（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第26講 解三角形練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第26講解三角形夯實(shí)基礎(chǔ)【p55】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握正、余弦定理，能利用這兩個(gè)定理及面積計(jì)算公式解斜三角形，培養(yǎng)運(yùn)算求解能力【基礎(chǔ)檢測(cè)】1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2，c2 ，cos A且bc，則b()A3 B2 C2 D.【解析】由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4.又bc，b2.【答案】C2在ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c，若B30， c2，b2，則C()A. B.或C. D.或【解析】由正弦定理得sin C，C或.【答案】B3已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則B()A. B. C. D. 【

2、解析】由sin A，sin B，sin C，代入整理得c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cos B，所以B.【答案】C4在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin A，a2，該三角形的面積為，則b的值為( )A. B. C2 D2【解析】由銳角三角形中sin A得：cos A，面積bcsin A，所以bc3，根據(jù)余弦定理cos A，所以，整理得：b26，解得：b23，所以b.【答案】A5如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一高為15米的煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E.經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河

3、岸處于同一水平面，在點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為30和60.若CE的長(zhǎng)為10米，則BC_米【解析】在EAB中，因?yàn)锳EB60，所以BE5，在OAB中，因?yàn)锳OB30，所以BO15，所以在OCE中，OECEOC10， 從而B(niǎo)OC60，在OBC中，BC5.【答案】5【知識(shí)要點(diǎn)】1正弦定理、余弦定理定理正弦定理余弦定理變形形式a2Rsin A，b_2Rsin_B_，c_2Rsin_C_；sin A_，sin B_，sin C_；(其中R為ABC外接圓半徑)abc_sin_Asin_Bsin_C_；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Aa2b2c22bcc

4、os A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C；cos A，cos B_，cos C_.解決解斜三角形的問(wèn)題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩邊；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.2.三角形的面積：SABC_absin_C_acsin_B_bcsin_A_(abc)r(R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑)3仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線_上方_時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線_下方_時(shí)叫俯角(如圖(a)圖(a)圖(b)4方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)

5、方向線之間的水平夾角叫做方位角如B點(diǎn)的方位角為(如圖(b)5方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度典 例 剖 析【p56】考點(diǎn)1利用正弦定理解三角形已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asin Bbcos A0. (1)求角A的大小；(2)若a2，b2，求ABC的面積. 【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A0，即sin B(sin Acos A)0，又角B為三角形內(nèi)角，sin B0，所以sin Acos A0，即sin0，又因?yàn)锳(0，)，所以A.(2)法一：在ABC中，由余弦定理得：a2b2c2

6、2bccos A，則204c24c.即c22c160，解得c2(舍)或c4，又Sbcsin A，所以S244.法二：a2，b2，由(1)知A，由得sin B，sin Bsin A，B為銳角cos B，sin Csin(cos Bsin B).SABCabsin C224.考點(diǎn)2利用余弦定理解三角形(1)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_【解析】法一：由2bcos Bacos Cccos A及余弦定理，得2bac，整理得，a2c2b2ac，所以cos B，又0B，所以B.法二：由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin

7、 Ccos Asin(AC)sin B，又0B0，cos A，B.【答案】(2)ABC中， cosABC，AB2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD2DC，BD，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)【解析】在ABC中，設(shè)BCa，AC3b，則由余弦定理可得9b2a24a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB，cosBDC.因?yàn)閏osADBcosBDC，所以有，所以3b2a26，由可得a3，b1，即BC3.【答案】3【點(diǎn)評(píng)】解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到考點(diǎn)3與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題

8、ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a7，b5.(1)求c；(2)設(shè)D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足ADAC，求ABD的面積【解析】(1)由已知得tan AA，由余弦定理2bccos Ab2c2a2，c25c240c8(舍負(fù))(2)法一：如圖，ABC中，cos Ctan C4；RtACD中，tan C4AD20，SABDABADsinBAD82040.法二：SABCbcsin Aahh，cos CBD28，SABDBDh40.【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用

9、到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化考點(diǎn)4三角形中的測(cè)量問(wèn)題(高度、距離、角度)要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為_(kāi)m.【解析】如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，所以BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40 m.【答案】40【點(diǎn)評(píng)】求解高度問(wèn)題應(yīng)注意：(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，理解仰角、俯角(它

10、是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)如何設(shè)計(jì)能使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?【解析】設(shè)AMN，在AMN中，.因?yàn)镸N2，所以AMsin(120)在APM中，c

11、osAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)當(dāng)且僅當(dāng)2150270，即60時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以當(dāng)AMN60時(shí)，符合要求【點(diǎn)評(píng)】求解距離問(wèn)題應(yīng)注意：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的

12、定理在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.【點(diǎn)評(píng)】求解角度

13、問(wèn)題應(yīng)注意：(1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)方 法 總 結(jié)【p57】1利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)2由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即ABabsin Asin B.3已知三角形兩邊及其

14、一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，利用正弦定理求解時(shí)，要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無(wú)解三種可能)而解的情況確定的一般方法是“大邊對(duì)大角且三角形鈍角至多一個(gè)”4利用余弦定理，可以解決以下三類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其余角；(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角；(4)由余弦值確定角的大小時(shí)，一定要依據(jù)角的范圍及函數(shù)值的正負(fù)確定走 進(jìn) 高 考【p57】1(2018全國(guó)卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4 B. C. D2【解析】因?yàn)閏os C2cos2121.所以由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos C

15、12521532，AB4.【答案】A2(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.【解析】由三角形面積公式知：SABCabsin C，由余弦定理得：a2b2c22abcos C，sin Ccos C，C.【答案】C3(2018全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.【解析】(1)在ABD中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以sinADB.由題設(shè)知，ADB90，所以cosADB.(2)由題設(shè)及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD

16、2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.考 點(diǎn) 集 訓(xùn)【p206】A組題1在ABC中，a15，b10，A60，則cos B()A B.C D.【解析】根據(jù)正弦定理，可得，解得sin B，又因?yàn)閎a，則BA，故B為銳角，所以cos B.【答案】D2在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b(2sin Bsin A)(2ab)sin A2csin C，則C()A. B. C. D.【解析】由正弦定理可得b(2sin Bsin A)(2ab)sin A2csin Cb(2ba)(2ab)a2c2，整理得a2b2c2abcos C，0C0)，b2，A60，若三角形有兩解，

17、則x的取值范圍是()Ax B0x2C.x2 D.x2【解析】根據(jù)正弦定理2R，可得，所以sin B，A60，0B120，要使三角形有兩解需滿(mǎn)足60B120，且B90，即sin B1，解得xAB，得ABDADB，故ABCABDDBC，在ABC中，由正弦定理，即，故sinABC，由ABC，得cosABC，tanABC.8ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)【解析】(1)2cos Cc，由正弦定理得：2cos Csinsin C，ABC，sin(AB)sin C0，cos C，C(0，)，

18、C.(2)由余弦定理得：c2a2b22abcos C，即3ab7，又Sabsin Cab，ab6，187，ab5，ABC周長(zhǎng)為abc5.B組題1設(shè)ABC的面積為S1，它的外接圓面積為S2，若ABC的三個(gè)內(nèi)角大小滿(mǎn)足ABC345，則的值為()A. B. C. D.【解析】設(shè)三角形的三內(nèi)角分別為3x，4x，5x，外接圓的半徑為R，由三角形內(nèi)角和定理可得三內(nèi)角分別為A，B，C，則由正弦定理可得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，故S1absin C(2R)2R2，即.【答案】D2如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200 m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15、山腳C處的俯角為45，已知MCN60

19、，則山的高度MN為_(kāi) m.【解析】由條件，MAD15，所以NMA75，CMA45，MAC154560，所以ACM180604575，ACB45，這樣在ACB中，AC200，在ACM中，解得MC200，MNC中，MNMCsin 60200300.【答案】3003如圖，在ABC 中，BE平分ABC，sinABE，AB2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD2DC，BD，則BE_【解析】由條件得cosABC，sinABC.在ABC中，設(shè)BCa，AC3b，則9b2a24a.因?yàn)锳DB與CDB互補(bǔ)，所以cosADBcosCDB，所以3b2a26，聯(lián)立解得a3，b1，所以AC3，BC3.SABCACABsin A32

20、2，SABEBEBAsinEBA2BEBE. SBCEBEBCsinEBC3BEBE.由SABCSABESBCE，得2BEBE，BE. 【答案】4如圖所示，攝影愛(ài)好者S在某公園發(fā)現(xiàn)A處的正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為.設(shè)S的眼睛到地面的距離為米(1)求攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離和立柱的高度；(2)立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)攝影愛(ài)好者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影愛(ài)好者是否都可以將彩桿全部攝入畫(huà)面？說(shuō)明理由【解析】(1)過(guò)S作SC垂直O(jiān)B于C，連結(jié)SB，SO，則CSB，ASB.又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離為3米由SC3，CSO，在RtSCO中，可求得OC.因?yàn)锽CSA，故OB2，即立柱高為2米(2)連接SM，SN，設(shè)SNa，SMb.由(1)知SO2，在SOM和SON中，cosSOMcosSON，即，可得a2b226.在MSN中，cosMSN，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立又MSN(0，)，則0MSN.故攝影愛(ài)好者S可以將彩桿全部攝入畫(huà)面17