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1、第四節(jié) 條件概率,1、條件概率的定義,例1 拋擲一枚均勻的硬幣三次, 以 B 表示事件“第,一次拋擲出現(xiàn)正面”, A 表示事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)多于,反面出現(xiàn)的次數(shù)”, 求條件概率,解,以 H 表示擲出正面, T 表示擲出反面, 則試驗的,樣本空間為,而事件,由于事件 B 已經(jīng)發(fā)生, 所以此時僅有4種結(jié)果, 而 A,顯然,這是因為已知事件 B 已經(jīng)發(fā)生, 樣本空間已由原來,的縮減為,所包含的樣本點中有3個同時也屬于 B, 所以有,另外,所以有,因此有,容易驗證對一般的古典概型, 只要,上述等式,總是成立的.,在幾何概率的情形(以二維平面區(qū)域為例), 上式依然,成立. 如果向一個矩形內(nèi)隨機地,這時
2、 A 發(fā)生的概率為,投點(如下圖)若已知 B 已發(fā)生,定義 設(shè) A, B 是同一隨機試驗的兩個事件, 且,稱,為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.,P(A|B) 符合概率定義的三條公理，即,（1）非負性：,（2）規(guī)范性：,（3）可加性：,注意：條件概率滿足概率的一切性質(zhì),例2 設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30,年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80%, 在40年內(nèi)發(fā)生特大洪,水的概率為85%, 問現(xiàn)已無特大洪水過去了30年的該地,區(qū), 在未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少？,解,設(shè),B = “該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生后30年內(nèi)無特大洪水”,A = “該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生后
3、40年內(nèi)無特大洪水”,則所求概率為,由于,算公式, 有,由條件概率的計,再由條件概率的性質(zhì), 可得,例3 設(shè) M 件產(chǎn)品中有 m 件為正品, Mm 件為次品,從中任取兩件:,(1) 在所取產(chǎn)品中有一件為次品的條件下, 求另一件,也是次品的概率;,(2) 在所取產(chǎn)品中有一件為正品的條件下, 求另一件,是次品的概率.,解,(1) 設(shè),B = “所取的兩件產(chǎn)品中至少有一件為次品”,A = “所取的兩件均為次品”,則所求的概率為,顯然,所以有,(2) 設(shè),C = “所取的兩件產(chǎn)品中至少有一件是正品”,D = “所取的兩件產(chǎn)品中一件為正品, 一件為次品”,則所求概率為,因為,所以有,二、乘法公式,設(shè)P(
4、A)0,則有,乘法定理可推廣至任意有限個事件的情形:,同樣,當P(B)0時,有：,例4 10個人依次抓鬮, 10張鬮中只有一張寫有“獎品,A”, 求它被第 k 個人抓到的概率 (k = 1, 2, , 10).,解,設(shè),Ak = “第 k 個人抓到了寫有“獎品A”的鬮”,k = 1, 2, , 10,“獎品A”被第一個人抓到的概率為,因為只有一個鬮寫有“獎品A”, 所以,從而,于是,同理, 因為,所以, “獎品A”被第三個人抓,到的概率為,如此繼續(xù)下去, 依次可得,最后, 注意到,及,“獎品A”被第10個人抓到的概率為,最后, 注意到,及,“獎品A”被第10個人抓到的概率為,三、全概率公式,定
5、理1.2 設(shè),是樣本空間的一個完備,事件組, 且,則對于任意事件 B, 有,注 全概率公式中完備事件組所包含的事件可以是,無限多個, 若,是一兩兩互不相容的事件,序列, 且,及,則對于任意事件B,有,例5 設(shè)甲箱內(nèi)有5個正品, 3個次品, 乙箱內(nèi)有4個正,品, 3個次品. 從甲箱內(nèi)任取3個產(chǎn)品放入乙箱, 然后從乙,箱中任取一個產(chǎn)品, 求這個產(chǎn)品是正品的概率.,解,設(shè),B = “從乙箱中取得的是正品”,Ai = “從甲箱取的3個產(chǎn)品中有 i 個是正品”,(i = 0, 1, 2, 3),(i = 0, 1, 2, 3) 構(gòu)成完備事件組, 根據(jù)古典概型的概,率計算公式有,由全概率公式可得,例6 播
6、種用的一等種子中混合2%的二等種子, 1.5%,的三等種子, 1%的四等種子. 用一等、二等、三等、四,等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別是0.5, 0.15,0.1, 0.05, 求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率.,解,設(shè)從這批種子中任選一顆, 記,Ai = “任選的一顆種子是 i 等種子”,(i = 1, 2, 3 , 4 ),B 表示事件 “在這批種子中任選一顆, 且這顆種子所,結(jié)的麥穗含有50顆以上麥?！?Ai (i = 1, 2, 3 , 4 ) 構(gòu)成完備事件組.,Ai = “任選的一顆種子是 i 等種子”,(i = 1, 2, 3 , 4 ),B 表示事件 “在這批
7、種子中任選一顆, 且這顆種子所,結(jié)的麥穗含有50顆以上麥?！?Ai (i = 1, 2, 3 , 4 ) 構(gòu)成完備事件組.,又由題意知,由全概率公式得,四、貝葉斯公式,則對于任,的一個完備事件組, 且,意事件 B, 若,則有,例7 設(shè)在8支槍中有3支未經(jīng)過試射校正, 5支已經(jīng),率為0.8, 而用未經(jīng)過校正的槍射擊時, 擊中目標的概率,試射校正. 一射手用校正過的槍射擊時, 擊中目標的概,為0.3. 現(xiàn)該射手從8支槍中任取一支進行射擊, 結(jié)果擊,中目標, 求所用這支槍是已經(jīng)校正過的概率.,解,設(shè) A 表示事件 “所取的槍是校正過的”,表示事件 “所取的槍是未校正過的”,B 表示事件 “射擊擊中目標”,由題意知,由題意知,由貝葉斯公式得所求的概率為,例8 1950年某地區(qū)曾對5060歲的男性公民進行,調(diào)查, 肺癌病人中吸煙的比例是99.7%, 無肺癌人中吸,煙的比例是95.8%. 如果整個人群的發(fā)病率是0.0001,求吸煙人群中的肺癌發(fā)病率和不吸煙人群中的肺癌發(fā),病率.,解,以 A 表示事件“有肺癌”,B 表示事件“吸煙”,由題意知,由貝葉斯公式可得,從而有,由此知, 吸煙人群的肺癌發(fā)病率是不吸煙人群的肺,癌發(fā)病率的14.57倍.,
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