江西省萍鄉(xiāng)市高中數(shù)學(xué) 第二章 解析幾何初步 2.2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件 北師大版必修2.ppt

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1、2圓與圓的方程,2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑,并運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.掌握利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,借助圓的幾何性質(zhì)處理與圓心及半徑有關(guān)的問(wèn)題.,1.確定圓的條件一個(gè)圓的圓心位置和半徑一旦給定,這個(gè)圓就確定了.2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓,定點(diǎn)叫作圓的圓心,定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑.(2)方程:圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),有a=b=0,那么圓的方程為x2+y2=r2.【做

2、一做1】圓C:(x-2)2+(y+1)2=3的圓心坐標(biāo)是()A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)答案:B,【做一做2】分別求滿足下列各條件的圓的方程:(1)圓心是原點(diǎn),半徑是3;(2)圓心為點(diǎn)C(3,4),半徑是;(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1),圓心是點(diǎn)C(8,-3).解:(1)x2+y2=9.(2)(x-3)2+(y-4)2=5.r2=25.又圓心是點(diǎn)C(8,-3),圓的方程為(x-8)2+(y+3)2=25.,方法二:圓心為C(8,-3),故設(shè)圓的方程為(x-8)2+(y+3)2=r2.又點(diǎn)P(5,1)在圓上,(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25.故所求圓的方

3、程為(x-8)2+(y+3)2=25.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】求經(jīng)過(guò)A(6,5),B(0,1)兩點(diǎn),并且圓心在直線l:3x+10y+9=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析:思路一:線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)是圓心,則解方程組得圓心坐標(biāo),圓心到點(diǎn)A(或點(diǎn)B)的距離等于半徑,可直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;思路二:設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,列方程組求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思1.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法包括幾何法和待定系數(shù)法,由圓的幾何性質(zhì)易求圓心坐標(biāo)和半徑時(shí),用幾何法可簡(jiǎn)化運(yùn)算,其他情況可用待定系數(shù)法.2.一般地,不在同

4、一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓;三角形有唯一的外接圓和內(nèi)切圓,外接圓圓心為三角形中三邊垂直平分線的交點(diǎn);內(nèi)切圓圓心為三條角平分線的交點(diǎn).已知圓心所在直線及圓上兩點(diǎn),則兩點(diǎn)連線的垂直平分線與圓心所在直線的交點(diǎn)為圓心.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求其外接圓的方程.分析:方法一:三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為外接圓的圓心,由此確定任意兩邊的垂直平分線的方程,聯(lián)立方程組得到圓心并可計(jì)算出半徑.方法二:設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入三點(diǎn)坐標(biāo),得關(guān)于a,b,r的方程組.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三

5、,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例2】求以點(diǎn)C(3,-5)為圓心,6為半徑的圓的方程,并判斷點(diǎn)P1(4,-3),P2(3,1),P3(-3,-4)與這個(gè)圓的位置關(guān)系.分析:根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.判斷點(diǎn)在圓上、圓外、圓內(nèi)的方法是:根據(jù)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法:(1)幾何法:比較圓心到該點(diǎn)的距離d與圓的半徑r的大小;(2)代數(shù)法:直接利用下面的不等式判定.(x0-a)2+(y0-b)2r2,點(diǎn)(x0,y0)在圓外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點(diǎn)(x0

6、,y0)在圓上;(x0-a)2+(y0-b)2r2,點(diǎn)(x0,y0)在圓內(nèi).,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練2】已知兩點(diǎn)P1(3,8)和P2(5,4),求以線段P1P2為直徑的圓的方程,并判斷點(diǎn)M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在此圓上,在此圓內(nèi),還是在此圓外?,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】如圖所示是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐,求支柱CD的高度(精確到0.01m).分析:根據(jù)題目中的已知條件,求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后求出圖中點(diǎn)C的坐標(biāo),則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就是所求.

7、,題型一,題型二,題型三,題型四,解:以AB所在直線為x軸,OP所在直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則圓心在y軸上.設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.因?yàn)辄c(diǎn)P,B都在圓上,所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足圓的方程.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思通過(guò)建立坐標(biāo)系,把點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程聯(lián)系起來(lái),實(shí)現(xiàn)空間圖形與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合,是解決幾何問(wèn)題的重要方法.要特別注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化.在通常情況下,使圖形中某些線段在坐標(biāo)軸上,線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)在原點(diǎn),遇到圖形中有兩條互相垂直的線段,常常

8、選這兩條線段所在的直線為坐標(biāo)軸;遇到軸對(duì)稱(chēng)圖形,常常選它的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸;遇到中心對(duì)稱(chēng)圖形,常常選它的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn).,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練3】如圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在l位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為多少?(精確到0.01m),題型一,題型二,題型三,題型四,解:以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.將點(diǎn)A的坐標(biāo)(6,-2)代入方程得36+(r-2)2=r2

9、,r=10.圓的方程為x2+(y+10)2=100.當(dāng)水面下降1m后,可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,-3)(x00),題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練4】圓心在直線2x-y=3上,且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析:設(shè)圓心的坐標(biāo)C為(a,b),則|a|=|b|,圓心在直線2x-y=3上,當(dāng)a=b時(shí),代入直線方程得a=b=3,此時(shí)圓的方程為(x-3)2+(y-3)2=9;當(dāng)a=-b時(shí),同理得a=1,b=-1,此時(shí)圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1.答案:(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1,12345,答案:B,12345,答案:B,12345,3.點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)P在圓外B.點(diǎn)P在圓內(nèi)C.點(diǎn)P在圓上D.不確定解析:(m-0)2+(5-0)2=m2+2524,點(diǎn)P在圓外.答案:A,12345,4已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1),B(1,3)兩點(diǎn),圓心在x軸上,則C的方程為.答案:(x-2)2+y2=10,12345,