2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性課件 北師大版必修4.ppt

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1、第一章 4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式,4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義及其應(yīng)用. 2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系. 3.理解周期函數(shù)的定義.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一 任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),使銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,在終邊上任取一點(diǎn)P,PMx軸于M,設(shè)P(x,y),|OP|r. 思考1 角的正弦、余弦分別等于什么?,答案 不會(huì).,思考2 對(duì)確定的銳角,sin ,cos 的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變?,思考3

2、若取|OP|1時(shí),sin ,cos 的值怎樣表示?,答案 sin y,cos x.,梳理 (1)對(duì)于任意角,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u,v),那么點(diǎn)P的 定義為角的正弦函數(shù),記作 ;點(diǎn)P的 定義為角的余弦函數(shù),記作 . (2)對(duì)于給定的角,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的,所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù).,縱坐標(biāo)v,vsin ,橫坐標(biāo)u,ucos ,知識(shí)點(diǎn)二 正弦、余弦函數(shù)的定義域,思考 對(duì)于任意角,sin ,cos 都有意義嗎?,答案 由三角函數(shù)的定義可知,對(duì)于任意角,sin ,cos 都有意

3、義.,梳理 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域,知識(shí)點(diǎn)三 正弦、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào),思考 根據(jù)三角函數(shù)的定義,你能判斷正弦、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎?,答案 由三角函數(shù)定義可知,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),則sin v,cos u. 當(dāng)為第一象限角時(shí),v0,u0,故sin 0,cos 0, 同理可得在其他象限時(shí)三角函數(shù)值的符號(hào).,梳理 正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號(hào),知識(shí)點(diǎn)四 周期函數(shù),思考 由sin(x2k)sin x(kZ)可知函數(shù)值隨著角的變化呈周期性變化,你能說一下函數(shù)的變化周期嗎?,答案 2,4,6,2,等都是函數(shù)的周期.,梳理 一般地,對(duì)

4、于函數(shù)f(x),如果存在 ,對(duì)定義域內(nèi)的_ _x值,都有 ,我們就把f(x)稱為周期函數(shù), 稱為這個(gè)函數(shù)的周期. 特別地,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),稱2k(kZ,k0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期,其中2是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中 的一個(gè),稱為 ,簡稱為周期.,非零實(shí)數(shù)T,任意,一個(gè),f(xT)f(x),T,最小,最小正周期,思考辨析 判斷正誤 1.函數(shù)f(x)x2滿足f(36)f(3),所以f(x)x2是以6為周期的周期函數(shù).( ),提示 周期函數(shù)需滿足對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)值x,都有f(xT)f(x), 對(duì)于f(x)x2,f(0)0,f(06)f(6)36,f(0)f(06), f(x)x2

5、不是以6為周期的周期函數(shù).,2.任何周期函數(shù)都有最小正周期.( ),提示 對(duì)于常函數(shù)f(x)c,任意一個(gè)正實(shí)數(shù)都是其周期,因而不存在最小正周期.,答案,提示,題型探究,類型一 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的應(yīng)用,命題角度1 已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值,解答,x0,x1. 當(dāng)x1時(shí),P(1,3),,當(dāng)x1時(shí),P(1,3),,反思與感悟 (1)已知角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法 先利用直線與單位圓相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.,(2)當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.,跟蹤訓(xùn)練1 已知角的終邊過點(diǎn)P(3a

6、,4a)(a0),求2sin cos 的值.,若a0,則r5a,角在第二象限,,若a0,則為第一象限角,r2a,,若a0,則為第三象限角,r2a,,解答,類型二 正弦、余弦函數(shù)值符號(hào)的判斷,例3 (1)若是第二象限角,則點(diǎn)P(sin ,cos )在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 為第二象限角, sin 0,cos 0, 點(diǎn)P在第四象限,故選D.,答案,解析,(2)判斷下列各式的符號(hào). sin 145cos(210);,解 145是第二象限角, sin 1450, 210360150, 210是第二象限角, cos (210)0, sin 145cos(210)0

7、.,解答,sin 3cos 4.,解答,sin 30,cos 40, sin 3cos 40.,反思與感悟 準(zhǔn)確確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ),準(zhǔn)確記憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)是解決正弦、余弦函數(shù)值符號(hào)判斷問題的關(guān)鍵.,跟蹤訓(xùn)練3 若三角形的兩內(nèi)角A,B滿足sin Acos B0,則此三角形必為 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能,解析 由題意知,A,B(0,), sin A0,cos B0, B為鈍角.故選B.,答案,解析,類型三 周期性,例4 (1)已知函數(shù)f(x)在其定義域上都滿足f(x2)f(x),求證:函數(shù)f(x)是以4為周

8、期的周期函數(shù);,證明 f(x4)f (x2)2f(x2)f(x)f(x), 由周期函數(shù)定義知,函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,證明,證明,由周期函數(shù)定義知,函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,反思與感悟 (1)證明函數(shù)是周期函數(shù),只需根據(jù)定義:存在非零常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xT)f(x).,跟蹤訓(xùn)練4 若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)f(xa)f(xa)(a0,cos 0.,答案,解析,1,2,4,5,3,A.2 B.0 C.1 D.3,解析 f(x)是以1為一個(gè)周期的函數(shù), kZ且k0,也是f(x)的周期.,又當(dāng)x(1,0)時(shí),f(x)2x1,,1,2,4,5,3

9、,答案,解析,4.點(diǎn)P(sin 2 016,cos 2 016)位于第 象限.,解析 2 0165360216, 2 016是第三象限角, sin 2 0160,cos 2 0160, 點(diǎn)P位于第三象限.,1,2,4,5,3,答案,解析,三,5.已知角的終邊在直線y2x上,求sin cos 的值.,1,2,4,5,3,解答,規(guī)律與方法,1.三角函數(shù)的定義是以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ),要充分理解其內(nèi)涵,把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān),與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn). 2.三角函數(shù)值的符號(hào)主要涉及開方、去絕對(duì)值等計(jì)算問題,同時(shí)也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值情況,因角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)決定了三角函數(shù)值的符號(hào),所以當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)注意進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想. 3.正弦、余弦函數(shù)的周期性反映了終邊相同的角的三角函數(shù)值相等,作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求02(或0360)角的三角函數(shù)值.,

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