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1、專題8 解析幾何,第2講綜合大題部分,考情考向分析 1直線與圓的問(wèn)題，以相交或相切為主，求直線或圓的有關(guān)定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題 2直線與圓錐曲線的問(wèn)題，以直線與橢圓、拋物線相交為主，求有關(guān)定點(diǎn)、定值、最值、范圍或存在性問(wèn)題,考點(diǎn)一直線與圓的關(guān)系 (1)求圓O的方程； (2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，E，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線l的方程； (3)設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)(m,0)和(n,0)，問(wèn)mn是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由,(3)設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(x1，
2、y1)， 故mn為定值，且其值為2.,解決此類問(wèn)題，需要過(guò)好三關(guān)：一是“借形關(guān)”：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，理清其中關(guān) 系 二是“轉(zhuǎn)化關(guān)”：如本題(1)(2)求圓的弦長(zhǎng)、切線問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離 三是“化簡(jiǎn)關(guān)”：如本題(3)中，用坐標(biāo)表示mn，并化簡(jiǎn)得定值,考點(diǎn)二定點(diǎn)問(wèn)題 (1)求C的方程； (2)已知直線l不過(guò)點(diǎn)P且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，證明：l過(guò)定點(diǎn),(2)證明：由(1)得P(1,1) 設(shè)l：xnyt，由于直線l不過(guò)點(diǎn)P(1,1)， 所以nt1. 由題意，判別式n24t0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2n， y1y2t，,由題意，得
3、y1y2(y1y2)11， 即y1y2(y1y2)0， 將代入得tn0，即tn. 所以l：xn(y1)顯然l過(guò)定點(diǎn)(0，1),曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解思路一般有以下兩種：一是“特殊探路，一般證明”，即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明；二是“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)，如本題的求解,考點(diǎn)三定值問(wèn)題 (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：ykxm與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G在橢圓C上，且四邊形OEGF為平行四邊形，求證：四邊形OEGF的面積S為定值,解析：(1)由題意知，M(a,0)，N(0，b)， 點(diǎn)N是線段MB的中
4、點(diǎn)， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(a,2b)，,求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān) (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值,考點(diǎn)四最值(范圍)問(wèn)題,證明：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則 (x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0) 由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1， y3(y1y2)2m0.,有關(guān)圓錐曲線的最值問(wèn)題類型多樣且解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：代數(shù)法和幾何法若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；若題目的條件和結(jié)論
5、能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值,考點(diǎn)五存在性問(wèn)題 已知拋物線C：y2x2，直線l：ykx2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (1)證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解析：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)， 又過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N， 因?yàn)閥2x2，所以y4x， 故拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行,即k412k2640，解得k2. 故存在實(shí)數(shù)k2，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)
6、過(guò)點(diǎn)N.,有關(guān)存在性問(wèn)題的求解 (1)存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問(wèn)題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，并設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，若方程(組)有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在 (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題的常用方法,求軌跡方程時(shí)忽視隱含條件致誤 典例(2018汕頭校級(jí)期中測(cè)試)如圖所示，在平面直角坐 標(biāo)系xOy中，已知F(1,0)，直線l：x1，點(diǎn)P在直線l上 移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，異于點(diǎn)R的點(diǎn)Q滿足： RQFP，PQl. (1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程； (2)記點(diǎn)Q
7、的軌跡方程為E，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線 AB與直線CD，分別交曲線E于A，B，C，D四點(diǎn)，設(shè) AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.問(wèn)直線MN是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？ 如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由,解析(1)依題意知，直線l的方程為x1，R是線段FP的中點(diǎn)，且RQFP，所以RQ是線段FP的垂直平分線，所以|PQ|QF|.易知|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn)，直線l：x1為準(zhǔn)線的拋物線(除原點(diǎn)外)，(利用拋物線的定義判定軌跡是拋物線) 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為y24x(x0)(寫(xiě)軌跡方程時(shí)勿遺漏限制條件x0) (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，
8、yM)，N(xN，yN),整理得y(1k2)k(x3)， 所以直線MN恒過(guò)點(diǎn)(3,0)(當(dāng)x3，y0時(shí)，等式成立，與參數(shù)k無(wú)關(guān)),易錯(cuò)防范(1)本題易忽視限制條件“點(diǎn)Q異于點(diǎn)R”，從而得到“動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線”這一錯(cuò)誤結(jié)論事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)Q位于原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)R重合，不符合題意 (2)“到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線”，這一定義中隱含著一個(gè)條件“定點(diǎn)不在定直線上”，如果定點(diǎn)在定直線上，那么到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是過(guò)該點(diǎn)并且垂直于定直線的直線，而不是拋物線 (3)遺漏直線的斜率不存在的情況 (4)求解圓錐曲線綜合問(wèn)題時(shí)忽視“相交”的限制 (5)求解圓錐曲線綜合問(wèn)題時(shí)不能合理轉(zhuǎn)化已知條件,
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