廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練43 圓的方程 文

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1、1考點(diǎn)規(guī)范練考點(diǎn)規(guī)范練 4343圓的方程圓的方程一、基礎(chǔ)鞏固1 1.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D解析由題意可得圓的半徑r=(1-0)2+(1-0)2=2,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2.2 2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=122,則x2+y2的最小值為()A.2B.1C.3D.2答案 B解析設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P在圓(x+5)2+(y-12)2=122上,則圓心C(-5,12),半徑r=12,x2+y

2、2=(x-0)2+(y-0)22=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值為 1.3 3.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,3),C(2,3),則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.53B.213C.2 53D.43答案 B解析由題意知,ABC外接圓的圓心是直線x=1 與線段AB垂直平分線的交點(diǎn)P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x-12,它與x=1 聯(lián)立得圓心P坐標(biāo)為 1,2 33,則|OP|=12+2 332=213.4 4.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4 上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x

3、-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1答案 A2解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4 上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1.5 5.已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x-6y+1=0 上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,則m的值為()A.2B.-2C.1D.-1答案 D解析曲線x2+y2+2x-6y+1=0 是圓(x+1)2+(y-3)2=

4、9,若圓(x+1)2+(y-3)2=9 上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l:x+my+4=0 過(guò)圓心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故選 D.6 6.如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為.答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析(1)由題意可設(shè)圓心C坐標(biāo)為(1,b),取AB中點(diǎn)為P,連接CP,CB,則BPC為直角三角形,得|BC|=r=2=b,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=2.3(2)由(1)得,C(1,2

5、),B(0,2+1),則kBC=-1.圓C在點(diǎn)B處的切線方程為y=x+2+1,令y=0,得x=-2-1,即切線在x軸上的截距為-1-2.7 7.當(dāng)方程x2+y2+kx+2y+k2=0k243所表示的圓的面積取最大值時(shí),直線y=(k-1)x+2 的傾斜角=.答案34解析由題意知,圓的半徑r=12k2+4-4k2=124-3k21k20),則|2a|5=4 55,即a=2.又點(diǎn)M(0,5)在圓C上,則圓C的半徑r=22+5=3.故圓C的方程為(x-2)2+y2=9.9 9.已知圓C的圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0 相切于點(diǎn)P(3,-2),求圓C的方程.解(方法一)如圖,設(shè)圓心C

6、(x0,-4x0),依題意得4x0-23-x0=1,則x0=1,即圓心C的坐標(biāo)為(1,-4),半徑r=2 2,故圓C的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)設(shè)所求圓C的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2,4根據(jù)已知條件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r,解得x0=1,y0=-4,r=2 2.因此所求圓C的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.1010.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為 2 2,在y軸上截得線段長(zhǎng)為 2 3.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若點(diǎn)P到直線y=x的距離為22,求圓P的方程.解(1)

7、設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r.由題設(shè)y2+2=r2,x2+3=r2,從而y2+2=x2+3.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2-x2=1.(2)設(shè)P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在雙曲線y2-x2=1 上,從而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此時(shí),圓P的半徑r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.此時(shí),圓P的半徑r=3.故圓P的方程為x2+(y+1)2=3 或x2+(y-1)2=3.二、能力提升1111.(2018 北京朝陽(yáng)期末)阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比

8、為常數(shù)k(k0,且k1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為 2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B距離之比為 2,當(dāng)P,A,B不共線時(shí),PAB面積的最大值是()A.2 2B.2C.2 23D.23答案 A解析如圖,以經(jīng)過(guò)A,B的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)P(x,y),5|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,兩邊平方并整理得x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,ymax=2 2,PAB面積的最大值是1222 2=2 2,故選 A.1212.已知aR R,方程a2x2+(a+2)y2+

9、4x+8y+5a=0 表示圓,則圓心坐標(biāo)是,半徑是.答案(-2,-4)5解析由題意,可得a2=a+2,解得a=-1 或a=2.當(dāng)a=-1 時(shí),方程為x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4),半徑為 5;當(dāng)a=2 時(shí),方程為 4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x+122+(y+1)2=-54不表示圓.1313.已知圓M與y軸相切,圓心在直線y=12x上,并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為 2 3,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案(x-2)2+(y-1)2=4 或(x+2)2+(y+1)2=4解析設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意可得1

10、2a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4 或(x+2)2+(y+1)2=4.1414.在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,-3)為OAB的直角頂點(diǎn),已知|AB|=2|OA|,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于 0.(1)求AB?的坐標(biāo);(2)求圓x2-6x+y2+2y=0 關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程.解(1)設(shè)AB?=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB?OA?=0,6得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8.若AB?=(-6,-8),則yB=-11 與yB

11、0 矛盾.x=-6,y=-8舍去,即AB?=(6,8).(2)圓x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圓心為C(3,-1),半徑r=10.OB?=OA?+AB?=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直線OB的方程為y=12x.設(shè)圓心C(3,-1)關(guān)于直線y=12x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3,故所求的圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=10.三、高考預(yù)測(cè)1515.已知平面區(qū)域x 0,y 0,x+2y-4 0恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為.答案(x-2)2+(y-1)2=5解析由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它且面積最小的圓是其外接圓.因?yàn)镺PQ為直角三角形,所以圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1),半徑r=|PQ|2=5,所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.7