數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理 蘇教版選修2-1

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1、3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算3.1.2共面向量定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘)及其運(yùn)算律.3.了解共面向量的定義，并能從平面向量中兩向量共線的充要條件類比得到空間向量共面的充要條件.4.理解共面向量定理及其應(yīng)用.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念思考類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.答案梳理梳理(1)在空間，把具有 和 的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的 或 .空間向量也用有向線段表示，有向線段的 表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，

2、終點(diǎn)是B，則向量a也可記作 ，其模記為 .大小方向長(zhǎng)度模長(zhǎng)度(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做 ，記為0單位向量 的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度 而方向 的向量，稱為a的相反向量，記為a相等向量方向 且模 的向量稱為相等向量，且 的有向線段表示同一向量或相等向量零向量模為1相等相反相同相等同向等長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)二空間向量及其線性運(yùn)算acabca2.空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：ab ；(ab)c ；(ab)(R).baa(bc)ab知識(shí)點(diǎn)三共線向量(或平行向量)1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 ，那么這些向量叫做共線向量或平行向量

3、.若向量a與b平行，記作 ，規(guī)定 與任意向量共線.2.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 .平行重合ab零向量ba知識(shí)點(diǎn)四共面向量及共面向量定理思考1當(dāng)a，b共線時(shí)，共面向量定理的理論一定成立嗎？不成立.當(dāng)p與a，b都共線時(shí)，存在不惟一的實(shí)數(shù)組(x，y)使pxayb成立.當(dāng)p與a，b不共線時(shí)，不存在(x，y)使pxayb成立.即當(dāng)a，b共線時(shí)，共面向量定理的結(jié)論不成立.答案思考2向量a，b，c共面，表示三個(gè)向量的有向線段所在的直線都共面嗎？不一定.若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，它們所在的直線平行、相交、異

4、面都有可能.答案共面向量及共面向量定理梳理梳理共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得_ _pxayb題型探究類型一空間向量的概念及應(yīng)用例例1如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)試寫(xiě)出與 相等的所有向量；解答(2)試寫(xiě)出 的相反向量；解答(3)若ABAD2，AA11，求向量 的模.解答引申探究引申探究如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：?jiǎn)挝幌蛄抗灿卸嗌賯€(gè)？解答試寫(xiě)出模為 的

5、所有向量；解答試寫(xiě)出與向量 相等的所有向量；解答試寫(xiě)出向量 的所有相反向量.解答在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1給出以下結(jié)論：兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；若空間向量a，b滿足|a|b|，則ab；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp.其中不正確的命題的序號(hào)為_(kāi).答案解析兩個(gè)空間向量相等，它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故不正確；若空間向量a，b滿足|a|b|，則不一定能判

6、斷出ab，故不正確；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正確；顯然正確.類型二空間向量的線性運(yùn)算例例2如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.解答解答引申探究引申探究解答結(jié)合加法運(yùn)算反思與感悟化簡(jiǎn)向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后利用運(yùn)算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)為止.首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；若首尾相接的若干個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則這些向量的和為0.證明平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，類型三向量共線定理的理解與應(yīng)用解答求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)

7、共線.反思與感悟(1)判定共線：判定兩向量a，b(b0)是否共線，即判斷是否存在實(shí)數(shù)，使ab.(2)求解參數(shù)：已知兩非零向量共線，可求其中參數(shù)的值，即利用若ab，則ab(R).(3)判定或證明三點(diǎn)(如P，A，B)是否共線：跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，解答類型四共面向量定理及應(yīng)用證明例例4如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PAB，PBC，PCD，PDA的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.分別延長(zhǎng)PE，PF，PG，PH交對(duì)邊于M，N，Q，R.如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)，

8、G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R為所在邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，所以由共面向量定理得E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.證明引申探究引申探究本例中增加以下條件：若點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：共面.取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，NM，因?yàn)镸，N分別是PC，CD的中點(diǎn)，反思與感悟向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.解答當(dāng)堂訓(xùn)練根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：234

9、51答案解析4234510答案解析23451答案解析84.以下命題：兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量；共線的兩個(gè)向量互相平行；共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量.其中正確命題的序號(hào)是_.23451根據(jù)共面與共線向量的定義判定，易知正確.答案解析234515.已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M是否共面.解答23451由共面向量定理的推論知，點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M共面.3(1)(1)1，點(diǎn)B與點(diǎn)P，A，M共面，即點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M共面.23451解答234514(1)(1)21，點(diǎn)P與點(diǎn)

10、A，B，M不共面.由共面向量定理的推論，可知點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M不共面.規(guī)律與方法1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.2.證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)利用共面向量證明.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有 且xyz1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.(3)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行.本課結(jié)束