《信號與線性系統(tǒng)分析第4章》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《信號與線性系統(tǒng)分析第4章（123頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1,4 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號分解為正交函數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù) 4.3 周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜 4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 4.6能量譜和功率譜 4.7 周期信號的傅里葉變換 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析 4.9 取樣定理,2,4.1 信號分解為正交函數(shù),在線性空間中，任何矢量可用相互垂直的單位矢量表示。這組矢量稱為正交矢量集。 一. 正交函數(shù)集 正交函數(shù)：函數(shù)1(t)和2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交，則,正交函數(shù)集：n個函數(shù)1(t)，n(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)構(gòu)成的正交函數(shù)集i(t)滿足,3,Ki為常數(shù)，如果Ki1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。 完備正
2、交函數(shù)集：在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)與之正交。 一個完備的正交函數(shù)集通常包括無窮多個函數(shù)。 正交復(fù)函數(shù)的定義：,正交函數(shù)集例：（在區(qū)間t0，t0+T，且T=2） 三角函數(shù)集：1，cos(nt)，sin(nt)；n1，2，3， 復(fù)指數(shù)函數(shù)集：ejnt；n0，1，2，,4,二. 信號分解為正交函數(shù) 對任一函數(shù)f(t)用n個正交函數(shù)的線性組合來近似,選擇Cj時使實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差最小，取均方誤差,要使均方誤差最小，就是求函數(shù)的極值。對上式求極值得,5,于是可得誤差,均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。,6,當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程,帕斯瓦爾方程物理意義
3、：如果f(t)是電壓或電流信號，則單位電阻上信號的總能量等于信號的各正交分量的能量之和。,因此f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,7,4.2 傅里葉級數(shù),周期信號在區(qū)間(t0，t0T)上可以展開成在完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。 三角函數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集，由其展開的級數(shù)統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。 一. 周期信號的分解 設(shè)有周期信號f(t)，可分解為,an、bn稱為傅里葉系數(shù)?？捎上率角蟮?8,an是n的偶函數(shù)，即 anan ； bn是n的奇函數(shù)，即 bnbn 。 f(t)分解式的另一種形式,式中 A0=a0,9,例：將方波信號展開為傅里葉級數(shù)。,解：傅里葉系數(shù)為
4、,10,傅里葉級數(shù)的展開式為,11,圖示方波信號分解 吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象 ：當(dāng)n時，在間斷點(diǎn)處有9%的偏差。 如果方波信號如圖所示,則傅里葉級數(shù)的展開式為,12,二. 奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù),根據(jù)傅里葉系數(shù)計算式，f(t)為偶函數(shù)，則系數(shù)為,f(t)為奇函數(shù)，則系數(shù)為,13,任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分 f(t)fod(t)fev(t) 由于f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t) 所以,例f(t)=et(t)，則,14,半波整流波形,15,全波整流信號 f1(t)=E|sin0t|,16,求半波整流信號f2(t)Esin(0t)(sin0t)的傅立葉級數(shù)。,半
5、波整流信號是由奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分組成的：,17,f(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動T/2后，與原波形反相，即對稱于橫軸 f(t)f(tT/2),奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只含奇次諧波，不含偶次諧波。,18,三. 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,因?yàn)閏osx(ejxejx)/2，所以,AnAn nn,19,Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計算式為,20,傅里葉級數(shù)小結(jié)：,21,4.3 周期信號的頻譜,一. 周期信號的頻譜 周期信號的傅里葉級數(shù),An、Fn、 n與n 有關(guān)，也即與頻率有關(guān)。 An或|Fn|與之間的關(guān)系稱為幅頻特性，相應(yīng)地可畫出頻譜圖，稱為幅度頻譜。 n與之間的關(guān)系稱為相位頻譜。 周期信號的頻譜只在
6、n處取值，是離散頻譜。,22,Sa(x),二. 周期矩形脈沖的頻譜,定義取樣函數(shù)為,Sa(x)為偶函數(shù),23,所以,在頻譜圖上n處，存在譜線，譜線間隔為 。,T不變：減小，幅度減小，一周內(nèi)譜線增加，間隔不變。 不變：T增加，幅度減小，譜線間隔變密。圖示頻譜圖。 信號能量集中在第一個零點(diǎn)內(nèi)，2/2f0 。 定義周期矩形脈沖信號的頻帶寬度為：F=f0=1/ 。,24,三. 周期信號的功率 周期信號的歸一化平均功率,這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。 例：幅度為1，脈沖寬度為0.2，周期為1的矩形脈沖信號，信號功率為,25,其傅里葉系數(shù)為,第一個零點(diǎn)為0.2n=，即n=5。 在頻譜第一個零點(diǎn)內(nèi)各分量的功
7、率和為,第一個零點(diǎn)內(nèi)分量所占總功率的比例為,26,4.4 非周期信號的頻譜,一. 傅里葉變換 由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式及其系數(shù)可得,當(dāng)T時，d，1/Td/2，n，離散頻率變成連續(xù)頻率，F(xiàn)n為無窮小。 上式成為, ,27,常用下面符號簡記： F(j)F f(t) F f(t)表示對函數(shù)f(t)取傅里葉變換，F(xiàn)(j)稱為f(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)； f(t)F 1F(j) F 1F(j)表示對函數(shù)F(j)取逆變換 ，f(t)稱為F(j)的原函數(shù)。 對應(yīng)關(guān)系簡記為：f(t)F(j) 頻譜函數(shù)是的復(fù)函數(shù) F(j)|F(j)|ej()R()jX() 其中|F(j)|為幅度頻譜，()為相位頻譜。,28
8、,比較：實(shí)函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。 傅里葉變換的三角函數(shù)形式,物理意義：非周期信號含有所有連續(xù)頻率分量，但其幅值為無窮小，用密度代替幅度來表示。 傅里葉積分由傅里葉級數(shù)推導(dǎo)而得，所以f(t)在無限區(qū)間上滿足狄氏條件是傅里葉積分存在的條件。,|F(j)|是偶函數(shù) 該項積分為0,29,一些特殊函數(shù)的傅里葉變換 (1) 門函數(shù)的頻譜函數(shù) 門函數(shù) g(t)(t/2)(t/2),頻譜圖,傅里葉積分存在的充分條件是f(t)在無限區(qū)間上絕對可積,30,(2) 單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù) 單邊指數(shù)函數(shù)f(t)et(t) 0,幅度譜和相位譜分別為,31,(3) 雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù) 雙邊指
9、數(shù)函數(shù)f1(t)e|t| 0,(4) 另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù) 雙邊指數(shù)函數(shù)(0),32,二. 奇異函數(shù)的傅里葉變換,(1) 沖激函數(shù)的頻譜,頻譜密度恒為1，稱為均勻譜或白色頻譜。 沖激函數(shù)的頻譜也可由門函數(shù)推得,(t)1 ,33,(2) 沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜,即 (t)j 幅度譜|F(j)|，相位譜()/2 。 根據(jù)廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義可得 F (n)(t)(j)n 。 (3) 單位直流信號的頻譜 單位直流信號可看作雙邊指數(shù)函數(shù)f1(t) 當(dāng)0時的極限,直流分量為有限值，頻譜密度為無窮。,34,頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為,所以,(4) 符號函數(shù)的頻譜 符號函數(shù)定義為,35,sgn(t)
10、可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時的極限，其頻譜函數(shù)為,通常表示為 sgn(t)2/j (5) 階躍函數(shù)的頻譜,36,常用函數(shù)的傅里葉變換：,37,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),(1) 線性 若 fi(t) Fi(j) (i=1,2,n) 則對任意常數(shù)ai (i=1,2,n)，有,傅里葉變換對,傅立葉變換后線性性質(zhì)不變。,38,(2) 奇偶性,分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時間函數(shù)之間的關(guān)系。,頻譜函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為,頻譜函數(shù)的模和相角分別為,39,f(t)是時間t的實(shí)函數(shù)： R()=R(), X()=X() |F(j)|=|F(j)|, ()=() 若f(t)是偶函數(shù)，則X()0，F(xiàn)(j)R
11、()； 若f(t)是奇函數(shù)，則R()0，F(xiàn)(j)jX()。 f(t)的傅里葉變換為,F(j)R()jX () R()jX()F*(j) 即 F f(t)F(j)F*(j) ,40,f(t)是時間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有 R()=R(), X()=X() |F(j)|=|F(j)|, ()=() F f(t)F(j)=F*(j) 類似可得f(t)為復(fù)函數(shù)的性質(zhì)。 無論f(t)為實(shí)函數(shù)或復(fù)函數(shù)，都有 F f(t)=F(j) F f*(t)=F*(j) F f*(t)=F*(j),41,(3) 對稱性,若f(t) F(j) 則 F(jt) 2f() 傅里葉逆變換式,將式中的自變量t換
12、為t得,將上式中的t換為，換為t，即得,42,例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。 門函數(shù)傅氏變換 g(t) Sa(/2) 根據(jù)對稱性 Sa(t/2) 2g() 令2，則得 Sa(t) g2() 例：求函數(shù)f(t)=t的頻譜函數(shù)。 (t) j jt 2()=2() t j2(),43,(4) 尺度變換,若 f(t) F(j) 則,如a1，則表示在時域中信號對時間的壓縮，對應(yīng)其在頻域中信號占有頻帶的擴(kuò)展。 證明：,令x=at，則當(dāng)a0時,44,令x=tt0,(5) 時移特性,當(dāng)a0時,若 f(t) F(j) 則 f(t t0) e jt0F(j)，(t0為常數(shù)) 證明：,同理可得f
13、(t+t0)的變換。,45,例：求圖示五脈沖信號的頻譜。,解：單脈沖信號的變換為 g(t)Sa(/2) 因?yàn)?f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T) 所以 F(j)Sa(/2)(1+ejT+ejT+ej2T+ej2T) Sa(/2)1+2cos(T)+ 2cos(2T) 當(dāng)T4時波形見圖4.5-4。,脈沖數(shù)n？,46,綜合尺度變換和時移特性有 若 f(t) F(j) 則,由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性: F f(t)F(j) 例：求圖示f2(t)、f3(t)函數(shù)的傅里葉變換。,47,解：f1(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為 g2(t) 2Sa() 函數(shù)f2(t)可表示為
14、 f2(t)=f1(t+1)f1(t1) 其傅里葉變換,又f3(t)=f2(2t)，所以,48,f3(t)也可直接由綜合變換式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1) g2(t) 2Sa(),49,(6) 頻移特性,若f(t) F(j)，且0為常數(shù) 則,應(yīng)用頻移特性實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，將信號f(t)乘以載頻信號cos0t或sin0t得到。 因?yàn)?同理可得,50,例：矩形調(diào)幅信號,51,(7) 卷積定理,時域卷積定理 若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j) 則f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 證明：,52,頻域卷積定理 若f1(t) F1(j) f2(t) F2(j)
15、則,證明：,53,例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。 解：根據(jù)函數(shù)t和(t)的頻譜，應(yīng)用頻域卷積定理,由此可得： F |t|=F t(t)+(t)(t),54,(8) 時域微分和積分,時域微分定理 若 f(t) F(j) 則 f(n)(t) (j)nF(j) 根據(jù)卷積的微分運(yùn)算和時域卷積定理，則有 F f(t)=F f(t)*(t),=F f(t)F (t)=jF(j),重復(fù)應(yīng)用以上結(jié)果得時域微分定理。 在交流電路分析時：,時域積分定理 若 f(t) F(j) 則 f(1)(t) F(0)()+(j)1F(j) ,55,根據(jù)時域卷積定理，可得 F f(1)(t)=F f(1)(t)*(t
16、)=F f(t)*(1)(t) =F f(t)F (t)=F(j)()+1/j =F(0)()+F(j)/j F(0)可以在頻域中求，也可在時域中求：,56,例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。,對其求二次導(dǎo)數(shù)得沖激函數(shù),57,f(t)的頻譜函數(shù)為,因?yàn)镕(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=0=0，所以f(t)的頻譜函數(shù)為,則三角形脈沖可表示為,58,則頻譜函數(shù)應(yīng)為,在時域積分定理中認(rèn)為,實(shí)際上,例：(t)與sgn(t)/2的導(dǎo)數(shù)都是(t)，但時值不同,59,(9) 頻域微分和積分,頻域微分 若f(t) F(j) 則 (jt)nf(t) F(n)(j) 或 tnf(t) jnF(n)(j) 證：F 1F(j)
17、=F 1F(j)*() =2F 1F(j)F 1(),即 (jt)1f(t) F(1)(j) 類推可得n次微分。 時域函數(shù)有tn因子時，變換可考慮用頻域微分性質(zhì)。,60,頻域積分 若f(t) F(j) 則,式中f(0)可以在時域中求，也可在頻域中求,證明： F 1F(1)(j)=F 1F(j)*(1)() =2F 1F(j)F 1() = 2f(t)F 1(),61,時域函數(shù)有t1因子時，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分性質(zhì),因?yàn)?根據(jù)對稱性,取反轉(zhuǎn),62,例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。,例：求Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。,應(yīng)用頻域微分,應(yīng)用頻域積分,63,若 f1(t)F1
18、()，f2(t)F2() 則有相關(guān)定理 F R12()=F1(j)F2*(j) F R21()=F1*(j)F2(j) 這是因?yàn)?F R12()=F f1()*f2() =F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j) 相關(guān)定理中f1(t)、f2(t)應(yīng)該是實(shí)函數(shù)。 對于自相關(guān)函數(shù)則有 F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2,(10) 相關(guān)定理,64,傅里葉變換性質(zhì)小結(jié),線性 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(j)+ a2F2(j) 奇偶性 f(t)為實(shí)函數(shù)：R()、|F(j)|偶函數(shù)；X()、 ()奇函數(shù)。F f(t)=F(j)=F*(j) 對稱性 F(jt) 2f(),時移特
19、性,尺度變換,65,時域卷積定理 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),頻域卷積定理,時域微分f(n)(t) (j)nF(j),時域積分,頻域微分 (jt)nf(t) F(n)(j),頻域積分,頻移特性,66,若E、P有界，則f(t)稱為能量信號或功率信號。 能量譜 若f(t)為實(shí)函數(shù)，信號能量與頻譜函數(shù)的關(guān)系,4.6 能量譜和功率譜,67,即,上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。 可將上式改寫為,物理意義：在df頻帶范圍內(nèi)，信號具有的能量為無窮小量|F(j)|2df 。 定義能量密度譜 E ()=|F(j)|2 信號的能量譜是其自相關(guān)函數(shù)的頻譜函數(shù) E ()=F R()=|F(j)|2
20、E ()反映了信號的能量在頻域中的分布。,68,功率譜 定義函數(shù) fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2) FT(j)=F fT(t) 如果f(t)是實(shí)函數(shù)，則信號平均功率為,當(dāng)T時，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為,功率譜P ()反映信號功率在頻域中分布。,69,若f1(t)和f2(t)是功率信號，定義互相關(guān)函數(shù)為,若f(t)是功率信號，定義自相關(guān)函數(shù)為,其傅立葉變換為,70,即,R()P () 此即維納-欣欽關(guān)系，據(jù)此可用功率譜描述隨機(jī)信號的頻率特性。 例：求信號f(t)=Sa(t)的能量。 解：已知變換對,根據(jù)信號的能量與頻譜函數(shù)關(guān)系式，Sa(t)的能量為,71,4.7 周期信
21、號的傅里葉變換,一. 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換,二. 一般周期函數(shù)的傅里葉變換 周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),式中=2/T。,72,周期函數(shù)的傅里葉變換,上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之間關(guān)系。 傅里葉變換得到的是頻譜密度F(j)，傅里葉級數(shù)得到的是傅里葉系數(shù)Fn。 周期性單位沖激函數(shù)系列稱為梳狀函數(shù),73,所以T(t)的傅里葉變換為,梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為,74,周期信號fT(t)在一個周期內(nèi)(T/2T/2)函數(shù)令為f0(t)， 則 fT(t)=f0(t)*T(t) (見P71) 其傅里葉變換為,比較,可得,傅里葉變換中的一些性質(zhì)、定理也可用于傅里葉級數(shù)。 主周期信號f0(t)包含了周期信號f
22、T(t)的全部信息。,75,則其傅里葉變換為,例：周期矩形脈沖信號,其傅里葉系數(shù)為,76,77,例：將圖示周期信號展開成指數(shù)型傅里葉級數(shù)。,解：f1(t)的傅里葉變換為,f0(t)的傅里葉變換為,78,fT(t)的傅里葉系數(shù)為,fT(t)的傅里葉級數(shù)為,實(shí)際上,79,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,一. 頻率響應(yīng) 系統(tǒng)的時域分析法用(t)或(t)作為基本信號，系統(tǒng)的頻域分析法可用虛指數(shù)函數(shù)ejt作為基本信號。 在時域分析中，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 yzs(t)=h(t)*f(t) 應(yīng)用傅里葉變換的時域卷積性質(zhì) ，上式成為 yzs(t)=F 1H(j)F(j) 頻域分析法就是應(yīng)用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的響應(yīng)
23、，將時域中的卷積運(yùn)算變換為頻域中的相乘運(yùn)算。 由于在頻域分析時，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此以下yzs(t)簡寫為y(t)。,80,LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=ejt(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)=h(t)*f(t),式中H(j)是h(t)的傅里葉變換，稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。 H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位變化。 任意信號f(t)可以看作無窮多個虛指數(shù)信號ejt之和，即,81,任意信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：,H(j) 也可定義為,|H(j)|稱為幅頻特性，()稱為相頻特性。,82,例：求系統(tǒng)y(t)+2y(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，
24、f(t)=et(t)。 解：對微分方程取傅里葉變換得 jY(j)+2Y(j)=F(j) 由此得,激勵的傅里葉變換,響應(yīng)的傅里葉變換,取傅里葉逆變換得系統(tǒng)響應(yīng) y(t)=(ete2t)(t),83,例：電路如圖所示，激勵為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。,解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為,激勵的傅里葉變換,84,電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為,取傅里葉逆變換得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t) 根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)，由H(j)可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,85,例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知,解：門函數(shù)的頻譜函數(shù)為,取4，根據(jù)對稱性可得 4Sa(
25、2t)2g4()=2g4() 即 F sin(2t)/t=g4() s(t)的頻譜函數(shù)為F cos(3t)=(+3)+(3),86,根據(jù)系統(tǒng)圖得 y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t) 取傅里葉變換得,87,取逆變換可得,88,二. 無失真?zhèn)鬏?無失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘柖x為：y(t)=Kf(ttd) 對上式取傅里葉變換得：Y(j)=KejtdF(j) 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：H(j)=Kejtd 所以無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為 |H(j)|=K ()=td ,89,無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=K(ttd) 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)還是沖激函數(shù)，但有強(qiáng)度變化和延時。 三. 理想低
26、通濾波器的響應(yīng) 理想低通濾波器可看作頻域中寬度為2c的門函數(shù),根據(jù)對稱性，由,得,90,令=2c，得,所以,理想低通濾波器的沖激響應(yīng),沖激響應(yīng)在輸入沖激之前就已出現(xiàn)，因而是非因果系統(tǒng)，這是由于理想化的結(jié)果，實(shí)際不可實(shí)現(xiàn)。,91,理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為,式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分,定義正弦積分,所以,令 c(td)=x xc=c(ttd),92,物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件： 時域（因果條件） h(t)0, t0 g(t)0， t0 頻域(Paley-Wiener準(zhǔn)則) 幅頻特性滿足平方可積,而且滿足,物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其H(j)可以在某些孤立點(diǎn)上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。,93,4
27、.9 取樣定理,一. 信號的取樣 取樣利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)時間信號f(t)中取出一系列離散樣本值fs(t)的過程。 fs(t)=f(t)s(t),fs(t)稱為取樣信號，s(t)稱為開關(guān)函數(shù)，Ts為取樣周期，s為取樣角頻率。,94,取樣的目的：將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。 取樣的要求：保持原有信號的所有信息。 由頻域卷積定理可得取樣信號的頻譜函數(shù),開關(guān)函數(shù)可以為沖激函數(shù)系列或矩形脈沖系列。 沖激取樣 梳狀函數(shù),其頻譜函數(shù)(見P169)也為周期脈沖系列,95,如果連續(xù)信號f(t)為區(qū)間(m，m)內(nèi)頻帶有限信號(簡稱帶限信號)，則,96,當(dāng)s2m時，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號中恢復(fù)原信
28、號。否則就不能恢復(fù)原信號。 例：對信號f(t)=2sin0t+sin30t進(jìn)行沖激取樣，取樣頻率應(yīng)為多少？ 因?yàn)閙=30，所以s60 。 矩形脈沖取樣 取樣脈沖序列是幅度為1，脈寬為(Ts)的矩形脈沖序列 s(t) = pTs(t) 其頻譜函數(shù)(見P168)為,97,則取樣信號的頻譜函數(shù),98,二. 時域取樣定理,為了從Fs(j)中無失真地恢復(fù)F(j)，選擇一個理想低通濾波器(時延為0，幅度為Ts),輸出信號頻譜F(j)= Fs(j)H(j),99,低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為,由此得,令 c=s/2,100,101,102,時域取樣定理 ：一個頻譜在區(qū)間(m，m)以外為零的帶
29、限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts2m)上的樣點(diǎn)值f(nTs)確定。 奈奎斯特(Nyquist)頻率：取樣頻率的下限fs2fm ； 奈奎斯特間隔：取樣間隔的上限TsTm/2。 例1：求信號f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取樣頻率。 解：因?yàn)?m2fm10 rad/s f(t)最高頻率 fm5/ Hz 奈奎斯特頻率 fs2fm10/ Hz 奈奎斯特間隔 Ts 1/fs/10 s,103,例2：求信號f(t)Sa(100t)的取樣頻率。 解：因?yàn)?Sa(t/2) 2g() 取200，其m100 rad/s，fm50/ Hz 所以 fs100/ Hz， Ts/100 s
30、 頻域取樣定理 ：一個在時域區(qū)間(tm，tm)以外為零的有限時間信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs(fs1/2tm)上的樣點(diǎn)值F(jns)確定。,104,題4.20 (5)、(8),解(5)：設(shè)f1(t)tf(t)，f2(t)f1(1t)(1t)f(1t)，其頻譜函數(shù)分別為,解(8)：設(shè)f1(t)f(32t)，f2ejtf1(t)ejtf(32t)，其頻譜函數(shù)分別為,注意！,105,題4.21 (4),解：因?yàn)?給定頻譜函數(shù),106,107,題4.21 (4),另一種解法： F(j)()(2)e-jg2(1)ej 因?yàn)?Sa(t/2) 2g() 令=2得,時移,頻
31、移,所以,108,題4.22 (b),解：圖示頻譜函數(shù)為,根據(jù)變換對 Sa(t/2) 2g() 取0，則,所以,109,題4.33,解：因?yàn)?s(t)S(j) 所以,頻譜函數(shù)為,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為,110,題4.33,也可這樣求,頻譜函數(shù)為,111,題4.40,112,113,題4.47,解：因?yàn)?所以Fn=1。由于=1，頻譜函數(shù)為,114,系統(tǒng)的響應(yīng)為：,實(shí)際上,f(t)加入低通濾波器后輸出只有前二項分量。,115,題4.48,(1) 時域壓縮為1/3，頻域展寬3倍，fn=300Hz，所以 fs600 Hz (2) f2(t)的頻譜函數(shù)為F(j)*F(j),116,卷積的頻率范圍為(2m400
32、 Hz (3) 時域卷積對應(yīng)頻域相乘，兩頻譜函數(shù)的最高頻率分別為100Hz和200Hz，取小fm=100Hz，所以 fs200Hz (4) f(t)+f2(t)，兩頻譜函數(shù)相加，取大fm=200Hz，所以 fs400Hz,117,題4.49,解：(1) F(j)=10()+2(+1)+(1) +(+21)+(21) (1=2f1),s2fs25f151,118,(2) 低通濾波器的截止角頻率為 2kHz fc 3kHz,119,題4.50,解：(1) 因?yàn)閟= 20.8f1=0.81，取樣信號頻譜函數(shù),(2) 濾波(0.5f1f0.5f1)后頻譜函數(shù) Y(j)=10()+2(+0.21)+(0
33、.21)+2(+0.41)+(0.41) y(t)=5+2cos(0.21t)+2cos(0.41t),120,題4.52,解：先分別求出X1(t)和X2(t)的頻譜函數(shù),121,輸出信號的頻譜函數(shù),122,Y(j)的頻譜圖,123,習(xí) 題 4.6 (4); 4.9; 4.10; 4.12 4.13 (a), (b); 4.15; 4.17 (1), (2); 4.18 (1), (2); 4.18 (5); 4.19(a); 4.20 (3), (7), (9); 4.21 (3), (5); 4.22 (a); 4.25; 4.27; 4.28; 4.30 (2); 4.31; 4.34; 4.37; 4.38; 4.42; 4.45; 4.51,
信號與線性系統(tǒng)分析第4章
