《專練06 空間線面的垂直-新教材2019-2020學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考點必殺題(人教A版必修第二冊)(解析版)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《專練06 空間線面的垂直-新教材2019-2020學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考點必殺題(人教A版必修第二冊)(解析版)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
專練06 空間線面的垂直
一、基礎(chǔ)強(qiáng)化
1. 設(shè)l是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是 ( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
【參考答案】B
【解析】對于A選項,設(shè)α∩β=a,若l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,此時α與β相交,即A選項錯誤;對于B選項,若l∥α,l⊥β,則存在直線a?α,使得l∥a,此時a⊥β,由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β,即B選項正確;對于C選項,若α⊥β,l⊥α,則l∥β或l?β,即C選項錯誤;對于D選項
2、,若α⊥β,l∥α,則l與β的位置關(guān)系不確定,即D選項錯誤.故選B.
2. (2019·山東濰坊月考)已知平面α和直線a,b,若a∥α,則“b⊥a”是“b⊥α”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【參考答案】B
【解析】根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,由a∥α,b⊥α,可得b⊥a,反之不成立,可能b與α相交或平行.∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件.故選B.
3. 已知在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AB=,AD=,BD=,AA1=1,則異面直線A1B與B1D1所成角的大小為( )
A.
3、 B. C. D.
【參考答案】C
【解析】如圖所示:
在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AB=,AD=,AA1=1.所以D1C=,B1C=.且易知D1C∥A1B,所以∠B1D1C(或其補(bǔ)角)即為所求.在△B1D1C中,D1C=,B1C=,BD=,所以∠D1CB1=,∠B1D1C=.故選C.
4. 如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,則圖中與平面PCD垂直的平面是( )
A.平面ABCD B.平面PBC
C.平面PAD D.平面PAB
【參考答案】C
【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四邊
4、形ABCD為矩形得CD⊥AD,從而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD. 故選C.
5.在直三棱柱ABC -A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=2AA1,則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為( )
A. B.-
C. D.-
【參考答案】A
【解析】將三棱柱補(bǔ)為長方體ABDC-A1B1D1C1,異面直線AC1與A1B所成的角即為∠AC1D,
設(shè)AA1=1,則AC=CD=2,AC1=DC1=,AD=2.
由題意知cos ∠AC1D==.故選A.
6. 在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC上的射影為點O,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是
5、△ABC的 心.?
【參考答案】垂
【解析】如圖∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC,∴AB⊥CG,即CG為AB邊上的高.同理可證BD,AH分別為AC邊,BC邊上的高,則O為△ABC的垂心.
7. 如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________.
【參考答案】
【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,
6、
因為C是圓柱下底面弧AB的中點,所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角.因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD,因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.
8. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱和六個面的對角線共24條,其中與體對角線AC1垂直的有 條.?
【參考答案】6
【解析】如圖,連接AC,則BD⊥AC.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵C1C⊥平面BCD,BD?平面BCD,
∴C1C⊥B
7、D,
又AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1,
∵AC1?平面ACC1,∴AC1⊥BD.
同理A1B,A1D,B1D1,CD1,B1C都與AC1垂直.
正方體ABCD-A1B1C1D1的棱中沒有與AC1垂直的棱,
故與體對角線AC1垂直的有6條.
9.如圖,點M,N分別是正方體ABCD -A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中點,則MN和CD1所成角的大小是________.
【參考答案】60°
【解析】因為MN∥BC1,CD1∥A1B,所以∠A1BC1就是MN和CD1所成角,而△A1BC1是等邊三角形,所以∠A1BC1=60°.
10.已知長方體的外接球體積為,且,
8、則與平面所成的角為 。
【參考答案】
【解析】設(shè)外接球的半徑為R,則,解得.則長方體的體對角線.
又由得,解得.
因為平面,平面,即,
所以直線與平面所成的角為,,則.
11. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.
(1)求證:PE⊥BC;
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD;
【參考答案】證明 (1)因為PA=PD,E為AD的中點,
所以PE⊥AD.
因為底面ABCD為矩形,
所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)因為底面ABCD為矩形,
所以
9、AB⊥AD.
又因為平面PAD⊥平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,
所以AB⊥PD.
又因為PA⊥PD,
所以PD⊥平面PAB.
所以平面PAB⊥平面PCD.
12.如圖,在三棱錐P -ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.
求:(1)三棱錐P-ABC的體積;
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.
【解析】(1)S△ABC=×2×2=2,三棱錐P-ABC的體積為V=S△ABC·PA=×2×2=.
(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角.
10、
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
cos∠ADE==.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.
二、能力提升
1. 已知為異面直線,平面平面.直線滿足,則( )
A.且 B.且
C.與相交,且交線垂直于 D.與相交,且交線平行于
【參考答案】D
【解析】由于m,n為異面直線,平面平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線l滿足,,則交線平行于l.
2.(2019·福建福州檢測題)直三棱柱ABC -A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于( )
A.30°
11、 B.45° C.60° D.90°
【參考答案】C
【解析】如圖,延長CA到點D,使得AD=AC,連接DA1,BD,
則四邊形ADA1C1為平行四邊形,所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角.又A1D=A1B=DB,所以△A1DB為等邊三角形,所以∠DA1B=60°.
3. △ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上的一個動點,則PM的最小值為________.
【參考答案】2
【解析】作CH⊥AB于H,連接PH.
因為PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,
12、PH為PM的最小值,等于2.
4. (2019·河南洛陽月考檢測試題)如圖所示,在四棱錐P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)
【參考答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)
【解析】∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,連接AC,則BD⊥AC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
5. 如圖所示,四邊形ABCD是矩形, ABE, ,F為CE上的點,且平面ACE,AC與BD交于點G。
(1)求證:平面BCE
(2)求證:AE//平面BFD
(3)求三棱錐的體積
【解析】(1)∵平面ABE,AD//BC
∴平面
∵平面
∴
又∵平面
∴
又∵,平面
∴平面
(2)依題意可知:G是AC中點
由平面ACE知,而
∴F是EC中點
∴在中,FG//AE
又∵平面,平面
∴AE//平面
(3)∵AE//平面BFD
∴AE//FG,而平面BCE,
∴平面BCE,即平面BCF
∵G是AC中點,F是CE中點
∴FG//AE且
又知在中,,
∴
∴
科教興國
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