；（ 3） 0 4PX 。 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 12 解：（ 1）由 22 201 c o s 2 c o s 2A x d x A x d x A ，得 12A 。 （ 2）當 2x 時， ( ) 0Fx ；當 2x 時， ( ) 1Fx ； 當 22x 時， 2 1 1 1( ) c o s s i n2 2 2xF x x d x x ；所以 0 , x 2 , ( ) 1 2 s in
30、 2 , 2 x 2 , 1 , 2 . f x x x （ 3） 0 4 ( 4 ) ( 0 ) 2 4P X F F 。 7. 公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在 0.01 以下設計的，設男子身高（單 位： cm） (170,36)XN ，求應如何選擇車門的高度。 解：設男子身高為 X ，選擇的車門高度 x 應滿足： 0.01P X x，且 (170,36)XN ， 所以 1 7 0 1 7 0 0 . 0 166XxP X x P 170( ) 0.996x ， 170 2.336x 183.98x ，故選擇的車門高度應為 183.98cm，即可取 1.84 米。 C 1. 設隨
31、機變量 X 的分布函數(shù) ()Fx連續(xù)，且嚴格單調增加，求 ()Y F X 的概率密度。 解：設 Y 的分布函數(shù)為 ()YFy，則 11( ) ( ) ( ) ( ) YF y P Y y P F X y P X F y F F y y ， 當 0y 時， ( ) 0YFy ，當 1y 時， ( ) 1YFy ，故 0 , 0( ) , 0 1 1, 1Y y F y y y y ，于是 Y 的概率密度為 1, 0 1() 0,Y yfy 其 他 。 2. 對圓片直徑進行測量，其值在 5, 6上均勻分布，試求圓片面積的概率分布。 解：直徑 D的分布密度為 1,5 6() 0, dd 其 他 ，假
32、設 24DX ， X 分布函數(shù)為 ()Fx 西南交通大學 2017 2018 學年第（ 一 ）學期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習題答案 13 2( ) 4DF x P X x P x ，當 0 x 時 ， ( ) 0Fx ；當 0 x 時 2 44( ) 4D x xF x P X x P x P x ；當 4 5x 時，即 254x 時， ( ) 0Fx ； 當 456x 時， 即 25 9x 時， 2 44( ) 4D x xF x P X x P x P x 4 5 415x xdt ；當 9x 時， 65( ) ( ) 1xF x t d t d t ；所以 0 , 2 5 4 ( )
33、4 5 , 2 5 4 9 1 , 9 x F x x x x ，密度函數(shù)為 1 2 5,94( ) ( ) 0, xx F x x 其 他 。 3. 電源電壓在不超過 200 V、 200 240 V 和超過 240 V 三種情況下，元件損壞的概 率分別為 0.1， 0.001 和 0.2。設電源電壓服從正態(tài)分布， 2(220, 25 )XN ，求：（ 1）元件 損壞的概率 ；（ 2）元件損壞時，電壓在 200 240 V 間的概率 。 解：（ 1） 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 ( 0 . 8 ) 1 (0 . 8 ) 0 . 2 1 1 82 5 2 5XP X P ，
34、 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 4 0 2 2 0 2 0 0 2 4 0 2 (0 . 8 ) 1 0 . 5 7 6 42 5 2 5 2 5XP X P ， 2 2 0 2 4 0 2 2 0 2 4 0 1 2 4 0 1 1 (0 . 8 ) 0 . 2 1 1 82 5 2 5XP X P X P ， 由全概率公式知，元件損壞的概率為 0 . 1 0 . 2 1 1 8 0 . 0 0 1 0 . 5 7 6 4 0 . 2 0 . 2 1 1 8 0 . 0 6 4 1 。 （ 2）由貝葉斯公式知，元件損壞時，電壓在 200 240 V 的概率為 0 . 5 7 6 4 0 . 0 0 1 0 . 0 6 4 1 0 . 0 0 9 0 。
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