江西省2015年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題精做系列專題13

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1、江西省2015年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題精做系列專題13 1．設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍是 (　　)． A. B．[－1,0] C．(－∞，－2] D. 【答案】A 2．已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D. 【答

2、案】B 【考點(diǎn)定位】考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的圖像分析函數(shù)圖像和性質(zhì)的能力，考察數(shù)形結(jié)合的能力. 3．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，，則的大小關(guān)系為 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 4．設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是 A.當(dāng)時(shí)， B. 當(dāng)時(shí)， C. 當(dāng)時(shí)， D. 當(dāng)時(shí)， 【答案】：B 【考點(diǎn)定位】本題從最常見了兩類函數(shù)出發(fā)進(jìn)行了巧妙組合，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，函數(shù)與方程思想等，難度很大，不易入手,具有很強(qiáng)的區(qū)分度

3、 5．已知函數(shù),,設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則的最小值為（ ） A、11 B、10 C、9 D、8 【答案】B 【解析】 試題分析：　零點(diǎn)在上，函數(shù)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，的零點(diǎn)在上，的零點(diǎn)在上，的最小值為． 【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用, 2、根的存在性定理. 6．已知數(shù)列an：，…，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，則a99＋a100的值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考點(diǎn)定位】數(shù)列及歸納推理. 7．現(xiàn)有兩個(gè)命題： （1）若，且不等式恒成立，則

4、的取值范圍是集合； （2）若函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是集合； 則以下集合關(guān)系正確的是（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】 對(duì)（2）：作出函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像如圖所示： 對(duì)求導(dǎo)得：.由得.由此得切點(diǎn)為.代入得.由圖可知時(shí)，函數(shù)， 8．函數(shù)（＞2）的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：令，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“=”. 【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、正弦函

5、數(shù)的有界性. 9．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 （ ） A．] B． C． D． 【答案】C 10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長(zhǎng)之和等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 11．已知A、B是橢圓＝1(a＞b＞0)和雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的公共頂點(diǎn)．P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(P、M都異于A、B)，且滿足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k1、k2、k3、k4，

6、k1＋k2＝5，則k3＋k4＝________. 【答案】－5 【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線. 12．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且、、分別是等比數(shù)列的、、. （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)均有成立，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）將、、利用與表示，結(jié)合條件、、成等比數(shù)列列式求出的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件、求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先令求出的值，然后再令，由得到 ，， 則 . 【考點(diǎn)定位】1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.定義法求通項(xiàng)；3.錯(cuò)位相減法求和 13．設(shè)

7、無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若對(duì)于任意不超過(guò)的正整數(shù)n，都有，證明：. （Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析. 【解析】 所以，，，且當(dāng)時(shí)，. 即 （Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以 ，. 因?yàn)?， 所以 ，. 由 ，得 . 因?yàn)?， 所以 ， 所以 ，即 . （Ⅲ）證明：（充分性）因?yàn)?，， 所以， 所以對(duì)一切正整數(shù)n都成立. 因?yàn)?，? 所以必然存在一個(gè)整數(shù)，使得能被整除，而不能被整除. 又因?yàn)椋遗c

8、的最大公約數(shù)為1. 所以，這與（）矛盾. 所以. 因此，. 【考點(diǎn)定位】1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列前n項(xiàng)和；3、充要條件. 14．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）若以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，已經(jīng)計(jì)算得是平面的法向量，求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 【答案】（1）參考解析；（2） 【解析】 (2)通過(guò)平面幾何圖形性質(zhì)或者解線性方程組,計(jì)算得平面一個(gè)法向量為， 又平面法向量為，所以 · 所求二面角的余弦值為. · 【考點(diǎn)定位】1.線面垂直的證明2.

9、二面角.3.空間向量的運(yùn)算.4.運(yùn)算的能力. 15．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1)求證：C1E∥平面ADF； (2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF? 【答案】（1）見解析（2）當(dāng)BM＝1時(shí) 【解析】(1)證明：連結(jié)CE交AD于O，連結(jié)OF. 因?yàn)镃E，AD為△ABC中線，所以O(shè)為△ABC的重心，. 【考點(diǎn)定位】空間線、面間的位置關(guān)系. 16．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點(diǎn)，E、F為線段AC的

10、三等分點(diǎn)(如圖①)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連結(jié)B′C(如圖②)． (1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′-ADC的體積； (2)記線段B′C的中點(diǎn)為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l； (3)求證：AD⊥B′E. 【答案】（1）（2）見解析（3）見解析 【解析】(1)解：在直角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點(diǎn)O，連結(jié)B′O，所以B′O⊥AD.因?yàn)槠矫鍭B′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠

11、BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為BC的 所以EO＝. 所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO. 又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O， 所以AD⊥平面B′EO. 又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E. 【考點(diǎn)定位】1、幾何體的體積；2、空間線、面間的位置關(guān)系. 17．如圖，正三棱柱所有棱長(zhǎng)都是2，D棱AC的中點(diǎn)，E是棱的中點(diǎn)，AE交于點(diǎn)H. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求點(diǎn)到平面的距離. 【答案】(1)參考解析；(2) ；(3) 【解析】 (3)點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線與法向量的關(guān)系，再通過(guò)解

12、三角形的知識(shí)即可得點(diǎn)到平面的距離.本小題關(guān)鍵是應(yīng)用解三角形的知識(shí). 試題解析：（1）證明：建立如圖所示， ∵ ∴ 即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD （2）由 ∴取 【考點(diǎn)定位】1.空間坐標(biāo)系的建立.2.線面垂直的證明.4.二面角的求法.5.點(diǎn)到平面的距離公式. 18．已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; （Ⅱ）設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）；（2）滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為或 【解析】

13、 試題解析：(1)法一：由,得, 1分 2分 ∴橢圓的方程為 4分 法二：由,得, 1分 把代入并去絕對(duì)值整理, 或者 10分 前式顯然不恒成立;而要使得后式對(duì)任意的恒成立 則,解得; 綜上所述,滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為或 12分 【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的定義； 3.兩點(diǎn)間的距離公式；4.點(diǎn)到直線的距離公式. 19．如圖,

14、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸交于K點(diǎn). （1）求證：KF平分∠MKN； （2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，求的最小值. 【答案】（1）見解析；（2）8. 【解析】 由, ∴. 4分 設(shè)KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可. ∵， ∴ ， 6分 （2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為，由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為， 7分 設(shè)直線MN的方程為。由 20．已知橢圓:的左焦點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-2,0)的直

15、線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且滿足. ①若,求的值; ②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，證明: 【答案】(1) ;(2)參考解析 【解析】 試題分析：(1)因?yàn)橛蓹E圓:的左焦點(diǎn)為,即.由點(diǎn)到兩焦點(diǎn) 顯然直線斜率存在,設(shè)直線方程為 由得: 得,, ,, ,符合,由對(duì)稱性不妨設(shè), 【考點(diǎn)定位】1.橢圓的性質(zhì).2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.韋達(dá)定理.4.幾何問(wèn)題構(gòu)建代數(shù)方法解決. 21．已知點(diǎn)、為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且．圓的方程是． （1）求雙曲線的方程； （2）過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線

16、的垂線，垂足分別為、，求的值； （3）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：． 【答案】(1) ；(2)；(3)證明見解析． 【解析】 試題分析：(1)從雙曲線方程中發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)參數(shù)，因此我們只要找一個(gè)關(guān)系式就可求解，而這個(gè)關(guān)系式在中，，，，通過(guò)直角三角形的關(guān)系就可求得；(2)由(1)知雙曲線的漸近線為，這兩條漸近線在含雙曲線那部分的夾角為鈍角，因此過(guò)雙曲線上的點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，為銳角，這樣這題我們只要認(rèn)真計(jì)算，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線距離公式求出距離，利用兩條直線夾角公式求出，從而得到向量的數(shù)量積；(3)首先 等價(jià)于，因此設(shè)，我們只要證，而可以由切線的方程

17、與雙曲線方程聯(lián)立方程組得到，再借助切線方程得到，驗(yàn)證下是否有，注意上述情形是在時(shí)進(jìn)行的，而時(shí)，切線為 因?yàn)樵陔p曲線：上，所以 又， 所以 10分 （3）由題意，即證： 設(shè)，切線的方程為： 11分 ①當(dāng)時(shí)，切線的方程代入雙曲線中，化簡(jiǎn)得： 【考點(diǎn)定位】(1)雙曲線的方程；(2)占到直線的距離，向量的數(shù)量積；(3)圓的切線與兩直線垂直的充要條件． 22．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A(－2,0)與點(diǎn)B(2,0)的斜率之積為－，點(diǎn)P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線x

18、＝4分別交于M，N兩點(diǎn)，直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D.求證，A，D，N三點(diǎn)共線． 【答案】（1）＋y2＝1(x≠±2)．（2）見解析 【解析】(1)解　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則kAP＝ (x≠－2)，kBP＝ (x≠2)，由已知·＝－，化簡(jiǎn)，得＋y2＝1，所求曲線C的方程為＋y2＝1(x≠±2)． (2)證明　由已知直線AQ的斜率存在，且不等于0，設(shè)方程為y＝k(x＋2)， 由消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，① 因?yàn)椋?，xQ是方程①的兩個(gè)根，所以－2xQ＝，得xQ＝，又yQ＝k(xQ＋2)＝k＝，所以Q. 當(dāng)x＝4，得yM＝6k，即M(4,6k)．

19、又直線BQ的斜率為－，方程為y＝－ (x－2)，當(dāng)x＝4時(shí)，得yN＝－，即N.直線BM的斜率為3k，方程為y＝3k(x－2)． 【考點(diǎn)定位】1、軌跡方程；2、直線與橢圓的關(guān)系. 23．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程； （3）設(shè)第（2）問(wèn)中的與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足,求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】 試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的

20、離心率為。根據(jù)題意原點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)榭山獾谩＃?）由題意知即點(diǎn)到直線，和到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線。（3）由的方程為知設(shè)，根據(jù)得出的關(guān)系，用兩點(diǎn)間距離求，再用配方法求最值。 試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，， ， 9分 由，左式可化簡(jiǎn)為：， 10分 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 11分 又， 當(dāng)，即時(shí)，， 13分 故的取值范圍是.

21、 14分 【考點(diǎn)定位】1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2拋物線的定義；3函數(shù)值域. 24．已知為實(shí)常數(shù)，函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)； （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）求證：且.（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析. 【解析】 試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)有定義 ①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)； 2分 ②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．

22、 所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù). 4分 （II）①由（I）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的最大值， 當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得， 6分 此時(shí)，，且， 令，則，所以在上單調(diào)遞增， 所以，即 所以的取值范圍是 8分 ②證法一： 由得 .所以. 所以 ，即，，. 又 ，所以，. 所以 . 即. 由，得.所以， . 12分 ②證法二： 所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).,則,又 于是. 又由(1)可知 .即 12分 【考點(diǎn)定位】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利

23、用函數(shù)求函數(shù)最值；3.構(gòu)造函數(shù)法；4.放縮法. 25．已知，函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（設(shè)為和）時(shí)，求證：. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，實(shí)質(zhì)上就是確定分子的正負(fù)，從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即對(duì)分子的的符號(hào)進(jìn)行分類討論，從而確定的符號(hào)情況，進(jìn)而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）根據(jù)、與之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得出以及的表達(dá)式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，利用作差法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)圍繞來(lái)證明. 試題解析：（1）， ，考慮分子

24、 （2）、是的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程， 即、是的兩個(gè)解，， 而在中，， 因此，要證明， 等價(jià)于證明， 注意到，只需證明，即證， 令，則， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 因此，從而，即，原不等式得證. 【考點(diǎn)定位】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.分類討論；3.分析法；4.構(gòu)造新函數(shù)證明函數(shù)不等式 26．已知函數(shù). (Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值； (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由函數(shù)，得，

25、 （Ⅲ）由題意可知，在區(qū)間上有函數(shù)的最大值小于的最大值成立，又函數(shù)在上的最大值，由（Ⅱ）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，故；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由可知，，，所以，，；綜上所述，所求的范圍為. 試題解析：. 2分 （Ⅰ），解得. 3分 （Ⅱ）. 5分 ①當(dāng)時(shí)，，， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 6分 ②當(dāng)時(shí)，，

26、 由已知，，由（Ⅱ）可知， ①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 故， 所以，，解得，故. 11分 ②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故. 由可知，，， 所以，，， 13分 綜上所述，. 14分 【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的單調(diào)性、最值. 27．已知函數(shù)． (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)時(shí)，判斷和的大小，并說(shuō)明理由； (3)求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解． 【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）當(dāng)時(shí)，

27、． （3）構(gòu)造函數(shù)，然后借助于在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知最多在兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到結(jié)論。 【解析】 （3）即 考慮函數(shù)， ，， 所以在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解………………………….10分 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)與方程的思想的綜合運(yùn)用. 28．已知函數(shù). （1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，求在上的最大值； （3）試證明：對(duì)任意，不等式都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． 【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （2）在上的最大值為； （3）證明過(guò)

28、程詳見試題解析. 【解析】 ．綜上所述， （3）由（1）知當(dāng)時(shí)．所以在時(shí)恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此對(duì)任意恒有．因?yàn)?，，所以，即．因此?duì)任意，不等式． 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、最值問(wèn)題、恒成立問(wèn)題. 29．已知（） （1）若方程有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足，若存在，求實(shí)數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，參考解析 【解析】 試題分析：（1）由已知（），若方程有3個(gè)不同的根，則可得到或?qū)蓚€(gè)方程分別討論即可到結(jié)論. ∴． （2）解：∵ 令，設(shè) ∴ ∵∴∴

29、 ∵∴，∴ ∴存在，使得，另外有，使得 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足 ∴方程（*）無(wú)解， 即不存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足 【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)與x軸的交點(diǎn)與方程的根的問(wèn)題.2.函數(shù)的極值.3.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.4.函數(shù)的最值問(wèn)題. 30．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，且對(duì)任意x＞0，都有f ′(x)＞． （Ⅰ）判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)； （Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論． 【答案】（Ⅰ）F(x)＝

30、在(0，＋∞)上是增函數(shù)；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn). 【解析】 試題分析：（Ⅰ）判斷F(x)的單調(diào)性，則需對(duì)F(x)求導(dǎo)，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，f(x1＋x2＋…＋xn)，…… f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n個(gè)不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得證. 試題解析：（Ⅰ）對(duì)F(x)求導(dǎo)數(shù)，得F′(x)＝． ∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0， ∴F′(x)＞0． 故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)． （Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2． 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜． ∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)． 以上n個(gè)不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． 【考點(diǎn)定位】1.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性；2.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式.