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1、 概率論與數理統(tǒng)計第一部份習題第一章概率論基本概念一、 填空題1、設A，B，C為3事件，則這3事件中恰有2個事件發(fā)生可表示為 。2、設，且A與B互不相容，則 。3、口袋中有4只白球，2只紅球，從中隨機抽取3只，則取得2只白球，1只紅球的概率 為 。4、某人射擊的命中率為0.7，現獨立地重復射擊5次，則恰有2次命中的概率為 。5、某市有50%的住戶訂晚報，有60%的住戶訂日報，有80%的住戶訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的百分比為 。6、設A，B為兩事件，則 。7、同時拋擲3枚均勻硬幣，恰有1個正面的概率為 。8、設A，B為兩事件，則 。9、10個球中只有1個為紅球，不放回地取球，每次
2、1個，則第5次才取得紅球的概率 為 。10、將一骰子獨立地拋擲2次，以X和Y分別表示先后擲出的點數， ，則 。11、設是兩事件，則的差事件為。12、設構成一完備事件組，且則，。13、設與為互不相容的兩事件，則。14、設與為相互獨立的兩事件，且，則。15、設是兩事件，則。16、設是兩個相互獨立的事件，則。17、設是兩事件，如果，且，則。18、設，則。19、假設一批產品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。從中隨機取一件，結果不是三等品，則為一等品的概率為20、將個球隨機地放入個盒子中，則至少有一個盒子空的概率為。二、選擇題1、設，則下列成立的是( ) A和B不相容 A和B獨立 2、設是三個
3、兩兩不相容的事件，且，則 的最大值為 ( ) 1/2 1 1/3 1/43、設A和B為2個隨機事件，且有，則下列結論正確的是( ) 4、下列命題不成立的是 ( ) ( 5、設為兩個相互獨立的事件，則有（）06、設為兩個對立的事件，則不成立的是（）0017、設為事件，則有（） A和B不相容 A和B獨立A和B相互對立 8、設為兩個相互獨立的事件，則為（）9、設為兩事件，且，則當下面條件（）成立時，有與獨立與互不相容與對立不包含10、設為兩事件，則表示（）必然事件不可能事件與恰有一個發(fā)生與不同時發(fā)生11、每次試驗失敗的概率為，則在3次重復試驗中至少成功一次的概率為（）12、10個球中有3個紅球7個綠
4、球，隨機地分給10個小朋友，每人一球，則最后三個分到球的小朋友中恰有一個得到紅球的概率為（）13、設，則下列結論成立的是（） 與獨立與互不相容14、設為三事件，正確的是（） 15、擲2顆骰子，記點數之和為3的概率為，則為（） 1/2 1/4 1/18 1/3616、已知兩事件的概率都是1/2, 則下列結論成立的是（） 17、為相互獨立事件，則下列4對事件中不相互獨立的是（） 與與與與18、對于兩事件，與不等價的是（） 19、對于概率不為零且互不相容的兩事件，則下列結論正確的是（） 與互不相容與相容三、計算題1、某工廠生產的一批產品共有100個，其中有5個次品。從中取30個進行檢查，求次品數不多
5、于1個的概率。2、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中有2把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000小時以上的概率為0.2，求3個燈泡在使用1000小時以后至多有1個壞的概率。4、甲、乙、丙3臺機床加工同一種零件，零件由各機床加工的百分比分別為45%，35%，20%。各機床加工的優(yōu)質品率依次為85%，90%，88%，將加工的零件混在一起，從中隨機抽取一件，求取得優(yōu)質品的概率。若從中取1個進行檢查，發(fā)現是優(yōu)質品，問是由哪臺機床加工的可能性最大。6、某人買了三種不同的獎券各一張，已知各種獎券中獎的概率分別為；并且各種獎券中獎是相互獨立的。如果只要有一種獎券中
6、獎則此人一定賺錢，求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時，平時練習過的題目占60%，學生答卷時，平時練習過的題目在考試時答對的概率為95%，平時沒有練習過的題目在考試時答對的概率為30%。求答對而平時沒有練習過的概率8、有兩張電影票，3人依次抽簽得票。求每個人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結果尚未公開，由第2個人抽的結果去猜測第1個人抽的結果。問：如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。10、一批產品的次品率為0.1，現任取3個產品，問3個產品中有幾個次品的概率的可能性最大。11、有5個除顏色外完全相同的球，其中三個白色，兩個紅色。從中任取兩個
7、，（1）求這兩個球顏色相同的概率；（2）兩球中至少有一紅球的概率。12、設是兩個事件，用文字表示下列事件：。13、從1100這100個自然數中任取1個，求（1）取到奇數的概率；（2）取到的數能被3整除的概率；（3）取到的數能被6整除的偶數。14、對次品率為5%的某箱燈泡進行檢查，檢查時，從中任取一個，如果是次品，就認為這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個進行檢查，檢查過的產品不放回，如此進行五次。如果5個燈泡都是合格品，則認為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有100個，求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中只有1把能打開他辦公室的門，如果他一把一把地用鑰匙試著
8、開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了3次才能打開他辦公室的門的概率；（2）他試了5次才能打開他辦公室的門的概率16、10個塑料球中有3個黑色，7個白色，今從中任取2個，求已知其中一個是黑色的條件下，另一個也是黑色的概率。17、裝有10個白球，5個黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測丟失的球是什么顏色，隨機地從罐中摸出兩個球，結果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設有三只外形完全相同的盒子，號盒中裝有14個黑球，6個白球；號盒中裝有5個黑球,25個白球；號盒中裝有8個黑球，42個白球?，F從三個盒子中任取一盒，再從中任取一球，求（1）取到的球為黑色球的概率；（2）如果取到的
9、球為黑色球，求它是取自號盒的概率。19、三種型號的圓珠筆桿放在一起，其中型的有4支，型的有5支，型的有6支；這三種型號的圓珠筆帽也放在一起，其中型的有5個，型的有7個，型的有8個?，F在任意取一個筆桿和一個筆帽，求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結果尚未公開，由第2個人抽的結果去猜測第1個人抽的結果。問：如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁4人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中10個白球，5個黃球，10個紅球，從中取1個，已知不是
10、白球，求是黃球的概率。23、設每次試驗事件發(fā)生的概率相同，已知3次試驗中至少出現一次的概率為19/27，求事件在一次試驗中出現的概率。24、甲、乙、丙3臺機床獨立工作，由1個人看管，某段時間甲、乙、丙3臺機床不需看管的概率分別為0.9，0.8，0.85，求在這段時間內機床因無人看管而停工的概率。25、一批產品共有100件，對其進行檢查，整批產品不合格的條件是：在被檢查的4件產品中至少有1件廢品。如果在該批產品中有5%是廢品，問該批產品被拒收的概率是多少。26、將3個球隨機地放入4個杯子中，求杯子中球的個數的最大值為2的概率。27、甲、乙2班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，
11、而女同學15名，求碰到甲班同學時，正好碰到女同學的概率。28、一幢10層的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客在第二層起離開電梯。假設每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2位及2位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動物由出生到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，問現在20歲的動物活到25歲的概率為多少？30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標的概率為0.6，現有若干門高射炮同時發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以99%以上的概率擊中目標，問至少需要配置幾門高射炮？31、電路由電池A與2個并聯的電池B和C串聯而成，設電池A，B，C損壞的概率分別為0.2 ，0.3，0.3
12、，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中10個白球，5個黃球，從中不放回地取3次，試求取出的球為同顏色的球的概率。33、假設目標在射程之內的概率為0.7，這時射擊的命中率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當任一河流泛濫時，該地區(qū)即遭受水災。設某段時期內甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當甲河流泛濫時乙河流泛濫的概率為0.3，求（1）該時期內這地區(qū)遭受水災的概率；（2）當乙河流泛濫時甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3人同向飛機射擊。擊中飛機的概率分別為0.4，0.5，0.7。如果有1人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2，如果有2人
13、擊中，則飛機被擊落的概率為0.6，如果有3人擊中，則飛機一定被擊落。求飛機被擊落的概率。36、一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手3發(fā)子彈得到不小于29環(huán)的概率。38、甲、乙2名乒乓球運動員進行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率0.4，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對甲更有利。39、有2500人參加人壽保險，每年初每人向保險公司交付保險費12元。若在一年內死亡，則其家屬可以從保險公司領取2000元。假設每人在一年內死亡的概率都是0.002，求保險公司獲利不少于10000元的概率。40、在12名學生中有8名優(yōu)等生，從中任
14、取9名，求有5名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K型50%，L型30%，M型20%，對應治愈率為0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，問他屬于L型的概率？42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5、乘輪船遲到的概率為0.2、乘飛機不會遲到。問這個人遲到的概率；又如果他遲到，問他乘輪船的概率是多少？43、一對骰子拋擲25次，問出現雙6和不出現雙6的概率哪個大？44、一副撲克（52張），從中任取13張，求至少有一張“A”的概率？45、據以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6，孩子得病下母
15、親得病的概率為0.5，母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號碼的最后一位數字，因而他隨機地撥號。求他撥號不超過3次的概率；若已知最后一位數字為奇數，此概率是多少？47、某場戰(zhàn)斗準備調甲、乙兩部隊參加，每支部隊能按時趕到的概率為，若只有一支部隊參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為0.4；若兩部隊參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊未能按時趕到則必敗。欲達0.9以上的概率取勝，求的最低值。48、工人看管三臺設備，在1小時內每臺設備不需要看管的概率均為0.8，求（1）三臺設備均不需要看管的概率；（2）至少有一臺設備需要看管的概率；（3）三臺設備均需要看管的概率。
16、四、證明題1、 假設我們擲兩次骰子，并定義事件“第一次擲得偶數點”，“第二次擲得奇數點”，“兩次都擲奇數點或偶數點”，證明A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不相互獨立。2、 設每次試驗發(fā)生的概率，“次獨立重復試驗中至少出現一次”證明3、設，證明4、證明，如果，則5、當時，證明：6、證明：，則7、設三事件相互獨立，則與相互獨立。8、設，則9、已知同時發(fā)生，則發(fā)生，證明10、10個考簽中有4個難簽，3人依次抽簽參加考試，證明3人抽到難簽的概率相等。11、設A，B為兩事件，證明12、證明如果與獨立，則與獨立、與獨立、與獨立13、如果，證明與獨立的充分必要條件是第二章隨機變量及其分布一、填空題1、設隨機
17、變量X的分布律為，則 。2、設隨機變量X服從參數為1/3的01分布，則X的分布函數為= 。 3、設隨機變量，則 。4、設隨機變量X的分布律為，則 。 5、設隨機變量X服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布，則隨機變量的密度函數為 。 6、隨機變量X的密度函數為 ，則 。7、隨機變量X的密度函數為則 。8、若，則 。9、設離散型隨機變量的分布函數為且，則，。10、設連續(xù)型隨機變量的密度函數為則，。11、設5個晶體管中有2個次品，3個正品，如果每次從中任取1個進行測試，測試后的產品不放回，直到把2個次品都找到為止，設為需要進行測試的次數，則。12、設為離散型隨機變量的分布函數為，若，則。13、一顆均勻骰子
18、重復擲10次，設表示點3出現的次數，則的分布律。14、設為連續(xù)型隨機變量，且，且，則。15、設隨機變量服從POISSON分布，且，則。16、連續(xù)型隨機變量為，則。17、設為分布函數，為分布函數，則。18、若連續(xù)型隨機變量的分布函數，則。19、設隨機變量的概率密度，則的分布函數為。20、若隨機變量，則的密度函數。二、選擇題1、若函數是一隨機變量的密度函數，則（）的定義域為0,1值域為0,1非負在連續(xù)2、如果是（），則一定不可以為某一隨機變量的分布函數。非負函數連續(xù)函數有界函數單調減少函數3、下面的數列中，能成為一隨機變量的分布律的是（）4、下面的函數中，能成為一連續(xù)型隨機變量的密度函數的是（）5
19、、設隨機變量，為其分布函數，則（）。 6、設離散型隨機變量的分布律為，則（）。的實數7、設隨機變量，則增大時，是（）單調增大單調減少保持不變增減不定8、設隨機變量的分布密度，分布函數，為關于軸對稱，則有（）9、設為分布函數，為分布函數，則下列成立的是（）10、要使是密度函數，則為（）11、設隨機變量的分布密度為則的密度函數為（）12、設連續(xù)型隨機變量的分布函數為，密度，則（）13、設隨機變量的密度函數為，則（） 0.75 0.875 14、設隨機變量，分布函數為，密度，則有（）三、計算題1、10 個燈泡中有2個是壞的，從中任取3個，用隨機變量描述這一試驗結果，并寫出這個隨機變量的分布律和分布函
20、數及所取的三個燈泡中至少有兩個好燈泡的概率。2、罐中有5 個紅球，3個白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球為止。用X表示抽取的次數，求X的分布律，并計算。3、設隨機變量的分布律為，試求的值。4、 已知離散型隨機變量的分布律為(1) 求；210121/5 1/6 1/5 1/15 11/30（2）求的分布律；（3）求的分布函數。5、已知離散型隨機變量的分布律為，且求。6、對某一目標射擊，直到擊中時為止。如果每次射擊的命中率為，求射擊次數的分布律。7、已知離散型隨機變量的分布律為，其中，求的分布律。8、設連續(xù)型隨機變量的分布函數為：求：(1)常數 (2)的概率密度。9、已知隨機變量的密度函數為
21、求（1）系數；（2）落入的概率；（3）的分布函數。10、某車間有20部同型號機床，每部機床開動的概率為0.8，若假定各機床是否開動是獨立的，每部機床開動時所消耗的電能為15個單位，求這個車間消耗的電能不少于270個單位的概率。11、 設隨機變量，求的分布。12、設測量誤差的密度函數為，求（1） 測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2） 測量3次，每次測量獨立，求至少有1次測量誤差的絕對值不超過30的概率。13、在下列兩種情形下，求方程有實根的概率。（1）等可能取1,2，3,4，5,6；（2）14、設球的直徑（單位：mm），求球的體積的概率密度。15、已知離散型隨機變量只取-1，0，1，相應的概
22、率為，求的值并計算16、設某種電子管的壽命的密度函數（1） 若1個電子管在使用150小時后仍完好，那么該電子管使用時間少于200小時的概率是多少？（2） 若1個電子系統(tǒng)中裝有3個獨立工件的這種電子管，在使用150小時后恰有1個損壞的概率是多少。17、設鉆頭的壽命(即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以米為單位)服從指數分布，鉆頭平均壽命為1000米，現要打一口深度為2000米的井，求 (1)只需一根鉆頭的概率； (2)恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7時起第15分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達此汽車站的時間是7時至7時30分的均勻分布，試求乘客在車站等候（1）不超過15分鐘的概率；（2）
23、超過10分鐘的概率。19、自動生產線在調整以后出現廢品的概率為0.1，生產過程中出現廢品時重新進行調整，問在兩次調整之間能以0.6的概率保證生產的合格品數不少于多少？20、設在一段時間內進入某一商店的顧客人數服從POSSION分布，每個顧客購買某種物品的概率為，并且各個顧客是否購買該物品是相互獨立的，求進入商店的顧客購買該種物品人數的分布律。21、設每頁書上的印刷錯誤個數服從泊松分布，現從一本有500個印刷錯誤的500頁的書上隨機地取5頁，求這5頁各頁上的錯誤都不超過2個的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數X服從參數為2的泊松分布，而港口的設備一天只能為三只油船服務，如果一天中到達的油船超
24、過三只，超出的油船必須轉到另一港口。求：（1）這一天必須有油船轉走的概率；（2）設備增加到多少，才能使每天到達港口的油船有90%可以得到服務。（3）每天到達港口油船的最可能只數。23、某實驗室有12臺電腦，各臺電腦開機與關機是相互獨立的，如果每臺電腦開機占總工作時間的3/4，試求在工作時間任一時刻關機的電腦臺數超過兩臺的概率以及最有可能有幾臺電腦同時開機。24、設有各耗電7.5KW的車床10臺，每臺車床使用情況是相互獨立的，且每臺車床每小時平均開車12分鐘，為這10臺車床配電設備的容量是55KW，試求該配電設備超載的概率。25、一臺電子設備內裝有5個某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位
25、：小時）服從指數分布，且平均壽命為1000小時。如果有一個電子管損壞，設備仍能正常工作的概率為95%，兩個電子管損壞，設備仍能正常工作的概率為70%，若兩個以上電子管損壞，則設備不能正常工作。求這臺電子設備在正常工作1000小時后仍能正常工作的概率(各電子管工作相互獨立)。26、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計）服從。在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X。（1）求，；（2）確定最小的x,使。27、將一溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內。調節(jié)器整定在d,液體的溫度X是一個隨機變量，且 (1)若d=90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低
26、于0.99，問d至少為多少？28、設隨機變量的分布函數（1）確定的值；（2）29、設連續(xù)型隨機變量的分布函數為 求(1)常數A，B的值；(2)30、有一個半徑為2米的圓盤形靶子，設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設均能中靶，如以表示擊中點與靶心的距離，求的分布函數和密度函數。31、設隨機變量的密度函數，求的密度函數。32、設隨機變量的分布律為0.2 0.1 0.7求隨機變量的分布函數。33、已知10個元件中有7個合格品和3個次品，每次隨機地抽取1個測試，測試后不放回，直至將3個次品找到為止，求需測試次數的分布律。34、已知的分布函數為，求的分布函數。35、設某產品的壽命服從的
27、正態(tài)分布，若要求壽命低于120小時的概率不超過0.1，試問應控制在什么范圍內，并問壽命超過210小時的概率在什么范圍內？36、某廠決定在工人中增發(fā)高產獎，并決定對每月生產額最高的5%的工人發(fā)放高產獎，已知每人每月生產額，試問高產獎發(fā)放標準應把月生產額定為多少？37、在長為1的線段隨機地選取一點，短的一段與長的一段之比小于1/4的概率是多少？38、設的分布密度為求的密度函數。39、設的分布密度為求（1）（3）的概率密度。四、證明題1、設為隨機變量的分布函數，證明：當時，有2、證明：若服從參數為的指數分布，則3、證明：服從上均勻分布，則也服從均勻分布。4、設隨機變量的分布函數為嚴格單調連續(xù)函數，則
28、服從均勻分布。5、設隨機變量的分布密度，分布函數，為關于軸對稱，證明：對于任意正數有6、設隨機變量的分布密度，分布函數，為關于軸對稱，證明：對于任意正數有7、設是兩個隨機變量的密度函數，證明：對于任意正數，有是某一隨機變量的密度函數。第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1、因為二元函數不滿足，所以不是某一個二維隨機變量的聯合分布函數。2、設二維隨機變量的聯合分布律為 XY 1 2 3 1 2 1/16 3/8 1/16 1/12 1/6 1/4則 。3、設X和Y是獨立的隨機變量，其分布密度函數為 ， 則的聯合分布密度函數為 。 4、設二維隨機變量的聯合分布律為 XY 1 2 3 1 2 1/6
29、 1/9 1/18 1/3 a b 若X和Y獨立，則a= ,b= 。 5、設，且三個隨機變量相互獨立，則 。6、若隨機變量，且，則。7、設的聯合密度函數為 則 。8、設區(qū)域D上服從均勻分布，其中D是由軸，軸及直線所圍成的區(qū)域，則。9、設和是兩個隨機變量，且，則。10、設相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量的分布律為 。11、設相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量的分布律為。12、設平面區(qū)域D由曲線及直線，區(qū)域D上服從均勻分布，則關于的邊緣密度在處的值為。13、設相互獨立的和具有同一分布，且，則。二、選擇題1、設隨機變量相互獨立，分布函數為，則的分布函數為( ) 2、設隨機變量相互獨
30、立，且，則下列各式成立的是( ) 3、設隨機變量，相互獨立，則的密度函數為（）4、設隨機變量相互獨立且同分布，則下列結論正確的是 ( ) 5、設隨機變量相互獨立，且，則為( ) 6、設的聯合密度函數為則與為（）獨立同分布獨立不同分布不獨立同分布不獨立也不同分布7、設隨機變量相互獨立，且均服從（0,1）均勻分布，則下列中服從均勻分布的是（）8、隨機變量相互獨立同分布，則和（）不獨立獨立不相關相關9、設的聯合分布律為Y01011/4 1/4已知事件與事件相互獨立，則值為（）三、計算題1、設二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的聯合概率密度為求：(1)系數A； (2) P(X，Y)D，其中D為由直線y=x
31、,x=1，及x軸圍成的三角形區(qū)域。2、設隨機變量X，Y相互獨立，且X，Y的分布律如下表：X321Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求：(1) (X，Y)的聯合分布律；(2) Z2XY的分布律；(3) UXY的分布律。3、甲、乙兩人約定晚上在某處見面，但沒有說好具體時間，已知甲、乙到達該處的時間分別為隨機變量X和Y，且甲到達的時間均勻分布在6時至8時之間；而乙到達的時間均勻分布在7時至10時之間。已知(X，Y)的聯合概率密度為： 求先到一人等候對方不超過10分鐘的概率。4、設隨機變量和相互獨立，且，求方程有兩個不相等的實根的概率。方程：5、一口袋中有4個球，標有1，2，3，4。從中
32、任取1個，不放回，再從袋中任取1個球，以和表示第一、二次取得的球的數字，求、的聯合分布。6、設隨機變量和相互獨立，求的分布。7、隨機變量和的聯合分布函數為求邊緣分布函數和邊緣密度函數。8、設二維隨機變量和的聯合密度函數為求（1）聯合分布函數；（2）邊緣密度函數；（3）9、甲、乙兩人獨立地進行兩次射擊，假設甲的命中率為0.2，乙的命中率為0.5，以和表示甲和乙的命中次數，求和的聯合分布。10、已知隨機變量和的分布律為且求（1）和的聯合分布；（2）和是否獨立。11、一電子儀器由兩部件構成，以和表示兩部件的壽命，已知和的聯合分布函數為（1）和是否獨立；（2）求兩部件的壽命都超過100小時的概率。12
33、、設隨機變量和獨立，其概率密度分別為求的分布密度。13、設隨機變量和獨立聯合密度為求14、設和獨立聯合密度為求邊緣密度。15、設和獨立聯合密度為求（1）（2）邊緣密度。（3）條件分布16、設和獨立，且服從，求的概率密度。17、設和獨立，求的概率密度18、設和獨立，求的概率密度。19、設和獨立，求的概率密度。20、設和獨立聯合密度為求聯合分布函數。四、證明題1、證明：若，且兩隨機變量獨立，則2、證明：若，且兩隨機變量獨立，則3、證明：若隨機變量以概率1取常數，則它與任何隨機變量相互獨立。第四章隨機變量的數字特征第五章極限定理一、填空題1、設隨機變量的數學期望為，均方差為，則當，時，2、設與獨立，
34、且，則。3、設連續(xù)型隨機變量的密度函數為且，則，。4、一顆均勻骰子重復擲10次，則10次中點數3平均出現的次數為，最可能出現點數3的次數為。5、設隨機變量服從一區(qū)間上的均勻分布，且，則的密度函數為。6、設隨機變量則，。7、設隨機變量服從參數為2的指數分布，服從參數為4的指數分布，則。8、從廢品率為5%的一大批產品每次取一個產品，直到取到廢品為止，平均要取個產品。9、設隨機變量X和Y獨立，且，則 。10、設相互獨立，且 則 。11、已知隨機變量X的密度函數為，則。12、設，則 。13、設隨機變量X和Y獨立，則= 14、設隨機變量，則隨機變量，則。15、若隨機變量的分布律為，且，則，。16、設表示
35、10次獨立重復射擊命中次數，每次命中的概率為0.4，則。二、選擇題1、設，則為 ( ) 3/2 1 5/3 3/42、已知隨機變量，的方差存在，且，則下列一定成立的是（）與一定獨立與一定不相關3、設的分布律為，如果（ ），則不一定存在。收斂收斂收斂4、設隨機變量的方差存在，為常數，則（）5、設為隨機變量，則（）1101006、已知隨機變量，相互獨立，且都服從POISSON分布，又知，則（）511025307、設隨機變量，則（）8、設隨機變量，則（）1249、設隨機變量服從指數分布，且，則的密度函數為（）10、設隨機變量X 的概率密度為 則錯誤的是( ) 分布函數11、設隨機變量滿足，則正面正確
36、的是 ( ) 相互獨立 不相關 12、設隨機變量的分布函數為 則( ) 13、有一群人受某種疾病感染的占20%，現從他們中隨機抽取50人，則其中患病人數的數學期望與方差是 ( ) 25和8 10和 2.8 25和 64 10和 814、設隨機變量均服從區(qū)間 ( 0 ，2 ) 上的均勻分布，則= 1 3 4 1215、設為獨立同分布的隨機變量序列，若（）時，則服從切貝曉夫大數定律。的分布律的是的分布律的是的密度函數為的密度函數為16、設獨立同分布，且服從參數為1/的指數分布，則下列結論正確的是( ) 17、設為獨立同分布的隨機變量序列，且，則下列中不正確的是（）三、計算題1、設隨機變量和相互獨立
37、且均服從，求的數學期望。2、設球的直徑（單位：mm），求球的體積的數學期望。3、已知，設，求的數學期望和方差及與的相關系數。4、某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，今隨機抽查100個索賠戶，求其中被盜索賠戶不少于14戶但也不多于30戶的概率。5、甲乙兩隊比賽，若有一隊先勝四場，則比賽結束，假設每次比賽甲隊獲勝的概率為0.6，求比賽場數的數學期望。6、某城市的市民在一年內遭受交通事故的概率為千分之一。為此，一家保險公司決定在這個城市新開一種交通事故險，每個投保人每年交付保險費18元，一旦發(fā)生事故，將得到1萬元的賠償。經調查，預計有10萬人購買這種險種。假設其他成本共40
38、萬元求（1）保險公司虧本的概率是多少？（2）平均利潤為多少？7、設隨機變量X有有限期望EX及方差，試用切貝謝夫不等式估計的值。8、設隨機變量X的方差為2.5，試用切貝謝夫不等式估計概率的值。9、某計算機系統(tǒng)有120個終端，各終端使用與否相互獨立，如果每個終端有20%的時間在使用，求使用終端個數在30個至50個之間的概率。10、一系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成，在系統(tǒng)運行期間部件損壞的概率為0.05，而系統(tǒng)只有在損壞的部件不多于10個時才能正常運行，求系統(tǒng)的可靠度。11、某電站供應一萬戶用電，假設用電高峰時，每戶用電的概率為0.9，利用中心極限定理計算：(1) 同時用電戶數在9030戶以上的概
39、率；(2) 若每戶用電200瓦，問電站至少應具有多大的發(fā)電量，才能以95%的概率保證供電12、對次品率為0.05的一批產品進行抽樣檢查，如果發(fā)現次品多于10個，則認為這批產品不合格，那么應檢查多少個產品，才能使這批產品被認為是不合格的概率(可信度)達到90%。13、據以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數分布?，F隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的和大于1920小時的概率。14、某廠產品的壽命服從指數分布，其概率密度為，工廠規(guī)定，售出的產品若在一年內損壞可以調換。若工廠售出1個產品，能獲利120元；調換1個產品，工廠要花費350元，試求工廠出售1個產
40、品的平均獲利。15、一商店經銷某種商品，每周進貨的數量與商品的需求量相互獨立，且均服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過進貨量，商店可從其他商店調劑供應，這時每單位商品可得利潤500元，試計算此商店經營該各商品每周平均獲利。16、在一家保險公司有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，一年內一個人死亡的概率為0.006,其家屬可獲得1000元賠償費，求（1）保險公司沒有利潤的概率；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率。三、證明題1、設在單位圓內服從均勻分布，試證與Y不相關，但不相互獨立。2、設，則與不相關，但不相互獨立3、設與Y都是01分布，試證與
41、Y不相關的充分必要條件是與Y獨立。4、證明：取值于區(qū)間上的隨機變量，必有5、設是兩事件， 證明與Y獨立的充分必要條件是獨立。數理統(tǒng)計一、填空題1、設為總體X的一個樣本，如果 ， 則稱為統(tǒng)計量。2、設總體已知，則在求均值的區(qū)間估計時，使用的隨機變量為 3、設總體X服從方差為1的正態(tài)分布，根據來自總體的容量為100的樣本，測得樣本均值為5，則X的數學期望的置信水平為95%的置信區(qū)間為 。4、假設檢驗的統(tǒng)計思想是 。小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生5、某產品以往廢品率不高于5%，今抽取一個樣本檢驗這批產品廢品率是否高于5%， 此問題的原假設為 。6、某地區(qū)的年降雨量，現對其年降雨量連續(xù)進行5次觀察，得
42、數據為： (單位：mm) 587 672 701 640 650 ，則的矩估計值為 。7、設兩個相互獨立的樣本與分別取自正態(tài)總體與，分別是兩個樣本的方差，令，已知，則。8、假設隨機變量，則服從分布。9、假設隨機變量已知，則。10、設樣本來自標準正態(tài)分布總體，為樣本均值，而，則11、假設樣本來自正態(tài)總體，令，則的分布12、設樣本來自標準正態(tài)分布總體，與分別是樣本均值和樣本方差，令，若已知，則。13、如果都是總體未知參數的估計量，稱比有效，則滿足。14、假設樣本來自正態(tài)總體，是的一個無偏估計量，則。15、假設樣本來自正態(tài)總體，測得樣本均值，則的置信度是的置信區(qū)間為。16、假設樣本來自正態(tài)總體，與未
43、知，測得樣本均值，樣本方差，則的置信度是的置信區(qū)間為。17、假設樣本來自正態(tài)總體，與未知，則原假設：的檢驗選用的統(tǒng)計量為。二、選擇題1、下列結論不正確的是 ( ) 設隨機變量都服從標準正態(tài)分布，且相互獨立，則 獨立， 來自總體的樣本，是樣本均值，則 與均來自總體的樣本，并且相互獨立，分別為樣本均值，則2、設是參數的兩個估計量，正面正確的是 ( ) ，則稱為比有效的估計量 ，則稱為比有效的估計量 是參數的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量 是參數的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量3、設是參數的估計量，且，則有（） 不是的無偏估計 是的無偏估計 不一定是的無偏估計 不是的估計量4、下面不正確
44、的是（） 5、總體均值的區(qū)間估計中，正確的是（） 置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變長； 置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變短； 置信度增大，則置信區(qū)間長度變短； 置信度減少，則置信區(qū)間長度變短。6、對于給定的正數，設是標準正態(tài)分布的上側分位數，則有（） 7、某工廠所生產的某種細紗支數服從正態(tài)分布為已知，現從某日生產的一批產品中隨機抽取16縷進行支數測量，求得樣本均值和樣本方差，要檢驗細紗支數的均勻度是否變劣，則應提出假設（） ： ： ： ：8、設樣本抽自總體，來自總體，則的分布為 9、設為來自的樣本觀察值，未知，則的極大似然估計值為（） 10、樣本來自總體，則下列結論正確
45、的是（） 11、假設隨機變量是來自的樣本，為樣本均值。已知，則下列成立的是（）12、設樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結論不成立的是（）與相互獨立與相互獨立與相互獨立與相互獨立13、樣本取自正態(tài)總體，已知，未知。則下列隨機變量中不能作為統(tǒng)計量的是（）14、設樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結論成立的是（）15、設樣本來自總體，則下列估計量中不是總體均值的無偏估計量的是（）。16、假設樣本來自正態(tài)總體?？傮w數學期望已知，則下列估計量中是總體方差的無偏估計是（）17、假設總體的數學期望的置信度是，置信區(qū)間上下限分別為樣本函數與，則該區(qū)間的意義是（）18、假設
46、總體服從區(qū)間上的均勻分布，樣本來自總體。則未知參數的極大似然估計量為（）不存在19、在假設檢驗中，記為原假設，則犯第一類錯誤的概率是（）成立而接受成立而拒絕不成立而接受不成立而拒絕20、假設樣本來自正態(tài)總體，為樣本均值，記則服從自由度為的分布的隨機變量是（）三、計算題1、設總體，抽取容量為5的樣本，求（1） 樣本均值大于13的概率；（2） 樣本的最小值小于10的概率；（3） 樣本最大值大于15的概率。2、假設總體，是來自的一個樣本，是樣本均值，求。3、總體，是來自的樣本，是樣本均值，若，試確定的值。4、設來自正態(tài)總體，是樣本均值，滿足，試確定樣本容量的大小。5、假設總體服從正態(tài)總體，樣本來自總
47、體,計算6、假設新生兒體重，現測得10名新生兒的體重，得數據如下：3100348025203700252032002800380030203260（1）求參數和的矩估計；（2）求參數的一個無偏估計。7、設隨機變量的概率密度函數為，設來自總體的一個樣本，求的矩估計和極大似然估計。8、在測量反應時間中，一位心理學家估計的標準差是秒，為了以的置信度使平均反應時間的估計誤差不超過秒，那么測量的樣本容量最小應取多少9、設隨機變量，是來自的10個觀察值，要在的水平下檢驗：，：取拒絕域（1）（2）若已知是否可以據此推斷成立？（3）如果以檢驗：的拒絕域，試求該檢驗的檢驗水平。10、假設按某種工藝生產的金屬纖維
48、的長度（單位mm）服從正態(tài)分布，現在隨機抽出15根纖維，測得它們的平均長度，如果估計方差沒有變化，可否認為現在生產的金屬纖維的長度仍為11、某地九月份氣溫，觀察九天，得，求（1）此地九月份平均氣溫的置信區(qū)間；（置信度95%）（2）能否據此樣本認為該地區(qū)九月份平均氣溫為（檢驗水平（3）從（1）與（2）可以得到什么結論？12、正常成年人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者10人，測得脈搏為54686577706469726271，假設人的脈搏次數，試就檢驗水平下檢驗患者脈搏與正常成年人的脈搏有無顯著差異？13、設隨機變量均未知，與相互獨立?，F有5個的觀察值，樣本均值，樣本方差為，有4個的觀察值
49、，樣本均值，樣本方差為，（1）檢驗與的方差是否相等？（3） 在（1）的基礎上檢驗與的均值是否相等。（）14、假設某廠生產的纜繩，其抗拉強度X服從正態(tài)分布，現在從改進工藝后生產的纜繩中隨機抽取10根，測量其抗拉強度，樣本方差。當顯著水平為時，能否據此認為新工藝生產的纜繩的抗拉強度的穩(wěn)定性是否有變化？15、某種導線的電阻，現從新生產的一批導線中抽取9根，得。（1）對于，能否據此認為新生產的一批導線的穩(wěn)定性無變化？（2）求總體方差的95%的置信區(qū)間16、某廠用自動包裝機包裝糖，每包糖的重量，某日開工后，測得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1
50、100.5 99.5 (單位：千克)試求總體均值的置信區(qū)間，給定置信水平為。17、設有甲、乙兩種安眠藥，現在比較它們的治療效果，表示失眠患者服用甲藥后睡眠時間的延長時數，表示失眠患者服用乙藥后睡眠時間的延長時數，隨機地選取20人，10人服用甲藥，10人服用乙藥，經計算得，設；求的置信度為95%的置信區(qū)間。18、研究由機器A和B生產的鋼管的內徑，隨機地抽取機器A生產的管子18根，測得樣本方差，抽取機器B生產的管子13根，測得樣本方差，設兩樣本獨立，且由機器A和B生產的鋼管的內徑服從正態(tài)分布，試求總體方差比的置信度為90%的置信區(qū)間。19、設某種材料的強度，未知，現從中抽取20件進行強度測試，以k
51、g/cm為強度單位，由20件樣本得樣本方差，求和的置信度為90%的置信區(qū)間。20、設自一大批產品中隨機抽取100個樣品，得一級品50個，求這批產品的一級中率的置信度為95%的置信區(qū)間。21、一家廣告公司想估計某類商店去年所花的平均廣告費有多少。經驗表明，總體方差約為1800000，如果置信度為95%，并要使估計值處在總體均值附近500元的范圍內，這家廣告公司應取多大的樣本？22、設電視機的首次故障時間服從指數分布，試導出的極大似然估計量和矩估計。23、為了比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結算賬目的平均時間長度，分別給兩位銀行職員隨機地安排了10個顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位
52、：分鐘）相應的樣本均值和方差為：。假設每位職員為顧客辦理賬單所需的時間服從正態(tài)分布，且方差相等，求總體平均值差的置信度為95%的區(qū)間估計。24、某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進行了比較，他們從兩個城市中分別隨機地調查了1000個成年人，其中看過該廣告的比例分別為0.18和0.14，試求兩個城市成年人中看過該廣告的比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間。25、電視機顯像管批量生產的質量標準為平均壽命1200小時，標準差為300小時。某電視機廠宣稱其生產的顯像管質量大大超過規(guī)定標準。為了進行驗證，隨機抽取100件為樣本，測得其平均壽命為1245小時。能否據此認為該廠的顯像管質量大大高于規(guī)定標準？26、某機器制造出的肥皂厚度為，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊為樣本，測得其平均厚度為，標準差為，試分別以0.05和0.01的顯著水平檢驗機器性能是否良好？（假設肥皂厚度服從正態(tài)分布）27、有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產品。根據以往的資料得知，第一種方法生產的產品的抗拉強度的標準差為8kg，第二種方法生產的產品的抗拉強度的標準差為10kg。從兩種方法生產的產品各抽取一個樣本，樣本容量分別為32和40，測得。問這兩種方法生產的產品的平均抗拉強度是否有顯著差別28、一個車間研究用兩種不同的工藝組裝產品所用的
《概率論與數理統(tǒng)計》習題及答案.doc
