高等數(shù)學備課資料：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 01 第一節(jié) 中值定理

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1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道,導(dǎo)致微分學產(chǎn)生的第三類問題是“求最大值和最小值”. 此類問題在當時的生產(chǎn)實踐中具有深刻的應(yīng)用背景,例如,求炮彈從炮管里射出后運行的水平距離(即射程),其依賴于炮筒對地面的傾斜角(即發(fā)射角). 又如,在天文學中,求行星離開太陽的最遠和最近距離等. 一直以來,導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率,在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義,因而在自然科學、工程技術(shù)以及社會科學等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在第二章中,我們介紹了微分學的兩個基本概念導(dǎo)數(shù)與微分及其計算方法. 本章以微分學基本定理微分中值定理為基礎(chǔ),進一步介紹利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài),例如判斷函數(shù)的單調(diào)

2、性和凹凸性,求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法,最后還討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用.第一節(jié) 中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,因而稱為中值定理. 中值定理既是用微分學知識解決應(yīng)用問題的理論基礎(chǔ),又是解決微分學自身發(fā)展的一種理論性模型, 因而稱為微分中值定理.分布圖示 費馬引理 羅爾定理 例1 例2 例3 例4 例5 例6 拉格朗日中值定理 例7 例8 例9 例10 柯西中值定理 例11 例12 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習 習題3-1 返回內(nèi)容要點一、羅爾定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點的函數(shù)值相等, 即 結(jié)

3、論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點使得 注：羅爾定理的三個條件是十分重要的,如果有一個不滿足,定理的結(jié)論就可能不成立. 分別舉例說明之. 羅爾定理中這個條件是相當特殊的,它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制. 拉格朗日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進一步的研究,取消了羅爾定理中這個條件的限制,但仍保留了其余兩個條件,得到了在微分學中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo). 結(jié)論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點 使得拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在上整體平均變化率與在內(nèi)某點處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系. 若從力學角度看,公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點

4、處的瞬時速度. 因此,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.拉格朗日終值定理可改寫為 稱為有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學中占有重要地位,有時也稱這個定理為微分中值定理. 在某些問題中,當自變量取得有限增量而需要函數(shù)增量的準確表達式時,拉格朗日中值定理就突顯出其重要價值.推論1 如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那末在區(qū)間I上是一個常數(shù). 三、柯西中值定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；在(a, b)內(nèi)每一點處, . 結(jié)論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點 使得顯然, 若取則因而柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又稱為廣義中值定理

5、.例題選講羅爾定理的應(yīng)用例1 對函數(shù)在區(qū)間上驗證羅爾定理的正確性.解 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且而在內(nèi)確存在一點使例2 (E01) 不求導(dǎo)數(shù), 判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個零點及這些零點所在的范圍.解 因為所以在閉區(qū)間、上滿足羅爾定理的三個條件，從而，在內(nèi)至少存在一點使即是的一個零點；又在內(nèi)至少存在一點使即是的一個零點；又因為為二次多項式，最多只能有兩個零點，故恰好有兩個零點，分別在區(qū)間和內(nèi).例3 (E02) 證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證 設(shè)則在上連續(xù)，且由介值定理, 存在使即為方程的小于1的正實根.設(shè)另有使因為在之間滿足羅爾定理的條件,所以至少存在一點(在之間)，使得但導(dǎo)致矛盾，故為唯一實

6、根.例4 設(shè)為滿足的實數(shù)，試證明方程在內(nèi)至少存在一個實根.證 作輔助函數(shù)顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理知,至少存在一點使即 從而題設(shè)方程在內(nèi)至少有一個實根.拉格朗日中值定理的應(yīng)用例5 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 且證明: 存在,使成立.證 從結(jié)論倒退分析知, 可引進輔助函數(shù)由于 易知在上滿足羅爾定理條件,且因此, 在內(nèi)至少存在一點使即 因 所以例6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且若存在常數(shù)使得試證至少存在一點,使得證 因故和同號,不妨設(shè)又因為所以(幾何演示)在和連續(xù), 由于和異號, 和異號,所以,至少存在一點使至少存在一點使在區(qū)間上,顯然滿足羅爾定理的三個條件, 即在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 所以至

7、少存在一點使例7驗證函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理,并由結(jié)論求值.解在上連續(xù), 在可導(dǎo),故滿足拉格朗日中值定理的條件.則 即 故 例8(E03) 證明證 設(shè)又即 例9(E04) 證明當時,證 設(shè)則在上滿足拉格朗日定理的條件. 故 從而 又由即 例10 設(shè)是在上可導(dǎo)的函數(shù),且單調(diào)減少,試證:對于恒有證 當時,有故不等式成立.當時,在上應(yīng)用拉氏定理知, 使在上應(yīng)用拉氏定理知使單調(diào)減少, 所以 證畢.柯西中值定理的應(yīng)用例11 驗證柯西中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性.解 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且 于是滿足柯西中值定理的條件. 由于 令得 取 則等式成立. 這就驗證了柯西中值定理對所給函數(shù)在所

8、給區(qū)間上的正確性.例12 (E05)設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo).試證明至少存在一點使分析結(jié)論可變形為證 作輔助函數(shù)則在上滿足柯西中值定理的條件, 故在內(nèi)至少存在一點使即 課堂練習1. 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.2. 若是上的整治可微分函數(shù), 則有點使 羅爾（Rolle，16521719）簡介：羅爾是法國數(shù)學家。1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過初等教育，且結(jié)婚過早，年輕時貧困潦倒，靠充當公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時間刻苦自學代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學家奧扎南提出一個數(shù)論難

9、題，受到了學術(shù)界的好評，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機，此后擔任初等數(shù)學教師和陸軍部行征官員。1685年進入法國科學院，擔任低級職務(wù)，到1690年才獲得科學院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學院供職，1719年因中風去世。羅爾在數(shù)學上的成就主要是在代數(shù)方面，專長于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時代正當牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由于這一新生事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對派中最直言不諱的一員。1700年，在法國科學院發(fā)生了一場有關(guān)無窮小方法是否真實的論戰(zhàn)。在這場論戰(zhàn)中，羅爾認為無窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說：“微積分是巧妙的謬論的匯集”

10、。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開了異常激烈的爭論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對此問題表現(xiàn)得異常激動，致使科學院不得不屢次出面干預(yù)。直到1706年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認他已經(jīng)放棄了自己的觀點，并且充分認識到無窮小分析新方法價值。羅爾于1691年在題為任意次方程的一個解法的證明的論文中指出了：在多項式方程的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）簡介：據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富裕，可能不會作數(shù)學研究

11、，但到青年時代，在數(shù)學家F.A.雷維里（R-evelli）指導(dǎo)下學幾何學后，萌發(fā)了他的數(shù)學天才。17歲開始專攻當時迅速發(fā)展的數(shù)學分析。他的學術(shù)生涯可分為三個時期：都靈時期（1766年以前）、柏林時期（17661786）、巴黎時期（17871813）。拉格朗日在數(shù)學、力學和天文學三個學科中都有重大歷史性的貢獻，但他主要是數(shù)學家，研究力學和天文學的目的是表明數(shù)學分析的威力。全部著作、論文、學術(shù)報告記錄、學術(shù)通訊超過500篇。拉格朗日的學術(shù)生涯主要在18世紀后半期。當時數(shù)學、物理學和天文學是自然科學主體。數(shù)學的主流是由微積分發(fā)展起來的數(shù)學分析，以歐洲大陸為中心；物理學了主流是力學；天文學的主流是天體

12、力學。數(shù)學分析的發(fā)展使力學和天體力學深化，而力學和天體力學的課題又成為數(shù)學分析發(fā)展的動力。當時的自然科學代表人物都在此三個學科做出了歷史性重大貢獻。下面就拉格朗日的主要貢獻介紹如下：數(shù)學分析的開拓者1變分法 這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”是他研究變分法的序幕；1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”是用分析方法建立變分法制代表作。發(fā)表前寫信給歐拉，稱此文中的方法為“變分方法”。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”。變分法這個分支才真正建立起來。2微分方程

13、早在都靈時期，拉格朗日就對變系數(shù)微分方程研究做工出了重大成果。他在降階過程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。在柏林期，他對常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線。當然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由G.達布等人完成的。除此之外，他還是一階偏微分方程理論的建立者。3方程論拉格朗日在柏林的前十年，大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上。他把前人解三、四次代數(shù)方

14、程的各種解法，總結(jié)為一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。拉格朗日的想法已蘊含了置換群的概念，他的思想為后來的N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦采用并發(fā)展,終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題.此外,他還提出了一種格朗日極數(shù).4.數(shù)論著 拉格朗日在1772年把歐拉40多年沒有解決的費馬另一猜想“一個正整數(shù)能表示為最多四個平方數(shù)的和”證明出來。后來還證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為（n-1）!+1能被n整除。5函數(shù)和無窮級數(shù) 同18世紀的其他數(shù)學家一樣，拉格朗日也認為函數(shù)可以展開為無窮級數(shù)，而無窮級數(shù)同是多項式的推廣。泰勒級數(shù)中的拉格朗日余項就是他在

15、這方面的代表作之一。分析力學的創(chuàng)立者拉格朗日在這方面的最大貢獻是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進行推理，成為拉格朗日方法。天體力學的奠基者首先在建立天體運動方程上，他用他在分析力學中的原理，建議起各類天體的運動方程。其中特別是根據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變量的運動方程，現(xiàn)在仍稱作拉格朗日行星運動方程，并在廣泛作用。在天體運動方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻是發(fā)現(xiàn)三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。總之，拉格朗日是18世紀的偉大科學家，在數(shù)學、力學和天文學三個學科中都有歷史性的重大貢獻。但主要是數(shù)學家，他最突出的貢獻是在把數(shù)

16、學分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學方面起了決定性的作用。使數(shù)學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具。同時在使天文學力學化、力學分析上也起了歷史性的作用，促使力學和天文學（天體力學）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴密性不夠妨礙著他取得更多成果?？挛鳎ˋugustin Louis Cauchy ，17891857）業(yè)績永存的數(shù)學大師19世紀初期，微積分已發(fā)展成一個龐大的分支，內(nèi)容豐富，應(yīng)用非常廣泛，與此同時，它的薄弱之處也越來越暴露出來，微積分的理論基礎(chǔ)并不嚴格。為解決新問題并澄清微積分概念，數(shù)學家們展開了數(shù)學分析嚴謹化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出卓越貢獻的要推偉大的數(shù)學定柯西?？挛?789年8

17、月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數(shù)學家拉格朗日，拉普拉斯交往密切?？挛魃倌陼r代的數(shù)學才華頗受這兩位數(shù)學家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅實的文學教育”，以便他的愛好不致反他引入岐途。父親加強了對柯西的文學教養(yǎng)，使他在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。1807年至1810年柯西在工學院學習。曾當過交通道路工程師。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學的研究，柯西在數(shù)學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的青華，也柯西對付類科學發(fā)展所作的巨大貢獻。

18、1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻劃，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進，成為現(xiàn)在所說的柯西極限定義或叫定義。當今所有微積分的教科書都還（至少是在本質(zhì)上）沿用著棲西等人關(guān)于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、收斂等概念的定義。他對微積分的解釋被后人普遍采用?？挛鲗Χǚ肿髁俗钕到y(tǒng)的開創(chuàng)性工作。他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運算之前，強調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學分析的基本概念得到嚴格的論述。從而結(jié)束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對幾何概念，運動和直覺了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)

19、代數(shù)學最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學學科。數(shù)學分析嚴謹化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學術(shù)會議上柯西提出了級數(shù)收斂性理論。會后，拉普拉斯急忙趕回家中，根據(jù)棲西的嚴謹判別法，逐一檢查其巨著天體力學中所用到的級數(shù)是否都收斂。棲西在其它方面的研究成果也很豐富。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻?？挛鞯臄?shù)學成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?7卷，其論著有800多篇。在數(shù)學史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學家。他的光輝名字與許多定理、準則一起銘記在當今許多教材中。作為一位學者，他是思路敏捷，功績卓著。但他常忽視青年人的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學家阿貝爾與伽羅華的開創(chuàng)性的論文手稿，造成群論晚問世約半個世記。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一名名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存”長久地叩擊著一代又一代學子的心扉。