初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題及答案.doc

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1、初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題及答案奧數(shù)題一一、選擇題（每題1分，共10分） 1如果a，b都代表有理數(shù)，并且ab=0，那么 ( ) Aa，b都是0Ba，b之一是0Ca，b互為相反數(shù)Da，b互為倒數(shù)答案：C解析：令a=2，b=2，滿足2+(2)=0，由此a、b互為相反數(shù)。2下面的說法中正確的是 ( ) A單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式B單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式C多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式D整式與整式的和是整式答案：D解析：x，x3都是單項(xiàng)式兩個(gè)單項(xiàng)式x3，x之和為x3+x是多項(xiàng)式，排除A。兩個(gè)單項(xiàng)式x，2x2之和為3x2是單項(xiàng)式，排除B。兩個(gè)多項(xiàng)式x3+x2與x3x2之和為2x3是個(gè)單項(xiàng)式，排除C，因此選

2、D。3下面說法中不正確的是 ( ) A. 有最小的自然數(shù)B沒有最小的正有理數(shù)C沒有最大的負(fù)整數(shù)D沒有最大的非負(fù)數(shù)答案：C解析：最大的負(fù)整數(shù)是-1，故C錯(cuò)誤。 4如果a，b代表有理數(shù)，并且ab的值大于ab的值，那么 ( ) Aa，b同號Ba，b異號Ca0Db0答案：D5大于并且不是自然數(shù)的整數(shù)有 ( ) A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D無數(shù)個(gè)答案：C解析：在數(shù)軸上容易看出：在右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有3，2，1，0共4個(gè)選C。6有四種說法： 甲正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙正數(shù)的立方不一定大于它本身； 丙負(fù)數(shù)的平方不一定大于它本身；丁負(fù)數(shù)的立方不一定大于它本身。 這四種說法中，不正確的說法的個(gè)數(shù)是

3、 ( ) A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)答案：B解析：負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，所以一定大于它本身，故C錯(cuò)誤。7a代表有理數(shù)，那么，a和a的大小關(guān)系是 ( ) Aa大于aBa小于aCa大于a或a小于aDa不一定大于a 答案：D解析：令a=0，馬上可以排除A、B、C，應(yīng)選D。8在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊( ) A乘以同一個(gè)數(shù)B乘以同一個(gè)整式C加上同一個(gè)代數(shù)式D都加上1 答案：D解析：對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)，所以排除A。我們考察方程x2=0，易知其根為x=2若該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x1，得(x1)(x2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，

4、排除B。同理應(yīng)排除C事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對D，這里所加常數(shù)為1，因此選D 9杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是( ) A一樣多B多了C少了D多少都可能答案：C解析：設(shè)杯中原有水量為a，依題意可得， 第二天杯中水量為a(110%)=0.9a； 第三天杯中水量為(0.9a)(1+10%)=0.91.1a； 第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為 0.991，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C。 10輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么

5、，當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船往返一次所用的時(shí)間將( ) A增多B減少C不變D增多、減少都有可能答案：A二、填空題（每題1分，共10分） 11989199019891989=_。答案：1989199019891989 =(19891990+19891989)(1989199019891989) =(19891990+19891989)1=39783979。解析：利用公式a-b=（a+b）(a-b)計(jì)算。21234+56+78+49995000=_。 答案：12+34+56+78+49995000 =(12)+(34)+(56)+(78)+(49995000) =2500。解析：本題運(yùn)用了運(yùn)算當(dāng)

6、中的結(jié)合律。3當(dāng)a=0.2，b=0.04時(shí)，代數(shù)式 a-b的值是_。 答案：0解析：原式=(0.2)0.04=0。把已知條件代入代數(shù)式計(jì)算即可。4含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重是_克。 答案：45000（克）解析：食鹽30%的鹽水60千克中含鹽6030%（千克），設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，即0.001x千克，此時(shí)，6030%=(0.001x)40% 解得：x=45000（克）。 遇到這一類問題，我們要找不變量，本題中鹽的含量是一個(gè)不變量，通過它列出等式進(jìn)行計(jì)算。三、解答題1.甲乙兩人每年收入相等，甲每年儲蓄全年收入的，乙每月比甲多開支10

7、0元，三年后負(fù)債600元，求每人每年收入多少？答案： 解得，x=5000答：每人每年收入5000元。所以S的末四位數(shù)字的和為1995=24。4一個(gè)人以3千米/小時(shí)的速度上坡，以6千米/小時(shí)的速度下坡，行程12千米共用了3小時(shí)20分鐘，試求上坡與下坡的路程。答案：設(shè)上坡路程為x千米，下坡路程為y千米依題意則：由有2x+y=20， 由有y=12-x，將之代入得 2x+12-x=20。所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。答：上坡路程為8千米，下坡路程為4千米。5求和：。答案：第n項(xiàng)為所以。6證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)。證明：設(shè)p=30qr，0r30，因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，故r0，即0r3

8、0。假設(shè)r為合數(shù)，由于r30，所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5。再由p=30qr知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時(shí)，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾。所以，r一定不是合數(shù)。 解：設(shè)由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)?？芍猰4由，m0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3下面分別研究p，q。(1)若m=1時(shí)，有解得p=1，q=1，與已知不符，舍去(2)若m=2時(shí)，有因?yàn)?p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時(shí)無解(3)若m=3時(shí)，有解之得故pq=8。奧數(shù)題二一、選擇題1數(shù)1是 ( ) A最小整數(shù)B最小正數(shù)C最小自然數(shù)D最小有理數(shù)答案：C解析：整數(shù)無最小數(shù)，排除A

9、；正數(shù)無最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無最小數(shù)，排除D。1是最小自然數(shù)，正確，故選C。2.a為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是 ( ) A7aaB7+aaC7+a7D|a|7 答案：B解析：若a=0，70=0排除A；7+0=7排除C；|0|7排除D，事實(shí)上因?yàn)?0，必有7+a0+a=a選B。3.3.14167.5944+3.1416(-5.5944)的值是 ( ) A6.1632B6.2832C6.5132D5.3692答案：B解析：3.14167.5944+3.1416(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=23.1416 =6.2832，選B。4.在-4，-1，-2.5，-0

10、.01與-15這五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)與絕對值最大的那個(gè)數(shù)的乘積是( ) A225B0.15C0.0001D1答案：B解析：-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數(shù)是-0.01，絕對值最大的數(shù)是-15，(-0.01)(-15)=0.15，選B。二、填空題 1計(jì)算：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=_。答案：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=(-2)-(-1) =-1 。2.求值：(-1991)-|3-|-31|=_。答案：(-1991)-|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n為正整數(shù)，1990n-1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個(gè)位、依次排

11、列組成的四位數(shù)是8009。則n的最小值等于_。答案：4解析：1990n的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字即為0000，即1990n末位至少要4個(gè)0，所以n的最小值為4。4.不超過(-1.7)的最大整數(shù)是_。答案：2解析：(-1.7)=2.89，不超過2.89的最大整數(shù)為2。5.一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個(gè)質(zhì)數(shù)是_。答案：29解析：個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，其中只有29是質(zhì)數(shù)。 三、解答題1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值。答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=2

12、003。2某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這種商品每漲價(jià)1元，每天就少賣出10件。試問將每件商品提價(jià)多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？答案：原來每天可獲利4100元，若每件提價(jià)x元，則每件商品獲利(4x)元，但每天賣出為(100-10 x)件。如果設(shè)每天獲利為y元，則y (4x)(100-10 x)=400100 x-40 x-10 x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490。所以當(dāng)x=3時(shí)，y最大=490元，即每件提價(jià)3元，每天獲利最大為490元。3如圖196所示，已知CBAB，

13、CE平分BCD，DE平分CDA，12=90。求證：DAAB。證明：CE平分BCD，DE平分ADC及12=90，ADCBCD=180， ADBC。又 ABBC， ABAD。4.求方程xy-2x+y=4的整數(shù)解。答案：xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2。因?yàn)閤10，且x，y都是整數(shù)，所以5.王平買了年利率7.11的三年期和年利率為7.86的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22)答案：設(shè)設(shè)王

14、平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則因?yàn)閥=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。6. 對k，m的哪些值，方程組至少有一組解？答案：因?yàn)?(k1)xm-4， m為一切實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)k=1，m=4時(shí)，的解為一切實(shí)數(shù)，所以方程組有無窮多組解。當(dāng)k=1，m4時(shí)，無解。所以，k1，m為任何實(shí)數(shù)，或k=1，m=4時(shí)，方程組至少有一組解。奧數(shù)題三一

15、、選擇題1.下面給出的四對單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的一對是 ( ) A. xy與-3xzB.3.22mn3與 n3mC.0.2ab與0.2abD.11abc與 ab 答案：B解析：字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的兩個(gè)式子叫同類項(xiàng)。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A3x-3Bx-1C3x-1Dx-3 答案：C解析：(x-1)-(1-x)+(x+1) =x-1-1+x+x+1=3x-1，選C。3.兩個(gè)10次多項(xiàng)式的和是 ( ) A20次多項(xiàng)式B10次多項(xiàng)式C100次多項(xiàng)式D不高于10次的多項(xiàng)式答案：D解析：多項(xiàng)式x10+x與-x10+x之和為x+x是個(gè)次數(shù)低于10次的多項(xiàng)式，因此

16、排除了A、B、C，選D。4.若a+10，則在下列每組四個(gè)數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是 ( ) Aa，-1，1，-aB-a，-1，1，aC-1，-a，a，1D-1，a，1，-a 答案：A解析：由a+10，知a-1，所以-a1。于是由小到大的排列次序應(yīng)是a-11-a，選A。 5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則 ( ) AcbaBcabCabcDbca 答案：B解析：易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.50，c=123.4-(-123.5)123.4a，所以bac，選B。6若a0，b0，且|a|

17、b|，那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是 ( ) A(a-b)(ab+a)B(a+b)(a-b)C(a+b)(ab+a)D(ab-b)(a+b) 答案：A因?yàn)閍0，b0所以|a|=-a，|b|=b由于|a|b|得-ab，因此a+b0，a-b0。ab+a0，ab-b0。所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)0成立，選A。 7從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)當(dāng)?shù)玫? ) A4a-bBb-aCa-9bD7b 答案：D解析：=2a+5b-2a+2b=7b，選D。8a，b，c，m都是有理數(shù)，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c ( ) A互為相反數(shù)B互為倒數(shù)C互為負(fù)倒數(shù)D相等 答案：A解析：因?yàn)閍

18、+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數(shù)，選A。9張梅寫出了五個(gè)有理數(shù)，前三個(gè)有理數(shù)的平均值為15，后兩個(gè)有理數(shù)的平均值是10，那么張梅寫出的五個(gè)有理數(shù)的平均值是 ( ) A.5B.8 C.12 D.13 答案：D解析：前三個(gè)數(shù)之和=153， 后兩個(gè)數(shù)之和=102。 所以五個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)為（45+20）5=13，選D。二、填空題（每題1分，共10分） 12+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=_。答案：29解析：前12個(gè)數(shù)，每四個(gè)一組，每組之和都是0所以總和為14+15=29。2.若P=a+3ab+b，

19、Q=a-3ab+b，則代入到代數(shù)式P-Q-2P-(-P-Q)中，化簡后，是_。 答案：12ab。解析：因?yàn)镻-Q-2P-(-P-Q) =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q) 以P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b代入， 原式=2(P-Q)=2(a+3ab+b)-(a-3ab+b) =2(6ab)=12ab。 3小華寫出四個(gè)有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個(gè)有理數(shù)的乘積等于_。答案：-1728。解析：設(shè)這四個(gè)有理數(shù)為a、b、c、d，則有3（a+b+c+d）=15，即a+b+c+d=5。分別減去每三數(shù)之和后可得這四個(gè)有理

20、數(shù)依次為3，-12，6，8，所以，這四個(gè)有理數(shù)的乘積=3(-12)68=-1728。4一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要_公斤的小麥。 答案：5000解析：設(shè)需要x公斤的小麥，則有x（x-15）=4250 x=5000三、解答題答案：原式化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab，當(dāng)a1時(shí)，答案：3. 液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時(shí)農(nóng)藥的濃度為72，求桶的容量。答案：去分母、化簡得7x2-300 x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，4. 6設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)求：P到ABC三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長之比的取值范

21、圍。答案：如圖1105所示。在PBC中有BCPBPC， 延長BP交AC于D易證PBPCABAC， 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB。 得ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)。所以 。5. 甲乙兩人同時(shí)從東西兩站相向步行，相會時(shí)，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時(shí)到東站，乙經(jīng)過16小時(shí)到西站，求兩站距離。答案：設(shè)甲步行速度為x千米/小時(shí)，乙步行速度為y千米/小時(shí)，則所求距離為(9x+16y)千米；依題意得：由得16y2=9x2， 由得16y=249x，將之代入得即 (249x)2=(12x)2解之得于是所以兩站距離為98166=168(千米)。 14