格林函數(shù)(免費(fèi))

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1、§2.4? 格林函數(shù)法 解的積分公式 在第七章至第十一章中重要簡介用分離變數(shù)法求解各類定解問題，本章將簡介另一種常用的措施——格林函數(shù)措施。 格林函數(shù)，又稱點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一種重要概念。格林函數(shù)代表一種點(diǎn)源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場。懂得了點(diǎn)源的場，就可以用迭加的措施計(jì)算出任意源所產(chǎn)生的場。 一、 泊松方程的格林函數(shù)法 為了得到以格林函數(shù)表達(dá)的泊松方程解的積分表達(dá)式，需要用到格林公式，為此，我們一方面簡介格林公式。 設(shè)u（r）和v（r）在區(qū)域 T 及其邊界 S 上具有持續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在 T 中具有持續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢

2、量分析的高斯定理將曲面積分 化成體積積分 （12-1-1） 這叫作第一格林公式。同理，又有 （12-1-2） （12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得 亦即 （12-1-3） 表達(dá)沿邊界 S 的外法向求導(dǎo)數(shù)。（12-1-3）叫作第二格林公式。 目前討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是 （12-1-4） 第一、第二、第三類邊界條件可統(tǒng)一地表為 （12-1-5） 其中 j（M）是區(qū)域邊界 S 上的給定函數(shù)。a＝0，b ≠0為第一類邊界條件，a ≠0，b＝0是第二類邊界條件，a、b 都不等于零是第三

3、類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第二邊值問題或諾依曼問題，與第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第三邊值問題。 為了研究點(diǎn)源所產(chǎn)生的場，需要找一種能表達(dá)點(diǎn)源密度分布的函數(shù)?！?.3中簡介的 d 函數(shù)正是描述一種單位正點(diǎn)量的密度分布函數(shù)。因此，若以v（r，r0）表達(dá)位于r0點(diǎn)的單位強(qiáng)度的正點(diǎn)源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場，即v（r，r0）應(yīng)滿足方程 （12-1-6） 目前，我們運(yùn)用格林公式導(dǎo)出泊松方程解的積分表達(dá)式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然后在區(qū)域T中求積分，得

4、 S O y z x T Se r0 Ke 圖12-1 （12-1-7） 應(yīng)用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在r＝r0點(diǎn)，Dv具有d 函數(shù)的奇異性，格林公式不能用。解決的措施是先從區(qū)域T中挖去涉及r0的小體積，例如半徑為 e 的小球Ke（圖12-1），Se 的邊界面為Se 。對于剩余的體積，格林公式成立， （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去Ke 的（12-1-7），并注意r≠r0，故 d（r－r0）＝0，于是 （12-1-9） 當(dāng)，方程（12-1-6）的解 v（r，r0）—→ 位于點(diǎn)r0而電量為 －e 0 的點(diǎn)電荷的靜電場

5、中的電勢，即－1／4p。令 e →0，得 （12-1-9）右邊—→ 左邊的 左邊的 （12-1-10） 這樣，（12-1-7）成為 （12-1-11） （12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。 （12-1-11）將（12-1-4）的解u用區(qū)域 T 上的體積分及其邊界上的面積分表達(dá)了出來。那么，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同步懂得u及 在邊界 S 上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界 S 上的值；在第二邊值問題中，已知的只是 在邊界S上的值。在第三邊值問題中，已知的是u和 的一種線性

6、關(guān)系在邊界 S 上的值，三類邊界條件均未同步分別給出u和 的邊界 S 上的值。因此，我們還不能直接運(yùn)用（12-1-11）解決三類邊值問題。 其實(shí)，這里距離問題的解決已經(jīng)很近了。本來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（r，r0）提出合適的邊界條件，則上述困難就得以解決。 對于第一邊值問題，u在邊界 S 上的值是已知的函數(shù) j（M）。如果規(guī)定v滿足齊次的第一類邊界條件 （12-1-12） 則（12-1-11）中含 的一項(xiàng)等于零。從而不需要懂得 在邊界 S 上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊

7、松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表達(dá)。這樣，（12-1-11）式成為 （12-1-13） 對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件， （12-1-14） 滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表達(dá)。以G（r，r0）乘（12-1-5）式兩邊，得 又以 u 乘（12-1-14），并以 G 替代其中的 v，得 將這兩式相減，得 將此式代入（12-1-11），得 （12-1-15） 至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的措施來解決，即令G為定解問題

8、 （12-1-16） （12-1-17） 的解，而由（12-1-11）得到 （12-1-18） 可是，定解問題（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個(gè)格林函數(shù)看作溫度分布。泛定方程（12-1-16）右邊的 d 函數(shù)表白在 S 所圍區(qū)域 T 中有一種點(diǎn)熱源。邊界條件（12-1-17）表白邊界是絕熱的。點(diǎn)熱源不斷地放也熱量。而熱量又不能經(jīng)由邊界散發(fā)出去，T 里的溫度必然要不斷地升高，其分布不也許是穩(wěn)定的。這就需要引入推廣的格林函數(shù)。對于三維空間， 式中VT 是T 的體積。對于二維空間，

9、 式中 AT 是 T 的面積，方程右邊添加的項(xiàng)是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體正好吸取了點(diǎn)熱源所放出的熱量，不多也不少。 （12-1-13）和（12-1-15）的物理解釋有一種困難。公式左邊u的宗量r0 表白觀測點(diǎn)在r0，而右邊積分中的f（r）表達(dá)源在r，可是，格林函數(shù)G（r，r0）所代表的是r0的點(diǎn)源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場。這個(gè)困難如何解決呢？本來，這個(gè)問題里的格林函數(shù)具有對稱性G（r，r0）＝G（r0，r），將（12-1-13）和（12-1-15）中的r和r0對調(diào)，并運(yùn)用格林函數(shù)的對稱性，（12-1-13）成為 （12-1-19） 這就是第一邊值問題解的積分表達(dá)

10、式。（12-1-15）成為 （12-1-20） 這就是第三邊值問題解的積分表達(dá)式。 （12-1-19）和（12-1-20）的物理意義就很清晰了，右邊第一種積分表達(dá)區(qū)域T中分布的源f（r0）在r點(diǎn)產(chǎn)生的場的總和。第二個(gè)積分則代表邊界上的狀況對r點(diǎn)場的影響的總和。兩項(xiàng)積分中的格林函數(shù)相似。這正闡明泊松方程的格林函數(shù)是點(diǎn)源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場。 目前來證明格林函數(shù)的對稱性。在 T 中任取兩個(gè)定點(diǎn)r1和r2。以這兩點(diǎn)為中心，各作半徑為 e 的球面 S 1和 S 2。從 T 挖去 S 1和 S 2 所圍的球K1和K2。在剩余的區(qū)域T－K1－K2上，G（r，r1）和G（r，r

11、2）并無奇點(diǎn)。以u＝G（r，r1），v＝G（r，r2）代入格林公式（12-1-3） 由于G（r，r1）和G（r，r2）是調(diào)和函數(shù)，上式右邊為零。又由于格林函數(shù)的邊界條件，上式左邊。這樣 令e →0，上式成為0－v（r1）＋u（r2）－0＝0，即G（r1，r2）＝G（r2，r1）。 對于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右邊的 f（r）≡0，這時(shí)，我們只要令（12-1-19）和（12-1-20）兩式右邊的體積分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一邊值問題的解 （12-1-21） 以及第三邊值問題的解 （12-1-22） 我們看到，借助格林公式，也可運(yùn)用格林函

12、數(shù)措施得到齊次方程定解問題的解。 二、用電像法求格林函數(shù) ? （一）無界空間的格林函數(shù)? 基本解 從§12.1討論可知，擬定了G，就能運(yùn)用積分表式求得泊松方程邊值問題的解。雖然，求格林函數(shù)的問題自身也是邊值問題，但這是特殊的邊值問題，其求解比一般邊值問題簡樸。特別是對于無界區(qū)域的情形，常常還可以得到有限形式的解。無界區(qū)域的格林函數(shù)稱為相應(yīng)方程的基本解。 我們將一種一般邊值問題的格林函數(shù) G 提成兩部分 （12-2-1） 其中G0是基本解。對于三維泊松方程，即G0滿足 （12-2-2） G1則滿足相應(yīng)的齊次方程（拉普拉斯方程）

13、 （12-2-3） 及相應(yīng)的邊界條件。例如在第一邊值問題中，，從而有 （12-2-4） 拉普拉斯方程（12-2-3）的邊值問題的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是點(diǎn)r0的點(diǎn)源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場。以靜電場為例，它描述在點(diǎn)r0電量為－e 0的點(diǎn)電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場的r點(diǎn)的電勢，即。 目前再給出（12-2-2）的一種解法。先假設(shè)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，由于區(qū)域是無界的，點(diǎn)源產(chǎn)生的場應(yīng)與方向無關(guān)，如果選用球坐標(biāo)（r，q，j），則G0只是r的函數(shù)，方程（12-2-2）變成一種常微分方程，當(dāng)r≠0時(shí)，G0滿足拉普拉斯方程 （12-2-5）

14、其解為 （12-2-6） 令無窮遠(yuǎn)處G0＝0，于是C2＝0。為了求出C1，將方程（12-2-2）在涉及r0＝0的區(qū)域作體積分，這個(gè)區(qū)域可取為以 r0＝0為球心，半徑為 e 的小球 Ke ，其邊界面為S e（參見圖12-1）， 運(yùn)用（12-1-3）（令其中的u≡1），將上式右邊體積分化成面積分。 則，從而 若電荷位于任意點(diǎn)r 0，則 （12-2-7） 類似地，用平面極坐標(biāo)可求得二維泊松方程的基本解 （12-2-8） （二）用電像法求格林函數(shù) 讓我們來考慮這樣一種物理問題。設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的M0（r 0）點(diǎn)放置

15、一帶電量為 －e 0的點(diǎn)電荷。則球內(nèi)電勢滿足泊松方程 （12-2-9） 邊界條件是 （12-2-10） 此處G便是泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)。從電磁學(xué)懂得，在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時(shí)，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，球內(nèi)電勢應(yīng)為球內(nèi)電荷直接產(chǎn)生的電勢與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢之和。因此，我們可將G寫成兩部分之和 （12-2-11） 其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢，G1則是感應(yīng)電荷引起的。由前面的討論可知，G0滿足 （12-2-12） 從而G1滿足 （12-2-13） 以及邊界條件 （12-

16、2-14） 這樣，G0就是基本解，。至于G1則可從方程（12-2-13）及邊界條件（12-1-14）用分離變數(shù)等措施求得。但這樣得到的解往往是無窮級數(shù)。目前簡介另一種措施—— 電像法，用電像法可以得到有限形式的解。 P M M0 r0 O M1 圖 12-2 電像法的基本思想是用另一設(shè)想的等效點(diǎn)電荷來替代所有的感應(yīng)電荷，于是可求得G1的類似于G0的有限形式的解。顯然，這一等效點(diǎn)電荷不能位于球內(nèi)，由于感應(yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足（12-2-13），即球內(nèi)是無源的。又根據(jù)對稱性，這個(gè)等效電荷必位于OM0 的延長線上的某點(diǎn)M1，記等效電荷的電量為q，其在空間任意點(diǎn)M（r）引起的電勢是 。

17、若將場點(diǎn)取在球面上的P點(diǎn)，如圖12-2所示，則 DOPM0和 DOM1P具有公共角 ∠POM1，如果按比例關(guān)系 r0∶a＝a∶r1（a為球的半徑）選定M1（這M1必在球外），則 DOPM0 跟 DOM1P 相似，從而 ∶∶ 因此，若取 ，則球面上的總電勢是 正好滿足邊界條件（12-2-10）。這個(gè)設(shè)想的位于M1點(diǎn)的等效點(diǎn)電荷稱為M0點(diǎn)點(diǎn)電荷的電像。這樣，球內(nèi)任一點(diǎn)的總電勢是 （12-2-15） §10.1例6求出球外點(diǎn)電荷的電像（在球內(nèi)），讀者不妨把這兩種狀況中的電像加以對比。 若M0（r0）為圓內(nèi)的一點(diǎn)，則圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足 （

18、12-2-16） （12-2-17） 這個(gè)問題也可用電像法求解，成果是 （12-2-18） 式中a為圓的半徑。 例1 在球r＝a內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 解 前面已用電像法求得球的第一邊值問題的格林函數(shù) 把它代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13）就行了。 為了把G（r，r0）代入（12-1-19），還必須先算出。引用球坐標(biāo)系，極點(diǎn)就取在球心。 （12-2-19） 其中Q是矢徑r跟r0之間的夾角， 計(jì)算法向?qū)?shù) 分子里的cosQ 可運(yùn)用（12-2-19）消去， 同理， 于是 代入（1

19、2-1-13），得到球的第一邊值問題的解的積分公式 作代換： 這叫作球的泊松積分。 例2 在半空間 z＞0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 解 先求格林函數(shù)G（r，r0） z M0(x0, y0, z0) O x y M(x, y, z) 圖 12-3 M1(x0, y0, -z0) 這相稱于接地導(dǎo)體平面z＝0上方的電勢，在點(diǎn)M0（x，y，z）放置著電量為－e 0的點(diǎn)電荷。這電勢可用電像法求得。 設(shè)想在M0的對稱點(diǎn)M1（x0，y0，－z0）放置電量為＋e 0的點(diǎn)電荷，不難驗(yàn)證，在兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場中，平面z＝0上的電勢的確是零。在點(diǎn)M1的點(diǎn)電荷就

20、是電像。格林函數(shù) 為了把G（r，r0）代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13），需要先計(jì)算即。 代入（12-1-13）即得半空間的第一邊值問題的解的積分公式 （12-2-21） 作代換 這叫作半空間的泊松積分。 例3 在圓r＝a內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案 （12-2-22） 例4 在半平面y＞0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案 （12-2-23） 三、含時(shí)間的格林函數(shù) §12.1～§12.2討論的是穩(wěn)定場問題的格林函數(shù)措施。至于波動(dòng)與輸運(yùn)此類含時(shí)間的問題，同樣可以運(yùn)用

21、格林函數(shù)措施求解。本節(jié)以波動(dòng)問題為例簡介含時(shí)間的格林函數(shù)，并導(dǎo)出波動(dòng)方程定解問題解的積分表式；對于輸運(yùn)問題，亦給出相應(yīng)的成果。 一般逼迫振動(dòng)的定解問題是 （12-3-1） （12-3-2） （12-3-3） §5.3中曾指出，持續(xù)作用的力f（r，t）可年作是前后相繼的脈沖力f（r，t）d（t－t）dt 的疊加。目前我們再進(jìn)一步將一種個(gè)持續(xù)分布于空間的脈沖力看作是鱗次櫛比排列在許許多多點(diǎn)上的力的疊加。總之，把持續(xù)作用的持續(xù)分布力f（r，t）看作是許許多多脈沖點(diǎn)力的疊加 （12-3-4） 把單位脈沖點(diǎn)力所引起的振動(dòng)記作G（

22、r，t；r0，t0），稱之為波動(dòng)問題的格林函數(shù)。求得了G，就可用疊加的措施求出任意力f（r，t）所引起的振動(dòng)。G所滿足的定解問題是 （12-3-5） （12-3-6） （12-3-7） 我們可以用類似于求解泊松方程的措施求得定解問題（12-3-1）～（12-3-3）的解的積分表式。需注意的是含時(shí)間的格林函數(shù)的對稱性不同于泊松方程格林函數(shù)的對稱性， （12-3-8） 目前證明對稱關(guān)系（12-3-8）。在定解問題（12-3-5）～（12-3-7）中將變量t，r0，t0分別換為－t，r1，－t1，而成為 （12-3-9）

23、 （12-3-10） （12-3-11） 以G（r，－t；r1，－t1）乘方程（12-3-5）。同步以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-9），相減，再對r在區(qū)域T上積分，同步對t在區(qū)間（其中＞t0和t1）上積分，得 （12-3-12） 運(yùn)用第二格林公式（12-1-3），上式左端成為 由定解條件（12-3-6）～（12-3-7）和（12-3-10）～（12-3-11）可以看出，上式為零，從而（12-3-12）右端也為零。于是有對稱關(guān)系（12-3-8）。 目前推導(dǎo)定解問題（12-3-1）～（12-3-3）解的積分表式。考慮到關(guān)系式（12-3-8）中時(shí)間

24、變數(shù)t與t0不能像空間變數(shù)那樣簡樸地對調(diào)，我們先將定解問題（12-3-1）～（12-3-3）中的r，t換為r0，t0， （12-3-13） （12-3-14） （12-3-15） 將G的定解問題中的r與r0互換，同步將t和t0分別換為－t0 和－t，并運(yùn)用對稱關(guān)系（12-3-8），得 （12-3-16） （12-3-17） （12-3-18） 以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-13），以u（r0，t0）乘方程（12-3-16），相減，再對r0在區(qū)域T上積分，同步對t0在[0，t＋e]上積分，并運(yùn)用第二格林公式及初始條

25、件（12-3-15）及（12-3-18），可得 （12-3-19） 其中e ＞0，積分后取 e →0，引入 e 是為了使含 d（t－t0）的積分值擬定（積分區(qū)間涉及t0＝t在內(nèi)），于是可得 (12-3-20) 右邊第二個(gè)積分中因此，可完畢對t0的積分，計(jì)及t＜t0時(shí)G＝0，，這樣得到 （12-3-21） 對于不同類型的邊界條件，可令G滿足相應(yīng)的齊次邊界條件，從而得到合用于不同邊界條件的以G表達(dá)的解的積分表式。 對于輸運(yùn)問題， （12-3-22） （12-3-23） （12-3-24） 類似上面的討論，同樣可得到其解的積分表式 （12-3-25） 作業(yè)（P387）：1，2