（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第2講 空間向量與立體幾何練習(xí)

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1、第2講 空間向量與立體幾何1.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQBB1(0)(1)若，求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45，求實(shí)數(shù)的值解：以，為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)當(dāng)時(shí)，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP與AQ所成角的余弦值為. (2)(0,0,2)，(2,0,2)設(shè)平面APQ的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x2，y2.所以n(2，2，2)又因?yàn)橹本€AA

2、1與平面APQ所成角為45，所以|cosn，|，可得5240，又因?yàn)?，所以.2(2019宿遷期末)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBC1，BB12，點(diǎn)D在棱BB1上，且C1DAB1.(1)求線段B1D的長；(2)求二面角DA1CC1的余弦值解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，則以，為基底構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0)，A(1,0,2)，B1(0,1,0)，C1(0,0,0)，B(0,1,2)，C(0,0,2)，所以(1,1，2)，設(shè)B1Dt,0t2，則D(0,1，t)，(0,1，t)(1)由C1DAB1，得0，所以12t0t，所以B1D.(2

3、)易知平面A1C1C的一個(gè)法向量為(0,1,0)，設(shè)平面A1CD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由(1)知，(1,0,2)，因?yàn)樗匀2，則y3，x4，所以n(4,3,2)，所以cosn，.所以二面角DA1CC1的余弦值為.3.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，已知BADCDA90，ADCD2，AB1，SASD，且平面SAD平面ABCD.(1)當(dāng)SASD時(shí)，求直線SA與平面SBC所成角的正弦值； (2)若平面SBC與平面SAD所成角的大小為，求SA的長解：(1)取AD中點(diǎn)O，連結(jié)SO.因?yàn)镾ASD，所以SOAD，因?yàn)槠矫鍿AD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SO平面SAD

4、，所以SO平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，A(1,0,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，C(1,2,0)所以(1,0，1)，(1,1，1)，(2,1,0)設(shè)平面SBC的法向量n(x，y，z)，則所以取n(1,2,3)設(shè)直線SA與平面SBC所成角為，則sin |cos，n|.(2)設(shè)SOa，則S(0,0，a)，所以(1,1，a)，平面SBC的法向量n(x，y，z)滿足取n.取平面SAD的法向量n(0,1,0)，所以cos，解得a，所以SA2.4.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1.(1)若直線PB與CD所成角的大小為，

5、求BC的長；(2)求二面角BPDA的余弦值解：(1)以，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)锳PABAD1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)設(shè)C(1，y,0)，則(1,0，1)，(1,1y,0)因?yàn)橹本€PB與CD所成角大小為，所以|cos，|，即，解得y2或y0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的長為2.(2)設(shè)平面PBD的法向量為n1(x，y，z)因?yàn)?1,0，1)，(0,1，1)，則即令x1，則y1，z1，所以n1(1,1,1)因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，所以由圖可知二面角BPDA

6、的余弦值為.5(2019蘇州調(diào)研)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)因?yàn)锳EAB，AEBP，所以BPAB，因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，所以BP平面ABCD，又ABBC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,2

7、,0)，B(0,0,0)，D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)，因?yàn)锽C平面ABPE，所以(0,0,1)為平面ABPE的一個(gè)法向量，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，易得(2，2,1)，(2,0,0)，則即令y1，則z2，故n(0,1,2)，設(shè)平面PCD與平面ABPE所成的二面角大小為，則|cos |，由圖知，所求二面角為銳角，所以平面PCD與平面ABPE所成二面角的余弦值為.(2)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)N存在，設(shè)(2，2，)(01)，則(2，22，)由(1)知，平面PCD的一個(gè)法向量為n(0,1,2)，設(shè)直線BN與平面PCD所成的角為，則sin |cos，n|，即92810，解得1或(舍去)故當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.- 5 -