2011年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、考點(diǎn)24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2011江西高考理科5) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:+=,且=1,那么=( )A.1 B.9 C.10 D.55【思路點(diǎn)撥】【精講精析】選A.2.(2011安徽高考文科7)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是n=(-1)n(3-2),則 (A)15 (B)12 (C)12 (D) 15【思路點(diǎn)撥】觀察數(shù)列的性質(zhì),得到【精講精析】選A. 故二、填空題3.(2011江蘇高考13)設(shè),其中成公比為q的等比數(shù)列,成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是_【思路點(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題,解題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合點(diǎn),從而找到q滿足的關(guān)系式,求得其最小

2、值?!揪v精析】答案:由題意:,而的最小值分別為1,2,3;。4.(2011浙江高考文科17)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng),則=_.【思路點(diǎn)撥】可由不等式組解得.【精講精析】答案:4設(shè)最大項(xiàng)為第項(xiàng),則由不等式組得,即,解得,故.三、解答題5.(2011安徽高考理科18)在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這+2個(gè)數(shù)的乘積記作,再令,()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】本題將數(shù)列問題和三角問題結(jié)合在一起,解決此題需利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,及兩角差的正切公式等基本知識(shí).【精講精析】()設(shè)這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為,則,則,又所以 ()

3、由題意和()中計(jì)算結(jié)果,知另一方面,利用得 所以6.(2011江蘇高考20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列的首項(xiàng),前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意整數(shù)kM,當(dāng)整數(shù)nk時(shí),都成立(1)設(shè)M=1,求的值;(2)設(shè)M=3,4,求數(shù)列的通項(xiàng)公式?!舅悸伏c(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列概念、和與通項(xiàng)關(guān)系,其中(1)問較為容易,(2)問解決的關(guān)鍵是抓住題目的的轉(zhuǎn)化從中找到解決問題的規(guī)律?!揪v精析】由題設(shè)知,當(dāng)時(shí),即,從而,又,故當(dāng)時(shí),所以的值為8.(2) 由題設(shè)知, 當(dāng),且時(shí),且,兩式相減得,即,所以當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列,且也成等差數(shù)列,從而當(dāng)時(shí), ,且。 所以當(dāng)時(shí),即,于是,當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列,從而,故由式知,即,當(dāng)時(shí),

4、設(shè),當(dāng)時(shí),從而由式知,故,從而,于是。因此,對(duì)任意都成立。又由(可知,故且。解得,從而,。因此,數(shù)列為等差數(shù)列,由知,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。7.(2011新課標(biāo)全國高考理科17)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】第(1)問可由,聯(lián)立方程組求得和公比,從而求得的通項(xiàng)公式.第(2)問中,需先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡,再用裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【精講精析】()設(shè)數(shù)列的公比為q,由得所以.由條件可知,故.由得,所以.故數(shù)列的通項(xiàng)式為=.().故,.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.8.(2011新課標(biāo)全國高考文科17)已知等比數(shù)列中,公比.(I)為的前項(xiàng)和,證

5、明:(II)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思路點(diǎn)撥】第(1)問利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式求出然后證明等式成立;(2)利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡,即得的通項(xiàng)公式.【精講精析】(I),(II).數(shù)列的通項(xiàng)公式為=.9.(2011廣東文科T20)設(shè)b0,數(shù)列滿足a1=b,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n, b+1【思路點(diǎn)撥】(1)把題中條件變形為,構(gòu)造成為,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,求得的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.(2)利用均值不等式證明.【精講精析】(1)【解】由已知得,當(dāng)時(shí),上式變形為:,即數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得:,解得;當(dāng)時(shí),有,即是首項(xiàng)公差均為1的等

6、差數(shù)列,則.綜上所述.(2)【證明】方法一:當(dāng)只需綜上所述方法二:由(1)及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí),+1=2=2;當(dāng)時(shí),而,即2,又,.綜上所述,對(duì)于一切正整數(shù)有.10.(2011廣東高考理科20)設(shè)數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,【思路點(diǎn)撥】(1)把題中條件變形為,構(gòu)造成為,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,求得的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.,或用猜想證明的方法解決.(2)利用均值不等式證明.【精講精析】(1)方法一:由已知得,兩邊同除以,整理得,當(dāng)時(shí)有: ()令,則是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,即從而.當(dāng)時(shí),有,即是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列,從而有,得.綜上所述方法二:(

7、)當(dāng)時(shí),是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即,()當(dāng)時(shí),猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),猜想顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),則,所以當(dāng)時(shí),猜想成立,由知,綜上所述(2)【證明】方法一:()當(dāng)時(shí), ,故時(shí),命題成立;()當(dāng)時(shí),以上n個(gè)式子相加得,故當(dāng)時(shí),命題成立;綜上()()知命題成立方法二:由(1)及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),而 ,即,又綜上所述:對(duì)于一切正整數(shù)n,.11.(2011山東高考理科20)(本小題滿分12分)等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前

8、n項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥】()由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.()由題意易知數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,利用分組求和法,可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開來求解數(shù)列的前n項(xiàng)和,但是要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論【精講精析】()由題意可知,公比,通項(xiàng)公式為;()當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)故另解:令,即則故.12.(2011山東高考文科20)(本小題滿分12分)等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若數(shù)列滿足:=,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】(I)由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列.(

9、II)由題意易知數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,利用分組求和法,可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開來求解數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【精講精析】()由題意知,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.()=, 所以=+13.(2011遼寧高考理科17)(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列an滿足a2=0,a6+a8= -10(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥】()先求首項(xiàng)和公差,再求通項(xiàng)公式;()可利用錯(cuò)位相減法求和【精講精析】()設(shè)等差數(shù)列的公差為, 由已知條件可得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 5分 ()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,即=故=1,.所以,當(dāng)1時(shí),=-=,所以=綜上,數(shù)列的前項(xiàng)和=. 12分14.(20

10、11北京高考理科T20)(13分)若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為數(shù)列,記=.()寫出一個(gè)滿足,且的數(shù)列;()若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;()對(duì)任意給定的整數(shù)n(n2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由.【思路點(diǎn)撥】()寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可;()分別證明必要性與充分性;()先假設(shè)存在,看能否求出,求出即存在,求不出則不存在.【精講精析】()0,1,2,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列.(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列)()必要性:因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列,所以.所以是首項(xiàng)為12,公差為1

11、的等差數(shù)列.所以.充分性:由于,所以,即.又因?yàn)椋?故,即是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證.()令,則.因?yàn)?,所以因?yàn)?,所以為偶數(shù).所以為偶數(shù).所以要使,必須使為偶數(shù),即4整除,亦即或當(dāng)時(shí),E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí),有;當(dāng)n=4m+1時(shí),E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí),有;當(dāng)n=4m+2或n=4m+3時(shí),n(n-1)不能被4整除,此時(shí)不存在E數(shù)列,使得.15.(2011北京高考文科T20)(13分)若數(shù)列滿足,則稱為數(shù)列.記=.()寫出一個(gè)E數(shù)列滿足()若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;(III)在的E數(shù)列中,求使得成立的n的最小值.【思路點(diǎn)撥】()寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可;(

12、)分別證明必要性與充分性;()利用E數(shù)列的定義找出前面幾項(xiàng)的和與0的關(guān)系,再求n的最小值.【精講精析】()0,1,2,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列.(答案不惟一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列)()必要性:因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列,所以.所以是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以.充分性:由于,所以,即.又因?yàn)?,所?故,即是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證.()對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列由于,所以.所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列,若,則必有.又的E數(shù)列:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足,所以n的最小值是9.16.(2011湖南高考文科T20)(本小題滿分13分)某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)

13、值為120萬元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年,每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價(jià)值為上年初的75%.()求第n年初M的價(jià)值的表達(dá)式;(2)設(shè)大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對(duì)M更新.證明:須在第9年初對(duì)M更新.【思路點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力,重點(diǎn)考查學(xué)生的以下能力:一是閱讀能力.二是轉(zhuǎn)化能力.三是表達(dá)能力.能否把文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力和運(yùn)算能力,閱讀后建立數(shù)列模型是關(guān)鍵.【精講精析】(I)當(dāng)時(shí),數(shù)列是首項(xiàng)為120,公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí),數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為

14、為等比數(shù)列,又,所以 因此,第年初,M的價(jià)值的表達(dá)式為(II)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因?yàn)槭沁f減數(shù)列,所以是遞減數(shù)列,又所以須在第9年初對(duì)M更新17.(2011江西高考文科21)(1)已知兩個(gè)等比數(shù)列,滿足,若數(shù)列唯一,求的值;(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列,使得成公差不為的等差數(shù)列?若存在,求 , 的通項(xiàng)公式;若不存在,說明理由【思路點(diǎn)撥】(1)先將再根據(jù),可得和的關(guān)系式,再根據(jù)數(shù)列的唯一性,知q必有一個(gè)值為0,代入可得a的值。(2)將再根據(jù)它們四個(gè)成等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得之間的關(guān)系,通過消參可得,即或,經(jīng)討論可得兩者都不符合題意。【精講精析】解:(

15、1)要唯一,當(dāng)公比時(shí),由且, ,最少有一個(gè)根(有兩個(gè)根時(shí),保證僅有一個(gè)正根),此時(shí)滿足條件的a有無數(shù)多個(gè),不符合。當(dāng)公比時(shí),等比數(shù)列首項(xiàng)為a,其余各項(xiàng)均為常數(shù)0,則唯一,此時(shí)由,可推得符合綜上:。(2)假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列,則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:,整理得:要使該式成立,則=或此時(shí)數(shù)列,公差為0與題意不符,所以不存在這樣的等比數(shù)列。18.(2011天津高考文科T20)已知數(shù)列滿足 ()求的值; ()設(shè),證明是等比數(shù)列; ()設(shè)為的前項(xiàng)和,證明【思路點(diǎn)撥】(1)的通項(xiàng)公式是常數(shù),對(duì)n取值代入求值;(2)由的關(guān)系式,構(gòu)造是常數(shù);由(2)求出的通項(xiàng),得到的通項(xiàng)公式,再求和、放縮證明.【精講精析】

16、()【解析】由可得又,當(dāng)當(dāng) ()證明:對(duì)任意 -,得.所以是等比數(shù)列.()證明:,由()知,當(dāng)時(shí),故對(duì)任意由得因此,于是,故19.(2011浙江高考理科19)(本題滿分14分)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為(R),設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列。()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;()記+,+ + ,當(dāng)2時(shí),試比較與的大小【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用?!揪v精析】()解:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由 得。因?yàn)?所以所以,()解:因?yàn)?所以因?yàn)樗援?dāng)n2時(shí),即所以,當(dāng)0時(shí),;當(dāng)0時(shí),。20.(2011浙江高考文科19)(本題滿

17、分14分)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)且成等比數(shù)列。()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()對(duì),試比較與的大小【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),代入公式即可求解,要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用?!揪v精析】()解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由 得。從而因?yàn)?所以故通項(xiàng)公式()解:記因?yàn)?,所以,?dāng)0時(shí),;當(dāng)0時(shí),21.(2011.天津高考理科.T20)已知數(shù)列與滿足:, ,且()求的值;()設(shè),證明:是等比數(shù)列;(III)設(shè),證明:【思路點(diǎn)撥】(1)的通項(xiàng)公式是常數(shù),對(duì)n取值代入求值;(2) 由的關(guān)系式,構(gòu)造是常數(shù);(3) 由(2)求出的通項(xiàng),得到的通項(xiàng)公式,再求和、放縮證明?!揪v精析】 (I)【解析】由 ,可得,又(II)證明:對(duì)任意,得將代入,可得即又因此是等比數(shù)列.(III)證明:由(II)可得.于是,對(duì)任意,有將以上各式相加,得即,此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以,對(duì)任意,對(duì)于n=1,不等式顯然成立.所以,對(duì)任意

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