高等數(shù)學(xué)備課資料：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 02 第二節(jié) 洛必達(dá)法則

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1、第二節(jié) 洛必達(dá)法則在第一章中，我們?cè)?jì)算過兩個(gè)無(wú)窮小之比以及兩個(gè)無(wú)窮大之比的未定式的極限. 在那里，計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算. 這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，屬于特定的方法. 本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則. 本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.分布圖示洛必達(dá)法則 例1-2 例3 例4 例5 例6-7綜合應(yīng)用 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 例18 例19 例20 例21 例22 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-2 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、

2、未定式的基本類型：型與型； 二、未定式的其它類型：型，型，型 (1) 對(duì)于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來計(jì)算. (2) 對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來計(jì)算. (3) 對(duì)于型，可先化以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的未定式來計(jì)算.例題選講 型例1 (E01) 求 解 原式例2 (E02) 求 解 原式注: 上式中, 已不是未定式,不能再對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則.例3 (E03) 求解 例4 (E04) 求 .解 注: 若求為自然數(shù)）則可利用上面求出的函數(shù)極限,得 例5 (E05) 求解 例6 (E06) 求 .解

3、原式例7 (E07) 求 (n為正整數(shù), ).解 反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得原式注：對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大，但它們?cè)龃蟮乃俣群懿灰粯樱湓龃笏俣缺容^: 對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù).例8 求解 注意到則有注: 洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用, 效果則更好. 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷.例9 (E08) 求解 當(dāng)時(shí), 故例10 (E09) 求 .解 所求極限屬于的未定式.但分子分母分別求導(dǎo)數(shù)后，將化為此式振蕩無(wú)極限,故洛必達(dá)法則失效，不能使用.但原極限是存在的,可用下法求

4、得:例11 (E10) 求 (型) 解 對(duì)于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來計(jì)算.例12 (E11) 求 . (型) 解 對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來計(jì)算.例13 求 解 例14求解 原式直接用洛必達(dá)法則, 計(jì)算量較大. 為此作變量替換,令則當(dāng)時(shí), 所以型步驟例15 (E12) 求.解 這是型未定式，將它變形為，由于故 .例16 求 解 例17 (E13) 求 . ()解 將它變形為由于故例18 求解 例19 求解 由于 所以例20 求解一 利用洛必達(dá)法則.解二 利用兩個(gè)重要極限.例21 (E14) 求 . (型)解 例22 求解 因?yàn)?所以課堂練習(xí)1. 設(shè)有一階導(dǎo)數(shù), 求

5、 2. 設(shè)是未定式極限, 如果的極限不存在且不為, 是否的極限也一定不存在? 舉例說明.洛必達(dá)（L Hospital，16611704）簡(jiǎn)介：洛必達(dá)(LHospital)是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。洛必達(dá)生于法國(guó)貴族家庭，他擁有圣梅特候爵，昂特爾芒伯爵稱號(hào)。青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究。洛必達(dá)很早即顯示出其數(shù)學(xué)的才華，15歲時(shí)就解決了帕斯卡所進(jìn)出的一個(gè)擺線難題。洛必達(dá)是萊布尼茲微積分的忠實(shí)信徒，并且是約翰.伯努利的高足，成功地解答過約。伯努利提出的“最速降線”問題。他是法國(guó)科學(xué)院院士。洛必達(dá)的最大功績(jī)是撰寫了世界上第一本系統(tǒng)的微

6、積分教程-用于理解曲線的無(wú)窮小分析。這部著作出版于1696年，后來多次修訂再版，為在歐洲大陸，特別是在法國(guó)普及微積分起了重要作用。這本書追隨歐幾里得和阿基米德古典范例，以定義和公理為出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)得益于他的老師約翰.伯努利的著作，其經(jīng)過是這樣的：約翰.伯努利在1691-1692年間寫了兩篇關(guān)于微積分的短論，但未發(fā)表。不久以后，他答應(yīng)為年輕的洛必達(dá)講授微積分，定期領(lǐng)取薪金。作為答謝。他把自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傳授給洛必達(dá)，并允許他隨時(shí)利用。于是洛必達(dá)根據(jù)約翰.伯努利的傳授和未發(fā)表的論著以及自己的學(xué)習(xí)心得，撰寫了該書。洛必達(dá)曾計(jì)劃出版一本關(guān)于積分學(xué)的書，但在得悉萊布尼茲也打算撰寫這樣一本書時(shí)，就放棄了自己的計(jì)劃。他還寫過一本關(guān)于圓錐曲線的書圓錐曲線分析論。此書在他逝世之后16年才出版。洛必達(dá)豁達(dá)大度，氣宇不凡。由于他與當(dāng)時(shí)歐洲各國(guó)主要數(shù)學(xué)家都有交往。從而成為全歐洲傳播微積分的著名人物。