2019屆高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2

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1、4.2.3　直線與圓的方程的應(yīng)用 課后篇鞏固提升 基礎(chǔ)鞏固 1.直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥23,則k的取值范圍是(　　) A.-34,0 B.-∞,-34∪[0,+∞) C.-33,33 D.-23,0 解析圓心的坐標(biāo)為(3,2),且圓與x軸相切. 當(dāng)|MN|=23時(shí),弦心距最大, 由點(diǎn)到直線的距離公式得|3k-2+3|1+k2≤1, 解得k∈-34,0. 答案A 2.直線3x+y-23=0截圓x2+y2=4得到的劣弧所對(duì)的圓心角為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60°

2、D.90° 解析∵圓心到直線的距離為d=232=3,圓的半徑為2, ∴劣弧所對(duì)的圓心角為60°. 答案C 3.已知圓O:x2+y2=4與圓C:x2+y2-6x+6y+14=0關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l的方程是(　　) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x-y+3=0 D.x-y-3=0 解析圓x2+y2=4的圓心是O(0,0),圓x2+y2-6x+6y+14=0的圓心是C(3,-3),所以直線l是OC的垂直平分線.又直線OC的斜率kOC=-1,所以直線l的斜率k=1,OC的中點(diǎn)坐標(biāo)是32,-32,所以直線l的方程是y+32=x-32,即x-y-3=0. 答案D 4

3、.圓x2+y2-4x+6y-12=0過(guò)點(diǎn)(-1,0)的最大弦長(zhǎng)為m,最小弦長(zhǎng)為n,則m-n=(　　) A.10-27 B.5-7 C.10-33 D.5-322 解析圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=25,圓心(2,-3)到(-1,0)的距離為(0+3)2+(-1-2)2=32<5.∴最大弦長(zhǎng)為直徑,即m=10,最小弦長(zhǎng)為以(-1,0)為中點(diǎn)的弦,即n=252-(32)2=27.∴m-n=10-27. 答案A 5.圓x2+y2=4上與直線l:4x-3y+12=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A.85,65 B.85,-65 C.-85,65 D.-85,-65 解析圓的

4、圓心(0,0),過(guò)圓心與直線4x-3y+12=0垂直的直線方程為3x+4y=0. 3x+4y=0與x2+y2=4聯(lián)立可得x2=6425,所以它與x2+y2=4的交點(diǎn)坐標(biāo)是-85,65,85,-65.又圓上一點(diǎn)與直線4x-3y+12=0的距離最小,所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為-85,65. 答案C 6.若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點(diǎn),則△ECF的面積為　　　　　.? 解析圓心C(2,-3)到直線x-2y-3=0的距離為d=55=5,又知圓C的半徑長(zhǎng)為3,∴|EF|=232-(5)2=4,∴S△ECF=12·|EF|·d=12×4×5=25. 答案25

5、 7.若☉O:x2+y2=5與☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長(zhǎng)度是　　　　.? 解析兩圓圓心分別為O(0,0),O1(m,0), 且5<|m|<35. 又易知OA⊥O1A,∴m2=(5)2+(25)2=25, ∴m=±5,∴|AB|=2×5×255=4. 答案4 8.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2-6x-6y+14=0上. (1)求yx的最大值和最小值; (2)求x2+y2+2x+3的最大值與最小值. 解(1)圓x2+y2-6x-6y+14=0即為(x-3)2+(y-3)2=4,可得圓心為C(3,3)

6、,半徑為r=2. 設(shè)k=yx,即kx-y=0, 則圓心到直線的距離d≤r,即|3k-3|1+k2≤2, 平方得5k2-18k+5≤0, 解得9-2145≤k≤9+2145. 故yx的最大值是9+2145,最小值為9-2145. (2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示點(diǎn)(x,y)與A(-1,0)的距離的平方加上2. 連接AC,交圓C于B,延長(zhǎng)AC,交圓于D, 可得AB為最短,且為|AC|-r=16+9-2=3; AD為最長(zhǎng),且為|AC|+r=5+2=7, 則x2+y2+2x+3的最大值為72+2=51, x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11. 9.

7、有一種大型商品,A,B兩地均有出售且價(jià)格相同,某地居民從兩地之一購(gòu)得商品運(yùn)回來(lái),每千米的運(yùn)費(fèi)A地是B地的兩倍,若A,B兩地相距10千米,顧客選擇A地或B地購(gòu)買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低,那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買此商品的地點(diǎn)? 解以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示. 設(shè)A(-5,0),則B(5,0). 在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),設(shè)從A地運(yùn)貨到P地的運(yùn)費(fèi)為2a元/千米,則從B地運(yùn)貨到P地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米. 若P地居民選擇在A地購(gòu)買此商品, 則2a(x+5)2+y2

8、. 即點(diǎn)P在圓C:x+2532+y2=2032的內(nèi)部. 也就是說(shuō),圓C內(nèi)的居民應(yīng)在A地購(gòu)物. 同理可推得圓C外的居民應(yīng)在B地購(gòu)物. 圓C上的居民可隨意選擇A,B兩地之一購(gòu)物. 能力提升 1.已知點(diǎn)A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(　　) A.62-2 B.8 C.46 D.10 解析易知點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A'(-1,-1),A'與圓心(5,7)的距離為(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程為10-2=8. 答案B 2.直線y=x+b與曲線x=1-y2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(　　)

9、 A.b=2 B.-1

10、在直線x+y+1=0上,故最小值為點(diǎn)(-2,-3)到直線x+y+1=0的距離,即d=|-2-3+1|2=22. 答案22 4.已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=　　　　　　　.? 解析圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離為d=|a+a-2|a2+1.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以|a+a-2|a2+12+12=22,解得a=4±15. 答案4±15 5.已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則a

11、=　　　　　.? 解析由題意可知,直線x-y+2=0過(guò)圓心-1,-a2,所以-1--a2+2=0,a=-2. 答案-2 6.某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成(如圖所示).已知隧道總寬度AD為63 m,行車道總寬度BC為211 m,側(cè)墻面高EA,FD為2 m,弧頂高M(jìn)N為5 m. (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求圓弧所在的圓的方程. (2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5 m.請(qǐng)計(jì)算車輛通過(guò)隧道的限制高度是多少. 解(1)以EF所在直線為x軸,以MN所在直線為y軸,以1m為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)

12、系xOy,則E(-33,0),F(33,0),M(0,3),由于所求圓的圓心在y軸上,所以設(shè)圓的方程為(x-0)2+(y-b)2=r2,因?yàn)镕,M在圓上,所以(33)2+b2=r2,02+(3-b)2=r2,解得b=-3,r2=36,所以圓的方程為x2+(y+3)2=36. (2)設(shè)限高為h,作CP⊥AD,交圓弧于點(diǎn)P,則|CP|=h+0.5,將P的橫坐標(biāo)x=11代入圓的方程,得(11)2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m). 所以車輛通過(guò)隧道的限制高度是3.5米. 7.在Rt△ABO中,

13、∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn),求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,O的距離的平方和的最大值和最小值. 解如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy,則A(8,0),B(0,6),內(nèi)切圓C的半徑r=12×6×812×(6+8+10)=2. ∴圓心坐標(biāo)為(2,2). ∴內(nèi)切圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4. 設(shè)P(x,y)為圓C上任一點(diǎn),點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,O的距離的平方和為d, 則d=|PA|2+|PB|2+|PO|2 =(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2 =3x2+3y2-16x-12y+100 =3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76. ∵點(diǎn)P(x,y)在圓上,∴(x-2)2+(y-2)2=4. ∴d=3×4-4x+76=88-4x. ∵點(diǎn)P(x,y)是圓C上的任意點(diǎn), ∴x∈[0,4]. ∴當(dāng)x=0時(shí),dmax=88;當(dāng)x=4時(shí),dmin=72. 6