專題二 三角函數(shù)、平面向量與解三角形

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1、專題二三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第6講 三角恒等變換與三角函數(shù)云覽高考考點統(tǒng)計題型(頻率)考例(難度)考點1三角恒等變換選擇(5)填空(1)2012遼寧卷7(A)，2012廣東卷16(B)，2012江西卷4(A)考點2三角函數(shù)的圖象與解析式 選擇(4)填空(1)解答(1)2012北京卷15(B)，2012安徽卷16(B)，2012浙江卷4(B)考點3三角函數(shù)性質(zhì)及綜合問題選擇(2)解答(8)2012課程標準卷9(B)，2012四川卷18(B)說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題頻率為分析2012各省市課標卷情況二輪復習建議命題角度：該部分的命題主要圍繞三個點展開第一個點是圍繞三角恒

2、等變換展開，考查使用和、差角公式，倍角公式，誘導公式，同角三角函數(shù)關系等進行變換求值問題，試題難度不大；第二個點是圍繞三角函數(shù)的圖象展開，考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合等問題；第三個點是圍繞三角函數(shù)性質(zhì)展開，考查根據(jù)三角函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)推斷函數(shù)解析式中的參數(shù)等問題預計2013年的考查會延續(xù)近幾年的命題方向，主要考查簡單的三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用復習建議：根據(jù)課標區(qū)五年來對該部分的考查情況，該部分無論在考查難度還是在考查量(分值)上都與其地區(qū)有較大的差異，五年來沒有出現(xiàn)一道解答題，即使是選擇題、填空題

3、其大多數(shù)的難度也都在A，B兩個層級，安徽、廣東、陜西等其他新課標省份每年都單獨考查一個三角恒等變形、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的解答題，難度不大，因此復習該部分時主要以基礎為主，注重小題為主，兼顧大題，不要過分展開主干知識整合1.三角函數(shù)定義、同角關系與誘導公式(1)定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則siny，cosx，tan.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角關系：sin2cos21，tan.(3)誘導公式：在360，180，90，270的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)圖象的記憶：根據(jù)正弦函數(shù)圖

4、象過(0,0)、余弦函數(shù)圖象過(0,1)、正切函數(shù)圖象過(0,0)及在各象限的符號記憶；(2)性質(zhì)的記憶：由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象理解各函數(shù)的性質(zhì)，包括：定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性3yAsin(x)的圖象與性質(zhì)yAsin(x)，yAcos(x)的最小正周期是，yAtan(x)的最小正周期是.其定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)結合ysinx，ycosx，ytanx的性質(zhì)理解4.恒等變換公式sin()sincoscossin， cos()coscossinsin，tan()，sin22sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2.要點熱點探究探究點一三角恒等

5、變換例1 (1)設tan，tan是方程x23x20的兩根，則tan()的值為(A)A3 B1 C1 D3(2)2012山東卷 若，sin2，則sin(D)A. B. C. D.規(guī)范評析 三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時只要根據(jù)求解目標的需要，結合已知條件選用合適的公式計算即可本例(1)從整體上求解，實際上也可以直接求出tan，tan的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要問題是使用同角三角函數(shù)關系和降冪公式，在開方時符號的選取，其基本原則是依據(jù)角所在的象限確定三角函數(shù)值的符號變式題 (1)若tan()，則的值為(D)A. B. C D.(2)設，都是銳角，且cos，sin()，

6、則cos(D)A. B. C.或 D.或探究點二三角函數(shù)的圖象與解析式例2 (1)2012浙江卷 把函數(shù)ycos2x1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是(A)圖261(2)函數(shù)的部分圖象如圖262所示，則將yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為(D)圖262Aysin2x Bycos2x Cysin Dysin規(guī)范評析 根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)圖象時要注意對已知的函數(shù)解析式進行恒等變換，把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后再根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則找出符合要求的函數(shù)圖象；根據(jù)函數(shù)圖象得出函數(shù)解

7、析式時，要善于根據(jù)函數(shù)圖象上反映出的函數(shù)性質(zhì)、特殊點的坐標確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)變式題 (1)函數(shù)f(x)Asin(x)0，|0，0,00，函數(shù)f(x)sin在單調(diào)遞減，則的取值范圍是(A)A. B. C. D(0,2規(guī)范評析 三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵，在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式變換函數(shù)解析式三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的單調(diào)性也可以使用導數(shù)的方法進行研究規(guī)律技巧提煉規(guī)律解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題，變換是核心，把三角函數(shù)的解析式通過變換，化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù)，然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切

8、函數(shù)的性質(zhì)進行研究技巧1.角的變換技巧，如2()()(2)4等，基本原則是化未知為已知2當已知sincos時，可以與同角三角函數(shù)關系聯(lián)合使用，同時注意(sincos)21sin2，利用這個關系可進行換元，如求ysinxcosxsin2x的值域，只要令tsinxcosx，則sin2xt21，即化為求yt2t1，t，的值域易錯1.求三角函數(shù)值域時，在自變量的范圍內(nèi)存在函數(shù)最值時容易出錯，如求ysin在上的值域，此時2x，此時函數(shù)值是從增大到1，再減小到，其值域是，不是.2圖象均是由點構成，圖象變換也就是點的變換，而點是由橫、縱坐標組成，圖象變換的本質(zhì)就是橫、縱坐標作相應的變化，所以從改變橫坐標x、

9、縱坐標y的角度看，有平移變換與伸縮變換：平移變換分為水平方向上的平移(y不變，x都改變相同的量)和垂直方向上的平移(x不變，y都改變相同的量)；伸縮變換分水平方向上的伸縮(y不變，x都改變相同的率)和垂直方向上的伸縮(x不變，y都改變相同的率)，如函數(shù)ysin2x的圖象向右平移個單位應是ysin，而不是ysin.命題立意追溯運算求解能力三角變換的方法技巧示例 已知為第二象限角，sincos，則cos2(A)A B C. D.命題闡釋 本題的立意是考查使用三角恒等變換公式進行運算的能力通過靈活選用公式、不同方位變換已知和求解目標，考查運算的合理性和靈活性 跟蹤練1已知sincos，則sincos

10、的值為(B)A. B C. D2如果為第二象限角且sin，則(B)A. B C. D教師備用例題選題理由：例1說明角的變換方法，具有較高的技巧性，可在探究點一中使用；例2是由函數(shù)性質(zhì)推斷函數(shù)解析式，可在探究點二中使用；例3說明三角函數(shù)綜合解答題的模式例12012江蘇卷 設為銳角，若c，則的值為_ 例2函數(shù)ysin(x)0，|，sinAcosB，cosAc2.類比三角形ABC為鈍角三角形可得相應結論.要點熱點探究探究點一正弦定理與余弦定理的應用例1 (1)2012天津卷 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cosC(A)A. B C D.(2)2012陜西

11、卷 在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2b22c2，則cosC的最小值為(C)A. B. C. D規(guī)范評析 解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進行的當已知三角形邊長的比時使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導下求解的；當已知三角形三邊之間的關系式，特別是邊的二次關系式時要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的余弦關系式，再考慮問題的下一步解決方法變式題 (1)在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_(2)在ABC中，已知sinBsinCsinA(cosBcosC)，則ABC的形狀為_答案 (1)2(2)直角三角形探究點二三

12、角形的面積問題例2 在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m(cosA，cosB)，n(2cb，a)，且mn.(1)求角A的大??；(2)若a4，求ABC面積的最大值規(guī)范評析 在含有邊角混合等式的問題中，如何進行轉(zhuǎn)化是問題的關鍵當?shù)仁街泻薪堑挠嘞摇⒄視r首先要考慮使用正弦定理把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關系，以便于問題的解決在解三角形問題中要注意方程思想的應用，正弦定理、余弦定理本身就是一個方程，當已知三角形面積時得邊角的一個方程，就把求解的元素納入到方程中，通過方程解三角形探究點三解三角形的實際應用例3 如圖271，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達的兩點A，B之間的距

13、離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 km.(1)求CDE的面積；(2)求A，B之間的距離如圖271規(guī)范評析 解三角形的實際應用問題就是把求解的量納入到一個可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中，這個三角形的一些元素如果不完全具備就要借助于其他的三角形求解，如本題中就是先根據(jù)兩個可解三角形求出了我們需要求解的三角形的兩邊長度規(guī)律技巧提煉規(guī)律當已知三角形的兩邊和其中一個邊的對角求解第三邊時，可以使用正弦定理，

14、也可以使用余弦定理使用余弦定理就是根據(jù)余弦定理本身是一個方程，這個方程聯(lián)系著三角形的三個邊和其中的一個內(nèi)角，在這類試題中要注意方程思想的運用技巧在與三角形面積SabsinC有關的問題中，注意使用不等式ab.易錯當已知兩邊及一邊的對角，而使用正弦定理解三角形時，可能有一解、兩解，注意討論；在求與三角形內(nèi)角有關的三角函數(shù)取值范圍、最值時忽視角的范圍.命題立意追溯 應用意識通過解三角形進行數(shù)學建模 示例2012安徽卷 設ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)答案 若abc2，則C2c，則C；若a3b3c3，則C；若(ab)c；若(a2b2)c

15、2.命題闡釋 本題考查三角形、正余弦定理以及基本不等式，考查轉(zhuǎn)化化歸思想及運算能力，難度較大逐一判斷，結合三角形的性質(zhì)、正余弦定理、不等式性質(zhì)以及基本不等式，恰當運用不等式變形的方法和技巧 跟蹤練在ABC中，a，b，c是角A，B，C所對的邊長，且a2b2c22absinC，則ABC的形狀是_(填寫直角、銳角、鈍角或正三角形).教師備用例題選題理由：例1較為全面地考查了解三角形的知識和三角函數(shù)的知識在處理平面圖形問題中的應用，可作探究點二的補充；例2主要考查三角恒等變換在解三角形中的應用，正弦定理只是輔助作用，這也是三角函數(shù)解答題的命題方式之一，可作探究點二的補充例1 在ABC中，三個內(nèi)角A，B

16、，C的對邊分別為a，b，c，其中c2，且.(1)求證：ABC是直角三角形；(2)如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧上，求PAC面積的最大值 例22012江西卷 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A，.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積第8講 平面向量及向量的應用 云覽高考考點統(tǒng)計題型(頻率)考例(難度)考點1平面向量的概念與線性運算選擇(6)2012廣東卷3(A)，2012安徽卷8(B)考點2平面向量的數(shù)量積選擇(2)填空(3)2012課程標準卷13(A)，2012廣東卷8(C)，2012安徽卷14(B)考點3向量的平行與垂直選擇(5)2012四川卷7(A)

17、，2012浙江卷5(A)，2012重慶卷6(A)說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題頻率為分析2012各省市課標卷情況二輪復習建議命題角度：該部分的命題主要圍繞三個點展開第一個點是圍繞平面向量本身的重點內(nèi)容展開，考查平面向量的線性運算、數(shù)量積運算、向量的平行與垂直關系的應用等，目的是考查平面向量的核心內(nèi)容，試題一般是選擇題或者填空題，難度也不大；第二點是與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何等交匯考查，平面向量的知識起到表達三角函數(shù)關系、三角形中的邊角關系、解析幾何中的幾何關系的作用，這里考查的向量的知識是基礎性的，目的是考查平面向量的工具性功能；第三點是向量與不等式的性質(zhì)、基本不等式結合

18、，這主要考查在不同形式下對代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化的能力預計2013年對該部分的考查仍然會以基礎考查為主，考查平面向量的核心內(nèi)容，在解析幾何、三角函數(shù)、解三角形中考查平面向量的平行、垂直、數(shù)量積以及向量和不等式結合等問題復習建議：平面向量既是高中數(shù)學的基礎知識也是工具性知識，從全國課標近五年高考考查的情況看，單純平面向量的考查均為選擇題或者填空題，其中兩次使用平面向量表達解析幾何試題，因此在本講中以平面向量本身的核心內(nèi)容為主，適度涉及平面向量與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何以及不等式的綜合主干知識整合1.向量的概念(1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的模長度為0，方向

19、任意的向量為零向量，0與任一非零向量共線(2)向量夾角：a，b的夾角記為a，b，范圍是.(3)投影：a，b，cos叫做b在a方向上的投影投影是數(shù)量2向量的運算與重要法則(1)加法、減法運算：ab為平行四邊形法則，ab為三角形法則；(2)數(shù)乘運算：(a)()a，()aaa，(ab)ab；(3)數(shù)量積運算：abba，(ab)cacbc，(a)ba(b)(ab)3兩非零向量平行、垂直的充要條件(1)共線條件：a，b(b0)共線存在，ab，坐標表示為(x1，y1)(x2，y2)x1y2x2y1；(2)垂直條件：abab0，坐標表示為x1x2y1y20.要點熱點探究例1 (1)2012廣東卷 若向量(2

20、,3)，(4,7)，則(A)A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)(2)在ABC所在的平面內(nèi)有一點P，如果2，那么PBC的面積與ABC的面積之比是(A)A. B. C. D.點評 向量的線性運算是指加減運算和數(shù)乘運算，它們具有明確的幾何運算方法，解題時只要按照運算法則進行即可要特別注意對向量按照減法法則進行分解時，對任意一點，分解的結果是“終點向量減去起點向量”，這是極容易出錯的地方探究點二平面向量的數(shù)量積問題例2 (1)2012課程標準卷 已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)2012天津卷 已知ABC為等邊三角形，AB2，設點P，Q滿足，(

21、1)，R.若，則()A. B. C. D.答案 (1)3(2)A點評 平面向量的數(shù)量積運算是平面向量的核心內(nèi)容，是高考考查的重點本例第一題中使用的是2(ab)(ab)22ab2，這是根據(jù)數(shù)量積運算律得出的結果，在求解向量的模中起重要作用；本例第二題采用的基向量的方法，即把問題涉及的向量都用兩個已知長度和夾角的不共線向量表示(平面向量基本定理)，這是解決平面向量問題的一個基本技能本例的兩個題目都可以建立平面直角坐標系使用坐標方法解決，如第一題，把向量a，b起點放在坐標原點，向量a的終點放在x軸正半軸上，則a(1,0)，向量b的終點放在第一象限，設r，根據(jù)三角函數(shù)定義，b，此時2ab，由于，所以，

22、即r22r60，解之即得r3.變式題 平面上O，A，B三點不共線，設a，b，則OAB的面積等于(C)A. B. C. D.探究點三有關向量的平行、垂直問題例3 (1)設x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|(B)A. B. C2 D10(2)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是(C)Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|點評 根據(jù)平行關系、垂直關系求解待定系數(shù)是高考中經(jīng)常考查的問題，其基本思想是根據(jù)兩向量平行、垂直的充要條件得出方程，通過解方程求得結果；本例第二題中，都是單位向量，兩個單位向量相等的充要條件是其方向相同，因此對

23、非零向量a，b，ab(0)變式題 (1)在ABC中，若，則ABC是(D)A等邊三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D直角三角形(2)如圖281，已知|3，|1，0，AOP，若t，則實數(shù)t等于(B)圖281A. B. C. D3探究點三平面向量的綜合應用例4 2012安徽卷 若平面向量a，b滿足|2ab|3，則ab的最小值是_.點評 本題考查平面向量的運算和函數(shù)最值的分析，考查分析能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想隨著新課標高考內(nèi)容的變化，向量與平面幾何結合已經(jīng)不可能考查得很深入，有一個熱點要引起我們的重視，那就是向量與不等式規(guī)律技巧提煉規(guī)律1.對于非零向量a，b，當|ab|ab|時，平行四邊形的兩條對角

24、線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價于向量a，b互相垂直，反之也成立 2點O不在直線AB上，A，B，C三點共線的充要條件是(1)技巧向量的問題可以根據(jù)向量的坐標運算公式進行純粹的代數(shù)運算，實現(xiàn)向量問題的代數(shù)化在試題中不含有向量的坐標時，要善于根據(jù)問題的實際情況，在不改變問題本質(zhì)的情況下建立適當?shù)淖鴺讼?，把向量問題代數(shù)化易錯減法法則很容易使用錯誤，向量(其中O為我們所需要的任何一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時，要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向

25、共線.命題立意追溯運算求解能力建立平面直角坐標系解決向量數(shù)量積問題示例 2012北京卷 已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_1_.的最大值為_1_命題闡釋 本題立意是通過平面向量的數(shù)量積考查運算求解能力，題目在正方形中考查向量的數(shù)量積，一個明顯的意圖就是引導考生使用坐標方法解決問題，實際上坐標方法求解本題非常方便，這體現(xiàn)了運算合理性、簡捷性的要求 跟蹤練1在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，動點P在梯形ABCD內(nèi)運動(含邊界)，設，則的最大值是(A)A. B. C1 D.2在ABC中，BAC120，|2，|1，點P滿足(01)，則2的取值范圍是(D)A

26、.B.C.D.教師備用例題選題理由：例1把三角函數(shù)與平面向量交匯，重點是思考問題的方法，可供學生開闊思路；例2是從另一個角度說明了三角函數(shù)定義域和平面向量的旋轉(zhuǎn)之間的關系，也可從向量的數(shù)量積出發(fā)求解，這個題目蘊含的基本思想是復數(shù)乘法的幾何意義，也可供開闊學生思路使用；例3是一個新定義試題，有利于提高學生的理解能力這三個例題可在本講適當位置插入例12012山東卷 如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標為_答案 (2sin2,1cos2)例22012安徽卷 在平面直角坐標系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點Q的坐標是(A)A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2) 例32012廣東卷 對任意兩個非零的平面向量和，定義.若平面向量a，b滿足|a|b|0，a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，則ab(C)A. B1 C. D.13