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1、1,數(shù)列的概念,收斂數(shù)列的性質(zhì),小結(jié) 思考題 作業(yè),數(shù)列極限的概念,概念的引入,第二節(jié) 數(shù)列的極限,第一章 函數(shù)與極限,2,一、概念的引入,極限概念是從常量到變量,從有限到無限,即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.,極限的思想源遠(yuǎn)流長.,莊子(約公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.,意思是:,一尺長的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,這樣永遠(yuǎn)也取不完.,中寫道:,3,劉徽(三世紀(jì))的“割圓術(shù)”中說:,意思是:,設(shè)給定半徑為1尺的圓,從圓內(nèi)接正6邊,形開始,每次把邊數(shù)加倍,屢次用勾股定理.,求出,正12邊形、,等等正多邊形的邊長
2、,正24邊形.,邊數(shù)越多,圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,最后與,圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤,差了.,“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”,4,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,5,如,定義,按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù),簡記為,通項(general,term),或者一般項.,二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念,6,可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,數(shù)列的(兩種)幾何表示法:,數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù):,整標(biāo)函數(shù)或下標(biāo)函數(shù),(1)數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.,7,(2) 在平面上畫出自變量坐標(biāo)軸和因變量坐標(biāo)軸,
3、不可將這串點(diǎn)連成曲線.,則數(shù)列的幾何意義是,平面上一串分離的點(diǎn).,8,三、數(shù)列極限的概念,即,問題,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?,如果是,當(dāng)n無限增大時,無限接近于1.,如何確定?,9,如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.,可以要多么小就多么小,則要看,?,“無限接近”,意味著什么?,只要n充分大,小到什么要求.,當(dāng)n無限增大時,無限接近于1.,10,11,定義,如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于 時的一切,不等式,成立.,收斂于a (converge to a) .,或稱數(shù)列,記為,或,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列發(fā)散(diverge).,12,xn有沒有
4、極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;,主要看“后面”的無窮多項.,(1),(2),(3),(4),“前面” 的有限項不起作用,13,數(shù)列極限的幾何意義,數(shù)列極限的定義通常是用來進(jìn)行推理,需要預(yù)先知道極限值是多少.,和證明極限,而不是用來求極限,因為這里,即,14,例,所以,證,15,例,證明數(shù)列 以 0為極限.,證,要使,由于,有,16,例,證,所以,說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,17,例,證,為了使,只需使,18,1. 有界性,如,有界;,無界.,定義,若存在正數(shù)M,數(shù)n,恒有,稱為無界.,則稱數(shù)列 有界;,數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn) 都落在,閉區(qū)間 上.,否則,使得一切自然,
5、四、收斂數(shù)列的性質(zhì),19,定理1,證,由定義,有界性是數(shù)列收斂的必要條件,推論,收斂的數(shù)列必定有界.,無界數(shù)列必定發(fā)散.,不是充分條件.,20,2. 唯一性,定理2,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,才能成立.,使得,21,例,證,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,反證法,假設(shè)數(shù)列,收斂，,則有唯一極限a 存在.,但卻發(fā)散.,22,3. 保號性,定理3,如果,且,證,由定義,對,有,從而,推論,如果數(shù)列,從某項起有,且,那么,用反證法,23,在數(shù)列 中依次任意抽出無窮多項:,所構(gòu)成的新數(shù)列,這里 是原數(shù)列中的第 項,在子數(shù)列中是,第k項,4. 收斂
6、數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系,子數(shù)列.,叫做數(shù)列,?,24,*,證,是數(shù)列,的任一子數(shù)列.,若,則,成立.,現(xiàn)取正整數(shù) K,使,于是當(dāng),時, 有,從而有,由此證明,*,定理4,設(shè)數(shù)列,正整數(shù) K,收斂數(shù)列的任一子數(shù)列,收斂于同一極限.,25,由此定理可知,但若已知一個子數(shù)列發(fā)散,或有兩個子數(shù)列,斂于a .,收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.,一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;,還可以證明:,數(shù)列,的奇子數(shù)列,和偶子數(shù)列,均收斂于同一常數(shù)a 時,則數(shù)列,也收,僅從某一個子數(shù)列的收斂,(證明留給做作業(yè)),26,例,試證數(shù)列 不收斂.,證,因為 的奇子數(shù)列,不收斂.,收斂于,而偶子數(shù)列,所以數(shù)列,收斂于,27,數(shù)列,數(shù)列極限,收斂數(shù)列的性質(zhì),收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.,五、小結(jié),研究其變化規(guī)律;,極限思想, 精確定義, 幾何意義;,有界性, 唯一性,保號性,28,思考題,“,”,恒有,是數(shù)列,收斂于a的( ).,A. 充分但非必要條件,B. 必要但非充分條件,C. 充分必要條件,D. 既非充分也非必要條件,(1),C,(2),D. 不確定,29,作業(yè),習(xí)題1-2 (30頁),2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6.,
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