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1、考點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算,考點(diǎn)清單,考向基礎(chǔ) 1.定義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示. 2.通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是 an=a1+(n-1)d,nN*.,3.等差中項(xiàng) 如果A=,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).,4.前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則其前n項(xiàng)和Sn=或Sn= na1+d.,考向突破,考向等差數(shù)列中的基本運(yùn)算,例已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為d(dN*)的等差數(shù)列,若81是該數(shù)列中的一項(xiàng),則公差不可能是() A.2
2、B.3C.4D.5,解析數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為d(dN*)的等差數(shù)列,an=1+(n-1)d, 81是該數(shù)列中的一項(xiàng),81=1+(n-1)d,n=+1, d,nN*,d是80的因數(shù).只有選項(xiàng)B中的3不是80的因數(shù).故選B.,答案B,考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,考向基礎(chǔ) 1.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則ak+al=am+an. (3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d. (4)若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn(p,q是常數(shù))仍是等差數(shù)列
3、. (5)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為 md的等差數(shù)列.,相同,公差是an的公差的. (2)若Sm,S2m,S3m分別為an的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列. (3)非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì): (i)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=.,2.與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) (1)若an是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項(xiàng)與an的首項(xiàng),(5)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最值: (i)若a10,d0,則從首項(xiàng)到最后一個(gè)非正項(xiàng)的和最小. (iii)若數(shù)列中有常數(shù)項(xiàng)0,則Sn的最值對(duì)應(yīng)兩個(gè)n
4、值.,(ii)若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. (4)若兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,則=.,知識(shí)拓展 利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)明確兩點(diǎn): (1)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可變形為an=dn+(a1-d). 若d=0,則an=a1是常數(shù)列; 若d0,則an是關(guān)于n的一次函數(shù). 點(diǎn)(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上的一群孤立的點(diǎn). 單調(diào)性:d0時(shí),an為單調(diào)遞增數(shù)列;d0時(shí),an為單調(diào)遞減數(shù)列. (2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可表示為Sn=n2+n,令A(yù)=,B=a1-, 則Sn
5、=An2+Bn.當(dāng)A0,即d0時(shí),Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),(n,Sn)在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點(diǎn).利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和,Sn的最值問(wèn)題.,考向突破,考向一求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值,例1已知數(shù)列an為等差數(shù)列,若 0的n的最大值為.,解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, 0,d0,a70,S12= =0的n的最大值為11.,答案11,考向二等差數(shù)列的常用性質(zhì),例2已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若-= 100,則d的值為() A.B.C.10D.20,解析an為等差數(shù)列,=a1+(n-1),則為等 差數(shù)列,且公差為,-=2 00
6、0=100,即d=,故選B.,答案B,方法1等差數(shù)列的基本運(yùn)算技巧 1.等差數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公差d確定,所有關(guān)于等差數(shù)列的計(jì)算和證明,都可圍繞a1和d進(jìn)行. 2.對(duì)于等差數(shù)列問(wèn)題,一般給出兩個(gè)條件,就可以通過(guò)列方程(組)求出a1,d.如果再給出第三個(gè)條件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”問(wèn)題,這體現(xiàn)了用方程思想解決問(wèn)題的思路. 3.注意設(shè)元技巧,減少運(yùn)算量.如果三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,一般可設(shè)為a-d,a,a+d;如果四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.,方法技巧,例1已知an是首項(xiàng)為-,公差為d(d0)的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和, 若S1,S2,S4成
7、等比數(shù)列,則d=() A.-1B.-C.D. 解題導(dǎo)引,解析Sn=na1+d,因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列, 所以S1S4=, 即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, 因?yàn)閍1=-, 所以-(-2+6d)=(-1+d)2, 即d2+d=0,解得d=0或d=-1. 又因?yàn)閐0,所以d=-1,故選A.,答案A,方法2等差數(shù)列的判定方法 1.證明一個(gè)數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種: (1)利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中項(xiàng)證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*). 2.解選擇題、填空題時(shí),可用通項(xiàng)法或前n項(xiàng)和法直接判斷: (1)通項(xiàng)法:
8、若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則an是等差數(shù)列; (2)前n項(xiàng)和法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an為等差數(shù)列.,例2已知數(shù)列an中,a1=,an=2-(n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn= (nN*). (1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說(shuō)明理由.,解析(1)證明:因?yàn)閍n=2-(n2,nN*), bn=(nN*), 所以bn+1-bn=- =-=-=1.,則an=1+=1+. 設(shè)f(x)=1+, 則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù). 所以當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值,為-1,當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值,為3.,又b1=-, 所以數(shù)列bn是以-為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知bn=n-,方法3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的求解方法 求等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法:,例3在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值?并求出此最大值.,
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