《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第19講 導(dǎo)數(shù)與不等式問題練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第19講 導(dǎo)數(shù)與不等式問題練習(xí)(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第19講 導(dǎo)數(shù)與不等式問題1(2019啟東中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)1,g(x)xln x.(1)證明:g(x)1.(2)證明:(xln x)f(x)1.證明:(1)g(x),當(dāng)0x1時,g(x)1時,g(x)0,即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,)上為增函數(shù)所以g(x)g(1)1,得證(2)f(x)1,f(x),所以當(dāng)0x2時,f(x)2時,f(x)0,即f(x)在(0,2)上為減函數(shù),在(2,)上為增函數(shù),所以f(x)f(2)1,又由(1)知xln x1,且等號不同時取得所以(xln x)f(x)1.2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)a(x21)ln x(aR,e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)證
2、明:當(dāng)x1時,f(x)0;(2)討論g(x)的單調(diào)性;(3)若不等式f(x)1時,s(x)0,所以s(x)在(1,)上單調(diào)遞增,又s(1)0,所以s(x)0,從而當(dāng)x1時,f(x)0.(2)g(x)2ax(x0),當(dāng)a0時,g(x)0時,由g(x)0得x.當(dāng)x時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增綜上,當(dāng)a0時,g(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時,g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(3)由(1)知,當(dāng)x1時,f(x)0.當(dāng)a0,x1時,g(x)a(x21)ln x0,故當(dāng)f(x)0.當(dāng)0a1時,g(x)在上單調(diào)遞減,g0,所以此時f(x)1時,h(x)2axe1xx0,因此,h(x)在區(qū)間(1,
3、)上單調(diào)遞增,又h(1)0,所以當(dāng)x1時,h(x)g(x)f(x)0,即f(x)0時,f(x)q(x)恒成立解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)exln x,所以f(1)0,f(1)e,故曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為ye(x1)(2)證明:當(dāng)x0時,f(x)q(x)恒成立,等價(jià)于當(dāng)x0時,xln x恒成立設(shè)函數(shù)g(x)xln x,則g(x)1ln x,所以當(dāng)x時,g(x)0.故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,)上的最小值為g.設(shè)函數(shù)h(x),則h(x),所以當(dāng)x(0,1)時,h(x)0;當(dāng)x(1,)時,h(x)0時,g(x)h(x),所以
4、當(dāng)x0時,f(x)q(x)恒成立4已知函數(shù)f(x)xln xex1.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)證明:f(x)sin x在(0,)上恒成立解:(1)依題意得f(x)ln x1ex,又f(1)1e,f(1)1e,故所求切線方程為y1e(1e)(x1),即y(1e)x.(2)證明:依題意,要證f(x)sin x,即證xln xex1sin x,即證xln xexsin x1.當(dāng)00,xln x0,故xln xexsin x1,即f(x)1時,令g(x)exsin x1xln x,故g(x)excos xln x1.令h(x)g(x)excos xln x1,則h(x
5、)exsin x,當(dāng)x1時,exe11,所以h(x)exsin x0,故h(x)在(1,)上單調(diào)遞增故h(x)h(1)ecos 110,即g(x)0,所以g(x)在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)esin 110,即xln xexsin x1,即f(x)sin x.綜上所述,f(x)0)(1)若函數(shù)f(x)在(1,)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;(2)若x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)因?yàn)閒(x)在(1,)上為減函數(shù),所以f(x)a0在(1,)上恒成立所以當(dāng)x(1,)時,f(x)max0.又f(x)a2a,故當(dāng),即xe2時,f(x)maxa
6、,所以a0,故a,所以a的最小值為.(2)“若x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立”等價(jià)于當(dāng)xe,e2時,有f(x)minf(x)maxa,當(dāng)xe,e2時,有f(x)maxa,問題等價(jià)于:“當(dāng)xe,e2時,有f(x)min”當(dāng)a時,f(x)在e,e2上為減函數(shù),則f(x)minf(e2)ae2,故a.當(dāng)0a時,由于f(x)2a在e,e2上為增函數(shù),故f(x)的值域?yàn)閒(e),f(e2),即.由f(x)的單調(diào)性和值域知,存在唯一x0(e,e2),使f(x0)0,且滿足:當(dāng)x(e,x0)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù)所以f(x)minf(x0)ax0,x0(e,e2),所以a,與0a矛盾,不合題意綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.- 5 -