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1、不等式的性質(zhì)與不等式的證明一. 教學(xué)內(nèi)容： 不等式的性質(zhì)與不等式的證明二. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 理解不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用。 2. 掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用。 3. 掌握比較法、分析法、綜合法證明簡(jiǎn)單不等式。三. 知識(shí)串講：（一）不等式的意義和性質(zhì) 1. 不等式的意義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b 不等式的意義是不等式的基礎(chǔ)，是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小及作差法證明不等式的（基礎(chǔ)）依據(jù)。 2. 不等式的性質(zhì) （二）不等式的證明 證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、放縮法及利用函數(shù)單調(diào)性等方法。而比較法、綜合法和分析法是證明不等式的最基本方法，也是
2、高考命題的重要思想方法。 1. 比較法 比較法是證明不等式的一種最重要、最基本的方法，可分為作差法和作商法。 結(jié)論”。其中變形是作差法的關(guān)鍵，常用的變形手段是因式分解或配方。差式若為分式，一般要先通分，再將分子、分母因式分解。 變形與1比較大小結(jié)論”，多用在證明冪、指數(shù)形式的不等式的時(shí)候。 當(dāng)“差”或“商”式中含有參數(shù)或符號(hào)不能一概而論時(shí)，要進(jìn)行討論。 2. 綜合法 由題設(shè)條件以及已知的定義、公理、定理不斷推導(dǎo)出所證命題成立的必要條件（由因?qū)Ч┲敝镣茖?dǎo)出命題的結(jié)論，這種證明方法叫綜合法。 在證明過(guò)程中，常用的結(jié)論： 平均值不等式： 它們的變形也要熟知： 在使用平均值不等式時(shí)，一定要注意它們的
3、成立條件。 3. 分析法 從待證的不等式出發(fā)，尋求該不等式成立的充分條件的方法叫分析法。即為“執(zhí)果索因”。 在證明不等式時(shí)，經(jīng)常用分析法探求證明思路，再用綜合法表述證明過(guò)程，有些不等式的證明需要一邊分析，一邊綜合，在使用分析法證明時(shí)，要注意分析過(guò)程的步步可逆及書(shū)寫(xiě)格式。【典型例題】 例1. 解法1：取差法 解法2：比商法 例2. 解析： 選B 例3. A、B、C、D的大小。 解： 將、進(jìn)行比較： 、比較： 本題也可以用圖象法來(lái)解： 圖象。 例4. 證明： 例5. 分析： 證明： 左端右端 原不等式成立 例6. 分析：本題若采用比較法和綜合法難度大，故采用分析法探求證法。 證明： 例7. 在兩個(gè)
4、正數(shù)x，y之間插入一個(gè)正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若另外插入兩個(gè)正數(shù)b，c使x，b，c，y成等差數(shù)列。 證明： 例8. （1）解： （2）解： 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1）題，如下解法是否正確？ 此種解法是錯(cuò)誤的。因?yàn)樵诙芜\(yùn)用平均值不等式中，取“”的條件是矛盾的，因此“”不成立。 對(duì)于（2）題，基本思路是借助條件式，化二元函數(shù)為一元函數(shù)再去運(yùn)算。 例9. 證明：充分性： 必要性： 綜上可知，所證結(jié)論成立。 例10. 解： 【模擬試題】一. 選擇題。 1. 下列命題中： 其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 2. 若，則下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D.
5、3. 已知，則（ ） A. B. C. D. 4. 設(shè)恒成立的a的最小值是（ ） A. B. C. 2D. 二. 填空題。 5. 若由小到大的排列順序是_。 6. 若，則P、Q關(guān)系為P_Q（填“”，“”，“”）。 7. 若，則的最大值是_。 8. 已知，那么（填“”或“”）。 9. 已知，且，則的最小值是_。 10. 函數(shù)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是_。三. 解答題。 11已知，求證： 12. 已知，且，求證： （1） （2） 13. 求證： 14. 設(shè)，且。 求證：【試題答案】一. 選擇題。 1. B2. C3. D4. B二. 填空題。 5. 6. 7. 1 8. 9. 16 10. （0，2）三. 解答題。 11. 略 12. （1）原式左邊 （每個(gè)因式中利用平均值定理） （2）取差法。注意到。 13. 一邊用均值定理，另一邊用分析法。 14. 由知：a、b是方程的兩個(gè)根 設(shè) 解得：
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