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Parrondo悖論表明（1）（2），交替進行的2個輸?shù)牟┺挠螒驎罱K導致贏。但這個令人驚奇的結(jié)果只是用來解答簡單的博弈架構(gòu)。而對于棘齒勢（3），特別是脈沖式棘齒勢（4）（5）能夠維持一個粒子在兩個外在勢能下交替運動，且其中任何一個都無法產(chǎn)生純粹的運動。盡管這種現(xiàn)象和Parrondo悖論有性質(zhì)上的矛盾，但二者之間的關(guān)系一直很“融洽”（事實上，這促成了我們對于博弈游戲的啟發(fā)），而最近在致力于推導出兩者之間的關(guān)系（6）（7）。
在這里，我們重新列出了主方程，利用脈沖棘齒勢中Fokker–Planck方程來清晰地描述它們的關(guān)系。這樣，我們就能夠按照博弈游戲中的概率定義給出動力學表達式以及電學表達式，同樣，給出棘齒勢，我們就能對應博弈游戲來構(gòu)建出它的勢能。
Parrondo悖論中，參與者投擲不同的硬幣出現(xiàn)正（反）面則贏（輸）得一單位的資金，盡管提出了許多可能性(8)(9)(10)（11）（12）（13）（14），這里我們只考慮最原始的那種贏的可能性。定義為資金的實際價值，i為系數(shù)，來給出完全指定的集合或概率。則對于任意Pk都是一個公平的博弈，輸贏都相等，有:
。
這個悖論表明了交替進行（隨機或者周期）兩個公平的博弈游戲可以產(chǎn)生贏的結(jié)果。舉例來說，定義交替的博弈游戲A為定義游戲B為且p0=1/10,p1=p2=3/4,這樣產(chǎn)生了贏的結(jié)果，盡管游戲A和游戲B都是公平的游戲。
定義一個離散次數(shù)τ，則每投擲一次硬幣τ增加1。如果我們定義Pi為次數(shù)τ下i所對應的資產(chǎn)的概率，能夠得到下列方程：
（1）
這里指當資產(chǎn)為時贏的概率，指當資產(chǎn)為時輸?shù)母怕剩⑶覟榱送暾?，我們已?jīng)介紹了為資產(chǎn)i不變時的概率（一個基本沒有考慮Parrondo悖論的博弈游戲）。這里注意，之前按照規(guī)則的描述，我們已經(jīng)設(shè)定了概率{，，}并不取決于次數(shù)，很明顯這滿足：++=1 。 （2）
確保這個概率為：
。
這樣可以連續(xù)寫出主方程：
， （3）
當前給出
=， （4）
且： ， （5）
這是與Fokker–Plank離散方程(15)中一個電流的概率P(x, t)一致的形式
（6）
以及電流
（7）
這里有一般的趨勢，及其映射。如果和分別是時間和空間的離散變量，那么有，,可以清晰的得到
， . （8）
這里離散和連續(xù)的概率與有關(guān)，并且考慮到連續(xù)極限有極值，在這種情況下且。
現(xiàn)在，我們考慮了的情況，因于是有：
， （9）
并且電流只不過是到1的概率變化。
因恒定電流，我們發(fā)現(xiàn)從（4）導出的固定的能夠解決邊界情況下的循環(huán)關(guān)系：
（10）
則電流
（11）
是從得到的歸一化常數(shù)，這些表達式中我們介紹了勢能按照博弈游戲形式的概率
(12)
零電流的情況下,暗示了周期的勢能。這種情況再次出現(xiàn)在這樣公平的博弈中，那么得出指數(shù)函數(shù)注意方程（12）分為極限到或,即為推力和移動系數(shù)之間的一個通常的關(guān)系。
按照勢能，獲取博弈概率的逆運算需要解出方程（12）在（17）這種極限情況：
(13)
通過已給的概率集合，利用（12）這些結(jié)果可以得到隨機概率（和電流），利用（12）；以及逆運算：獲得了隨機的勢能下博弈游戲的概率，利用（13）。注意交替進行的博弈結(jié)果，γ表示時游戲A的概率，以及
圖1：左邊：因公平的博弈B，從12中可以定義在時的勢能。右邊：在時博弈B的勢能，結(jié)果來自于隨機變化的博弈B和一個博弈A在概率的情況，。
通過，定義一個博弈B的集合對應了一個概率集合，又因變量，得到這種關(guān)系：
（14）
并且相關(guān)概率服從（12）。
我們給出了兩個應用了上述形式的例子，在第一個中我們計算了公平的博弈和贏的博弈的隨機概率，概率時博弈B和博弈A的隨機結(jié)合是不變的概率，而悖論（1）最基本的解釋中，產(chǎn)生了圖1的結(jié)果，這里注意組合博弈的勢能是如何顯示區(qū)域中那種大幅增加的不對稱性。
圖2：左邊：在時的棘齒勢。那些零星的離散值適用于博弈B的定義。右邊：從概率的博弈A和博弈B得到了組合博弈的勢能離散值,其中的線是在條件下的預估。
第2個應用即為輸入勢能
（15）已被廣泛應用于棘齒原型。設(shè)，，將時的概率離散化，利用（13）我們可以得到一個概率集合。因勢能是周期性的，則博弈的B的結(jié)果取決于這些概率是公平的且當前為零。博弈A也同樣取決于，。我們繪制了圖2博弈和博弈的勢能，時博弈A和博弈B的隨機組合，再次注意，與贏的博弈B一樣，已經(jīng)傾斜了。如圖3所示電流基于交替進行的博弈A和B。
圖3：方程（11）得出的電流，作為交替進行的博弈A和B的概率函數(shù)。博弈B被定義為在時離散化的棘齒勢，對應最大值
綜上所述，我們已經(jīng)利用Fokker–Planck方程寫出了主方程來描述過阻尼狀態(tài)的布朗粒子所體現(xiàn)的離散一致性。這樣我們能夠把博弈概率與動力學勢能關(guān)聯(lián)起來，我們的方法產(chǎn)生了一個公平博弈對應的周期性勢能和贏的游戲?qū)膬A斜的勢能。生成的表達式在極限時用來獲取脈沖棘齒勢的有效勢能以及由此產(chǎn)生的電流。