版一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)習(xí)題：第八篇　平面解析幾何必修2、選修11 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 第6節(jié)　拋物線 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 拋物線的定義與應(yīng)用 2,3,4,10 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 1,6 直線與拋物線的位置關(guān)系 5,7,8,11 拋物線的綜合應(yīng)用 9,12,13 基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘) 1.(2018·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　C　) (A)(0,a) (B)(a,0) (C)(0,) (D)(,0) 解析:將y=4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2=y(a≠0), 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),所以選C. 2.(2018·新余一中模擬)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l:

2、 y=-4的距離小2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　D　) (A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y 解析:因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到A(0,2)點(diǎn)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,所以動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與它到直線y=-2的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以A(0,2)為焦點(diǎn),以直線y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y,故選D. 3.(2018·云南昆明一中月考)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A為C上一點(diǎn),以F為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),若∠BFD=120°,△ABD的面積為2,則p等于(　A　) (

3、A)1 (B) (C) (D)2 解析:因?yàn)椤螧FD=120°, 所以圓的半徑|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p, 由拋物線定義,點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d=|FA|=2p, 所以|BD|·d=2p·p=2, 所以p=1,選A. 4.(2018·四川南充二模)拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),連接PF并延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)Q,若|PF|=|PQ|,則|QF|等于(　C　) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:如圖,直線l與x軸的交點(diǎn)為D, 過(guò)Q點(diǎn)作QQ′⊥l,Q′為垂足, 設(shè)|QF|=d,由拋物線的定義可知 |QQ′|=d,又|PF|=|

4、PQ|, 所以|PF|=4d,|PQ|=5d, 又△PDF∽△PQ′Q, 所以=,解得d=5, 即|QF|=5,故選C. 5.(2018·湖南兩市九月調(diào)研)如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),且|AF|=4,則線段AB的長(zhǎng)為(　C　) (A)5 　　　　　(B)6 (C) 　　　　　(D) 解析:如圖, 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D, 所以|AF|=|AD|=4, 由點(diǎn)F是AC的中點(diǎn), 有|AF|=2|MF|=2p. 所以2p=4,解得p=2, 拋物線y2=4x 設(shè)A(x1,y1),B(x

5、2,y2), 則|AF|=x1+=x1+1=4. 所以x1=3,A(3,2),F(1,0). kAF==. AF:y=(x-1)與拋物線y2=4x, 聯(lián)立得3x2-10x+3=0,x1+x2=, |AB|=x1+x2+p=+2=. 故選C. 6.(2018·大慶中學(xué)模擬)已知點(diǎn)A(4,0),拋物線C:y2=2px(0

6、6x的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與直線x+y-1=0垂直,且直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　.? 解析:F是拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn), 所以F(4,0),又過(guò)F的直線l與直線x+y-1=0垂直. 所以直線l的方程為y=(x-4),代入拋物線C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0. 設(shè)A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=. 答案: 能力提升(時(shí)間:15分鐘) 8.(2018·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線l的距離為2,過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),若MM

7、′⊥l,NN′⊥l,垂足分別為M′,N′,則△M′N(xiāo)′F的面積為(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:因?yàn)閜=2,所以?huà)佄锞€方程為y2=4x, 直線MN:x=y+1, 由得y2-y-4=0, 則y1+y2=,y1y2=-4, 所以|y1-y2|==. 所以S△M′N(xiāo)′F=××2=.選B. 9.如圖,過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線依次交拋物線和圓(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四點(diǎn),則|AB|·|CD|等于(　C　) (A)4 (B)2 (C)1 (D) 解析:法一　(特值法)由題意可推得|AB|·|CD|為定值, 所以分析直線與x軸垂直

8、的情況,即可得到答案. 因?yàn)閳A(x-1)2+y2=1的圓心為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),半徑為1, 所以此時(shí)|AB|=|CD|=1. 所以|AB|·|CD|=1,故選C. 法二　(直接法)設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),拋物線的焦點(diǎn)為F,AD的方程為y=k(x-1). 則由 消去y,可得x1x2=1, 而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1, |CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2, 所以|AB|·|CD|=x1·x2=1. 故選C. 10.(2018·臨川二中模擬)如圖所示,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=

9、16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍為　　　　.? 解析:拋物線的準(zhǔn)線l:x=-2,焦點(diǎn)F(2,0),由拋物線定義可得|AF|=xA+2,圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),半徑為4,所以△FAB的周長(zhǎng)為|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以xB∈(2,6],所以6+xB∈(8,12]. 答案:(8,12] 11.(2018·東北三校二模)設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C

10、,|BF|=2,則△BCF與△ACF的面積之比=　　　　.? 解析:設(shè)AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=3, 而|BF|=2,所以x2+=2. 所以x2=,x1=2. ====. 答案: 12.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解:(1)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0), 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)

11、,|AB|=4,不滿(mǎn)足; 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 則Δ=16k2+16>0, 故x1+x2=,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=+2=8, 解得k2=1,則k=1, 所以直線l的方程y=x-1. (2)由(1)可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(3,2), 則直線AB的垂直平分線方程為 y-2=-(x-3), 即y=-x+5, 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0), 則 解得或 因此,所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=14

12、4. 13.(2018·東城區(qū)二模)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2),A,B是拋物線C上異于點(diǎn)O的不同的兩點(diǎn),其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)若OA⊥OB,求△AOB面積的最小值. 解:(1)由拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2)知4p=4,解得p=1, 則拋物線C的方程為y2=2x, 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=-. (2)由題知,直線AB不與y軸垂直,設(shè)直線AB:x=ty+a. 由消去x,得y2-2ty-2a=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=2t,y1y2=-2a, 因?yàn)镺A⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 即+y1y2=0, 解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4, 所以-2a=-4,解得a=2, 所以直線AB:x=ty+2, 所以直線AB過(guò)定點(diǎn)(2,0), S△AOB=×2×|y1-y2| = =≥ =4. 當(dāng)且僅當(dāng)y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2時(shí),等號(hào)成立, 所以△AOB面積的最小值為4.