(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含解析)

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(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含解析)_第1頁
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1、專題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 一、【知識(shí)精講】 1.對(duì)數(shù)的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì):①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0). (3)換底公式:logbN=(a,

2、b均大于零且不等于1). 3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) (1)概念:函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞). (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時(shí),y>0; 當(dāng)01時(shí),y<0; 當(dāng)00 在(0,+∞)上是增函數(shù) 在(0,+∞)上是減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于

3、直線y=x對(duì)稱. [微點(diǎn)提醒] 1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)logab=;(2)logambn=logab. 其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R. 2.在第一象限內(nèi),不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1,0),且過點(diǎn)(a,1),,函數(shù)圖象只在第一、四象限. 二、【典例精練】 考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 【例1】 (1)計(jì)算:÷100-=________. (2)計(jì)算:=________. 【答案】 (1)-20 (2)1 【解析】 (1)原式=(lg 2-2-lg 52)×100=lg

4、×10=lg 10-2×10=-2×10=-20. (2)原式= = ====1. 【解法小結(jié)】 1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡(jiǎn),然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并. 2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算. 3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法,在運(yùn)算中應(yīng)注意互化. 考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用  【例2】(1)函數(shù)y=lg|x-1|的圖象是(  ) (2)已知當(dāng)0

5、值范圍為________. 【答案】 (1)A (2) 【解析】 (1)因?yàn)閥=lg|x-1|= 當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)無意義,故排除B、D. 又當(dāng)x=2或0時(shí),y=0,所以A項(xiàng)符合題意. (2)若

6、 考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用  角度1 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 【例3-1】 (2017·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則(  ) A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 【答案】 C 【解析】 由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以排除A,B;又f(2-x)=ln(2-x

7、)+ln x=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,C正確,D錯(cuò)誤. 角度2 比較大小或解簡(jiǎn)單的不等式 【例3-2】 (1).(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則(  ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D 【解析】 令t=2x=3y=5z, ∵x,y,z為正數(shù),∴t>1. 則x=log2t=,同理,y=,z=. ∴2x-3y=-= =>0, ∴2x>3y. 又∵2x-5z=-==<0, ∴2x<5z,∴3y<2x<5z. (2)若loga(a2+1)

8、2a<0,則a的取值范圍是(  ) A.(0,1) B. C. D.(0,1)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】由題意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a, 又loga(a2+1)1,∴a>.綜上,a∈. 角度3 對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3-3】 已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax). (1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】 (1

9、)∵a>0且a≠1,設(shè)t(x)=3-ax, 則t(x)=3-ax為減函數(shù), x∈[0,2]時(shí),t(x)的最小值為3-2a, 當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)恒有意義, 即x∈[0,2]時(shí),3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1,∴a的取值范圍是(0,1)∪. (2)t(x)=3-ax,∵a>0, ∴函數(shù)t(x)為減函數(shù). ∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),∴y=logat為增函數(shù), ∴a>1,x∈[1,2]時(shí),t(x)最小值為3-2a,f(x)最大值為f(1)=loga(3-a), ∴即 故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上

10、為減函數(shù),并且最大值為1. 【解法小結(jié)】 1.確定函數(shù)的定義域,研究或利用函數(shù)的性質(zhì),都要在其定義域上進(jìn)行. 2.如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價(jià)性,否則結(jié)論錯(cuò)誤. 3.在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時(shí),要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.在利用單調(diào)性時(shí),一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響,及真數(shù)必須為正的限制條件. 【思維升華】] 1.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律 當(dāng)a>1且b>1或00; 當(dāng)a>1且01時(shí),logab<0. 2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題,其基本方法是

11、“同底法”,即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式,然后根據(jù)單調(diào)性來解決. 3.比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法:(1)數(shù)形結(jié)合;(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性. 4.多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題,可通過比較圖象與直線y=1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定. 【易錯(cuò)注意點(diǎn)】] 1.在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域應(yīng)為(0,+∞).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí),要分01兩種情況討論. 2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMα=αlogaM中,要特別注意條件,在無M>0的條件下應(yīng)為logaMα=αloga|M|(α∈N*,

12、且α為偶數(shù)). 3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn):(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍. 三、【名校新題】 1. (2019·武漢月考)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是(  ) A.a>1,c>1 B.a>1,01 D.00,即logac>0,所以0

13、大小關(guān)系為(  ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 【答案】D  【解析】log=log3-15-1=log35,因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以log35>log3>log33=1,因?yàn)楹瘮?shù)y=在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以<=1,故c>a>b. 3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1)的圖象大致為(  ) 【答案】A 【解析】 由題意,知函數(shù)f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)0

14、>2,且函數(shù)g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),C,D均不滿足;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=2-ax的零點(diǎn)x=<2,且x=>0,又g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上是增函數(shù),排除B,綜上只有A滿足. 4.(2019·肇慶二模)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),則(  ) A.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù) C.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù) D.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù) 【答案】D 【解析】 由得x∈(-10,10), 且f(x)

15、=lg(100-x2). ∴f(x)是偶函數(shù), 又t=100-x2在(0,10)上單調(diào)遞減,y=lg t在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在(0,10)上單調(diào)遞減. 5. (2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是(  ) 【答案】D 【解析】由f(x)在R上是減函數(shù),知01時(shí),y=loga(x-1)的圖象由y=logax的圖象向右平移一個(gè)單位得到. 因此選項(xiàng)D正確. 6.(2019·

16、商丘二模)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞, +∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga||x|-b|的圖象是(  ) 【答案】A 【解析】 ∵函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞,+∞)上是奇函數(shù),∴f(0)=0,∴b=1,又函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),所以a>1. 所以g(x)=loga||x|-1|,當(dāng)x>1時(shí),g(x)=loga(x-1)為增函數(shù),排除B,D;當(dāng)0

17、5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 【答案】(5,+∞) 【解析】由函數(shù)f(x)=loga(x2-4x-5),得x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.令m(x)=x2-4x-5,則m(x)=(x-2)2-9,m(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,又由a>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+∞). 8. (2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,則a=________,b=________. 【答案】4,2 【解析】 設(shè)logba=t,則t>1,因?yàn)閠+=, 所以t=2,則a=b2. 又ab=ba,所以b2

18、b=bb2, 即2b=b2,又a>b>1,解得b=2,a=4. 9.(2019·昆明診斷)設(shè)f(x)=lg是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是________. 【答案】 (-1,0) 【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a=-1, ∴f(x)=lg,定義域?yàn)?-1,1). 由f(x)<0,可得0<<1,∴-10時(shí),f(2-a)=-log2(1+a)=1. 解得a=-,不合題意. 當(dāng)2-a≥2,即a≤0時(shí),f(2-a

19、)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log24=-2. 11(2019·日照調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】{0}∪[2,+∞) 【解析】作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖所示). 方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a恰有一個(gè)公共點(diǎn), 故a=0或a≥2,即a的取值范圍是{0}∪[2,+∞). 12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)解

20、不等式f(x2-1)>-2. 【解析】 (1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=log(-x). 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=log(-x), 所以函數(shù)f(x)的解析式為 f(x)= (2)因?yàn)閒(4)=log4=-2,f(x)是偶函數(shù), 所以不等式f(x2-1)>-2轉(zhuǎn)化為f(|x2-1|)>f(4). 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù), 所以|x2-1|<4,解得-

21、n>ln恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】 (1)由>0,解得x<-1或x>1, ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞), 當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí), f(-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x). ∴f(x)=ln是奇函數(shù). (2)由于x∈[2,6]時(shí),f(x)=ln>ln恒成立, ∴>>0恒成立, ∵x∈[2,6],∴0

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