第五單元《數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題》教材解析 人教版數(shù)學(xué)六年級下冊

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1、人教版數(shù)學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)廣角鴿巢問題教材解析一、教材介紹專門安排“數(shù)學(xué)廣角”這一單元 , 向?qū)W生滲透一些重要 的數(shù)學(xué)思想方法。和以往的舊教材相比 ,這部分內(nèi)容是新增 的內(nèi)容。本單元教材通過幾個直觀例子,借助實際操作,向?qū)W 生介紹“鴿巢問題” , 使學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué) 方法的基礎(chǔ)上 ,對一些簡單的實際問題加以“模型化”,會用 “鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學(xué)問題中,有一類與“存在性” 有關(guān)的問題。在這類問題中,只需要確定某個物體(或某個人) 的存在就可以了 ,并不需要指出是哪個物體 (或人)。這類問 題依據(jù)的理論 ,我們稱之為“抽屜原理”?！俺閷显怼弊?先是由 19 世界的德國數(shù)學(xué)家狄

2、利克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題 的,所以又稱“狄利克雷原理” ,也稱為“鴿巢問題”。“鴿 巢問題”的理論本身并不復(fù)雜 , 甚至可以說是顯而易見的。 但“鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的 ,用它可以解決許多 有趣的問題 ,并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此 , “鴿巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng) 用?！俺閷显怼眮碓从谝粋€基本的數(shù)學(xué)事實。將三個蘋果放 到兩只抽屜里，要么在一只抽屜里放兩個蘋果，而另一只抽 屜里放一個蘋果；要么在一只抽屜里放三個蘋果，而另一只 抽屜里不放。這兩種情況可用一句話概括：一定有一只抽屜 里放入兩個或兩個以上的蘋果。雖然我們無法斷定哪只抽屜 里放入至少兩個蘋果

3、，但這并不影響結(jié)論。如果我們把一切 可以與蘋果互換的事物稱為元素，而把一切可以與抽屜互換 的事物稱為集合，那么上面的結(jié)論就可以表述為：假如把多 于 個元素按任一確定的方式分成 個集合，那么有一個集人教版數(shù)學(xué)六年級下冊合中至少含有 2 個元素。還可以表述為：把多于 ( 是正 整數(shù))個元素按任一確定的方式分成 個集合，那么一定有一 個集合中至少含有（ +1）個元素。“抽屜原理”是數(shù)學(xué)的 重要原理之一，在數(shù)論、集合論和組合論中有很多應(yīng)用。它 也被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)實生活中，如招生錄取、就業(yè)安排、資 源分配、職稱評定等方面，我們經(jīng)常會看到隱含在其中的“抽 屜原理”。由此可見，所謂“抽屜原理”，實際上是一種

4、解決某種特 定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問題的模型，體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的思想方 法。讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，初步形成模型思 想，體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、 推理能力和應(yīng)用能力，這是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 年版）的重要要求，也是本單元的編排意圖和價值取向。教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種， 只要物體的數(shù)量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進(jìn)了至少 兩個物體。那么，這里的“一定有一個抽屜”是什么意思？ “至少兩個物體”是什么意思？“一定有一個抽屜”是存在 性；“至少兩個物體”是可以多于兩個物體，可以是兩個， 也可以是三個、四個甚至更多。第二種，即是“把多于

5、 kn （k 是正整數(shù)）個元素放入 n 個集合，總有一個集合里至少 有（k+1）元素”。若 k 為 1，就是第一種情況，可見第一種 情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物 體（如紅球、藍(lán)球各4 個）放進(jìn)有限多個抽屜（兩種顏色）， 那么一定有一個抽屜放進(jìn)了無限多個物體（至少 2 個同色的 球）。二、課標(biāo)解讀人教版數(shù)學(xué)六年級下冊義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）在“學(xué)段目標(biāo)” 的“第二學(xué)段”中提出：“會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基 本思想”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情 推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的 思考過程與結(jié)果”“經(jīng)歷與他人合作交流解決問題

6、的過程， 嘗試解釋自己的思考過程”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）在“課程內(nèi)容” 的“第二學(xué)段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變 化趨勢”“結(jié)合實際情境，體驗發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解 決問題的過程”“通過應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識 和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。二、課標(biāo)解讀（一）讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程在數(shù)學(xué)上，一般是用反證法對“抽屜原理”進(jìn)行嚴(yán)格證明。 在小學(xué)階段，雖然并不需要學(xué)生對涉及“抽屜原理”的相關(guān) 現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可引導(dǎo)學(xué)生用直觀的 方式對某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋。例如在教 學(xué)例 3 時，教師在呈現(xiàn)問題后

7、，可以讓學(xué)生猜一猜，有學(xué)生 會猜 2 個球，有學(xué)生會猜 5 個球，也有學(xué)生會猜對。此時教 師可以提出讓學(xué)生自己用畫一畫、寫一寫等方法來說明理 由。結(jié)合學(xué)生個性化的表達(dá)，教師可展示分析解答過程，通 過分析逐步消除學(xué)生的各種錯誤認(rèn)識，讓學(xué)生形成對這類問 題中抽屜的模型結(jié)構(gòu)的初步感知。在得出答案后，應(yīng)向?qū)W生 提出運(yùn)用“抽屜原理”來思考這個問題的要求，并根據(jù)學(xué)生 學(xué)習(xí)的具體情況引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：把兩種顏色看成兩 個抽屜，要保證有一個抽屜至少有 2 個同色球，分的物體個 數(shù)至少要比抽屜數(shù)多 1，所以至少要摸出 3 個球。在此基礎(chǔ)人教版數(shù)學(xué)六年級下冊上，總結(jié)解決問題的一般的思考方法：把什么看成“抽屜”

8、， “抽屜”有幾個，怎么用“抽屜原理”來思考解決問題的方 法。顯然，教學(xué)的過程就是教師鼓勵學(xué)生借助學(xué)具、實物操作 或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。實際上，通過“說理”的方 式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通 過這樣的方式，有助于逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以 后學(xué)習(xí)較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。（二）要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”本單元講的“鴿巢問題”，實際就是一個“抽屜原理”問 題。“抽屜問題”的變式很多，應(yīng)用更具靈活性。當(dāng)我們面 對一個具體的問題時，能否將這個具體問題與“抽屜問題” 聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境和“抽屜問題”的 一般化模型之間的內(nèi)在關(guān)系，能否找出該問題

9、中什么是“待 分的東西”，什么是“抽屜”，是能否解決該問題的關(guān)鍵因 素。因此，教師教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬 于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何 尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般化模型。這個過程， 實際上是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，是從復(fù)雜 的現(xiàn)實素材中尋找本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過程。這樣的過程，可 有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，尤其可增強(qiáng)學(xué)生對“模型 思想”的體驗，增強(qiáng)運(yùn)用能力。三、教學(xué)目標(biāo)及重難點1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動 ,經(jīng)歷 探究“抽屜原理”的過程,初步了解“抽屜原理”,會用“抽 屜原理”解決簡單的實際問題。2.提高學(xué)生解決簡單

10、的實際問題的能力。人教版數(shù)學(xué)六年級下冊3.通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用 ,感受數(shù)學(xué)的魅力。 本單元的教學(xué)重難點是初步了解“抽屜原理（鴿巢原理）”，培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”。四、具體內(nèi)容例 1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討 為什么這樣的結(jié)論是成立的。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第 一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納 的方法看到在這四種情況都是滿足結(jié)論的；還可以是說理的 方式，先放 3 支，在每個筆筒里放 1 支，這時剩下 1 支。剩 下的 1 支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有 2 支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感

11、知這類問題的基本結(jié)構(gòu)，掌握 兩種思考的方法枚舉和假設(shè)，理解問題中關(guān)鍵詞語“總 有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認(rèn)識。例 2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多 于 （ 是正整數(shù)）個物體任意分放進(jìn) 個空抽屜里，那么 一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少（ +1）個物體”。教材首先 探究把 7 本書放進(jìn) 3 個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進(jìn) 3 本書的情形。當(dāng)數(shù)據(jù)變得越來越大時，如果還用完全歸納的 方法把所有的情形羅列出來的話，對于學(xué)生來說是有困難 的。這時需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所 有的抽屜最多放 2 本，那么 3 個抽屜里最多放 6 本書，可是 題目中是 7 本

12、書，還剩 1 本書，怎么辦？這就使學(xué)生明白只 要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進(jìn) 3 本 書。通過這樣的方式，實際上學(xué)生是在經(jīng)歷“反證法”的這 樣一個過程。在具體編排這道例題的時候，在數(shù)據(jù)上進(jìn)行了 一個很細(xì)微的調(diào)整。在過去，由于數(shù)據(jù)的問題，學(xué)生會得到人教版數(shù)學(xué)六年級下冊不太正確的推論，比如說如果是兩個抽屜的話，最后得到的 余數(shù)總是 1，那么學(xué)生很容易得到一個錯誤的結(jié)論：總有一 個抽屜里放進(jìn)“商+余數(shù)”本書（因為余數(shù)正好是 1）。而實 際上，這里的結(jié)論應(yīng)該是“商+1”本書，所以教材在這里呈 現(xiàn)了 8 除以 3 余 2 的情況，這時候余數(shù)是 2，可是最后的結(jié) 論還是“把 8 本書放進(jìn)

13、 3 個抽屜里，總有一個抽屜至少放 進(jìn)了 3 本書”。通過這樣的數(shù)據(jù)方面的調(diào)整，可以讓學(xué)生得 到一個更加正確的推論。例 3：跟之前教材的編排是一樣的，是抽屜原理的一個逆 向的應(yīng)用。要解決這個問題，可以把兩種“顏色”看成兩個 “抽屜”，“同色”就意味著“同一個抽屜”。這樣，就可 以把“摸球問題”轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”。教材通過學(xué)生的對 話，指出了可以通過先猜測再驗證的方法來解決問題，也反 映了學(xué)生在解決這個問題時可能會遇到的困難。很多學(xué)生誤 以為要摸 5 次才可以摸出球，這可以讓學(xué)生通過實驗來驗證。在教學(xué)中要注意的問題：第一，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的 過程，在這里不是讓學(xué)生計算抽屜原理，去應(yīng)用，而更多

14、的 是給出一個結(jié)論，讓學(xué)生去證明這種結(jié)論的正確性，這就是 一種數(shù)學(xué)證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思 想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，比如讓學(xué) 生判斷 13 個孩子中一定有兩個人的生日在同一個月份，讓 學(xué)生去判斷 367 個孩子中一定有兩個人的生日是同一天 在解決這些問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確什么是抽屜 原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生把這些具體問 題模型化成一個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助 學(xué)生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在 例 1 中給出具體的問題（4 支鉛筆放到 3 個筆筒里），讓學(xué)人教版數(shù)學(xué)六年級下冊生在探究的過程中，逐漸

15、找到一般的規(guī)律。第四，恰當(dāng)保持 教學(xué)要求，因為數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容只是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)思 想的感悟，在評價上不做特別高的要求。五、教學(xué)建議1.讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程?？梢怨膭睢⒁?導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具、實物操作或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。 通過“說理”的方式理解“抽屜原理”的過程是一種數(shù)學(xué)證 明的雛形。通過這樣的方式 , 有助于提高學(xué)生的邏輯思維能 力,為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。2.有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。當(dāng)我們面對一個 具體問題時,能否將這個具體問題和“抽屜問題”聯(lián)系起來, 能否找到該問題中的具體情境與“抽屜問題”的“一般化模 型”之間的內(nèi)在關(guān)系,找出該問題中什么是“待分的東

16、西”, 什么是“抽屜”,是解決該問題的關(guān)鍵。教學(xué)時,要引導(dǎo)學(xué)生 先判斷某個問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇 ; 再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般模型。 這個過程是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程 , 從紛繁 復(fù)雜的現(xiàn)實素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型 , 是學(xué)生數(shù)學(xué)思維 和能力的重要體現(xiàn)。3.要適當(dāng)把握教學(xué)要求。“抽屜原理”本身或許并不復(fù) 雜,但它的應(yīng)用廣泛且靈活多變。因此,用“抽屜原理”解決 實際問題時,經(jīng)常會遇到一些困難。例如,有時要找到實際問 題與“抽屜原理”之間的聯(lián)系并不容易,即使找到了,也很難 確定用什么作為“抽屜”,要用幾個“抽屜”。因此,教學(xué)時, 不必過于要求學(xué)生“說理”的嚴(yán)密性,只要能結(jié)合具體問題, 把大致意思說出來就可以了 , 鼓勵學(xué)生借助實物操作等直觀 方式進(jìn)行猜測、驗證。