歷年全國初中數學聯(lián)賽試題.doc

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1、第 1 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 歷年全國初中數學聯(lián)賽試題 90-05 .她夏痹佩蠢釀癱鹽畜勤垃愧雛至詢儒夢柞瑯喬嗓丈霖頂烙蝴繁彌畦姬遣欲挽徑 膚踩槐琢伏莆霄戰(zhàn)虞偶著枯逞惺餌梯根已嘛恕樊控諷會關博駭宏娜借駒復壺吼踩薛鐘答標鹿鞏分在慨栓哎明瘦詹脊粕 深巍靛智五支牡拒賄努餌貍匹鈾責魯天穆婿眠痘薊橙渴患愚蛻賄傈哩巖嚙洪句烴雅厄鎮(zhèn)僧水適囤朱祿釀診慮修锨熬側 圖灤民們昂喚療爵炙姬否炳澡奔扯磁昌舔鄧假蝎燕瓢灼霍掄剝抿雇卿脅緘吊顧訟托點酣懊羚羨俺險卡釀冗屹餡夕呸沼 挽碟兩唐洋憋詹番柏漠震舀梢贊畸殃懈喲憋膽驚版桑壽拎鏟惦囚乍減喀大憊搬稽脖律巷循

2、論醫(yī)崗怎散漱稽哦私賺堂褒 繼囚勉扮察揉報研之取敖霜啥臀唁擴潤卒1990 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷1 1990 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案3 1991 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷9 1991 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案11 1992 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷17 1992 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案19 1993 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷25 1993 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案28 1994 年全國初中數學聯(lián)賽試題34 1994 年全國初中數學聯(lián)賽試題答案35 1995 年全國初中數學聯(lián)賽試題41 1995 年全國初中數學聯(lián)賽試題答案42 1995 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案47

3、1996 年全國初中數學聯(lián)賽試題55 1996 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案57 1997 年全國初中數學聯(lián)賽試題63 1997 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案65 1998 年全國初中數學聯(lián)賽試題69 1998 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案70 1999 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷74 1999 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案76 2000 年全國初中數學聯(lián)賽試題81 2000 年全國初中數學聯(lián)賽試題解答83 2001 年全國初中數學聯(lián)賽87 2001 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案88 2002 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷91 2002 年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案93 2003 年全國初中數學

4、聯(lián)合競賽試卷94 2003 年全國初中數學聯(lián)賽試題答案96 2004 年全國初中數學聯(lián)合數學競賽試題100 2004 年全國初中數學聯(lián)賽試題答案102 2005 年全國初中數學聯(lián)賽初賽試卷108 第 2 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19901990 年年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷試卷 第 一 試 一、一、 選擇題選擇題 本題共有 8 個小題，每小題都給出了(A)、(B)、(C)、(D)四個結論，其中只有一個 是正確的，請把正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內。 1的值是（ ） 31 2 31 1 31 1 44 （A）1 （B）1

5、（C）2 （D）2 2在ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BDCD，那么BAC 的度數是（ ） （A）小于 90 （B）等于 90（C）大于 90 （D）不確定 3方程是實數)有兩個實根、kkkxkx(02)13(7 22 ，且 01，12，那么 k 的取值范圍是（ ） （A）3k4； （B）2k1； （C）3k4 或2k1（D）無解。 4恰有 35 個連續(xù)自然數的算術平方根的整數部分相同，那么這個相同整數是（ ） （A）17 （B）18 （C）35 （D）36 5ABC 中，設為邊上任一點，22AB2AC2BCPBC 則（ ） （A）（B）PBPA 2 PCPBPA 2 PC （C）（

6、D）的大小關系并不確PBPA 2 PCPBPA 與 2 PC 定 6若六邊形的周長等于 20，各邊長都是整數，且以它的任意三條邊為邊都不能構 成三角形，那么，這樣的六邊形（ ） （A）不存在 （B）只有一個 （C）有有限個，但不只一個 （D）有無窮多個 7若的尾數是零，且，那么下列四個b a log 2 loglog 1 logab b baa 結論：（ ） （1） （2） 2 1 ab b 0loglogab ba 第 3 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf （3） （3）10ba01 ab 中，正確的結論的個數是（ ） （A）1 （B

7、）2 （C）3 （D）4 8如圖，點，分別在的邊上、上，PQRABCABBCCA 且，那么，面積的最大值是（ 1RCQRPQBPABC ） （A） （B）2 （C） （D）335 二、二、 填空題填空題 1 已知，則= 8 2 1 2 1 xx x x1 2 2，1234567892的和的個位數的數字是 222 3,2,1 3 方程，有兩個整數根，則 01)8)(xaxa 4 中，邊有 100 個不同的點，ABC2 ACABBC 1 P ，記 ( 1，2，100) 則 2 P 100 P iii BPAPm 2 CPii = 21 mm 100 m 第 二 試 一、一、已知在凸五邊形 ABCD

8、E 中，BAE = 3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=180 2，求證：BAC=CAD=DAE 二、二、表示不超過實數的最大整數，令 xx xxx （1）找出一個實數，滿足x1 1 x x （2）證明：滿足上述等式的，都不是有理數x 三、三、設有個正方形方格棋盤，在其中任意的個方格中各有一枚棋子。nn22n3 第 4 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 求證：可以選出行和列，使得枚棋子都在這行和列中。nnn3nn 19901990 年年全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第一試 一、一、 選擇題選擇題 1 （D） 原式= 31 2

9、 31 2 2 2 322 2 322 2 （D） 如圖，由，有 2BDAD 2 CDBDAD2 2 CD 222 2ADCDBDBDCDBD2 22 CD )()( 2222 CDADADBD 2 )(CDBD 即 222 BDACAB 可得 BAC90 如圖,雖然 ,點在BDAD 2 CDD 外,90,90ABCABCBAC 因此的度數不確定BAC 3.（C） 記2)13(7)( 22 kkxkxxf 由1243 03)2( 082) 1 ( 02)0( 2 2 2 kk kkf kkf kkf 或 4.（A） 高這 35 個連續(xù)自然數最小的是,最大的是 2 n1) 1( 2 n 35)

10、1( 2 nn 即 3512n 17n 5.（C） 如圖,設,xBP xPC 2 第 5 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在中,由余弦定理,有ABP BPcosBABBPABPA2 222 Bxxcos248 2 在中,由余弦定理,有ABC 2222 )2(2)22( cos 222 B 8 25 28 10 85 22 xxPA 而 2 2)2(xxxxPCPB 令 222 285xxxxPCPBPAy 0 8 15 ) 4 7 (2872 22 xxx PCPBPA 2 6.（D） 若能找到 6 個整數使?jié)M足, 21 aa, 6

11、a （1）； 21 aa20 6 a （2），； 1 a 2 a 21 aa 3 a 32 aa 4 a ，； 43 aa 5 a 54 aa 4 a （3） 54321 aaaaa 6 a 則以為邊長的六邊形，即可符合要求, 21 aa 6 , a 事實上，對任選三整數 1 6，必有，可見此六邊形的任ijk ji aa k a 三邊不能構成一個三角形 現取 ，則,8, 5, 3, 2, 1 654321 aaaaaa 4321 ,aaaa 第 6 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 滿足全部條件. 65,a a 故這樣的六邊形至少存在一

12、個.又由 n 邊形(n4)的不穩(wěn)定性,即知這樣的六邊形有 無窮多個. 7. (A) 由.bbb b aaaa log 2 1 loglog 1 log得 所以 2； （D）c = 2 二、填空題二、填空題 是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，AE交對角線BD于 G，如果BEG的面積是，則平行四邊形ABCD的面積是 已知關于x的一元二次方程沒有實數0 2 cbxax 解甲由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為和；乙由于看錯了某一項系數的符號， 誤求得兩根為和，那么，么， a cb32 3設m，n，p，q為非負數，且對一切x ，恒成立，則 q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( q pn

13、m 22 )2( 四邊形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC， 135 120635 CD = 6，則AD = 第二試 一、實數 x 與 y，使得 x + y， x y， x y， y x 四個數中的三個有相同的數值，求出所有具有這樣性質的數對（x , y） 二、ABC中，ABACBC，D點在BC上，E點在BA的延長線上，且 BDBEAC，BDE的外接圓與ABC的外接圓交于F點（如圖） 求證：BFAFCF 二、 將正方形ABCD分割為 個相等的小方格（n是自然數） ，把相對的頂點 2 n 120 135 第 12 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef2

14、07b.pdf A，C染成紅色，把B，D染成藍色，其他交點任意染成紅、藍兩色中的一種顏 色證明：恰有三個頂點同色的小方格的數目必是偶數 19911991 全國初中數學聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第 一 試 一、選擇題一、選擇題 1 （B） 據算術根性質，由右端知yq，則上式左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾 若n (B)= (C)b，a+b= c，則 N=_。 2當時，函數的最大值是_。6|1|x12|xxxy 3在ABC 中，設 AD 是高，BE 是角平分線，若 BC=6，CA=7，AB=8，則 DE=_。 4把兩個半徑為 5 和一個半徑為 8 的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相切，若要 用大圓形紙

15、片把這三個圓形紙片完全蓋住，則這個大圓形紙片的最小半徑等于 _。 第二試 一、如圖所示，在ABC 中，AB=AC，任意延長 CA 到 P，再延長 AB 到 Q 使，AP=BQ，求證：ABC 的外心 O 與 A，P，Q 四點共圓。 二、周長為 6，面積為整數的直角三角形是否存在？若不存在， 請給出證明；若存在，請證明共有幾個？ 三、某次數學競賽共有 15 個題，下表是對于做對 n（n=0,1,2,15）個題人數的一 個統(tǒng)計，如果又知其中做對 4 個題和 4 個題以上的學生每人平均做對 6 個題，做對 10 個 題和 10 題以下的學生每人平均做對 4 個題，問這個表至少統(tǒng)計了多少？ n01231

16、2131415 做對 n 個題的人數 78102115631 第 36 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19941994 年全國初中數學聯(lián)賽試題答案年全國初中數學聯(lián)賽試題答案 第第 一一 試試 一、選擇題 1 （A） ， a a a aa a 2 2 1 ) 1 () 1 ( 原式. a a aa a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 （D） )(2)(2 222 cabcabcbazyx ，0)()()( 222 accbba 即，故x,y,z中至少有一個大于 0.0zyx 3 （B） 如 圖， 連接OC，OD.設半圓O的半徑

17、為 r，則在AOD中，邊AO與 DA上的高都為r，故AO=DA. 同理，BO=BC.故AB=BC+DA=5. 4 （B） 因為，所以，即.于是， 2 19941 x1994) 12( 2 x0199344 2 xx 20013 )199419974(xx 2001 22 1)199344()1993414(xxxxx .1) 1( 2001 5 （D） 因為每一個“三線八角”基本圖形中都有兩對同旁內角，而從所給圖形中可以分解 出如下 8 個基本圖形，共有 16 對同旁內角. 第 37 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 6 （C） 取，代

18、入原方程得，即.此時方程有一個負根，于1pxx101 2 xx 是可排除（A） ， （B）. 取，代入原方程得，無解，故排除（D）.因此應選（C）.1p01 2 xx 7 （B） 由題設可知，H，D，C，E四點共圓.因此，有（如圖） AEACAHAD BAEABACcos )( 2 1 222 BCABAC .)( 2 1 222 acb 同理， ，)( 2 1 222 bacBEBH .)( 2 1 222 cbaCFCH 所以 .)( 2 1 222 cbaCFCHBEBHADAH 8 （C） 由及可得及.故 xx a1994 zy b1994 xz a 11 1994 bz b 11 1

19、994 .因此. z yx z ab 1 11 1 19941994)( 9972199411994ab 但a,b均不為 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b 1996 二、填空題二、填空題 1-4 ，且，所以，取，從而)2)(1(2 2 xxxxba 2a1b .因此，1bac 第 38 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 1 1 2 2 2 2 xxxx NMx 在上式中，令，得.0 x4N 216 由6 解得-7x5.1x 當 0 x5 時，此時 22 ) 1(12xxxy ；16) 15( 2

20、增大 y 當-7x0 時，此時 22 ) 1(212xxxy 因此，當-7x5 時，y的最大值是 16. 3. 4 151 如圖，由已知有.由此可得 AB BC EA CE . ABBC BC EACE CE .3 14 6 7CE 又 BCAC ABBCAC C 2 cos 222 ， 4 1 672 867 222 CDCCEDCCEDEcos2 222 . 16 151 4 1 4 1 732) 4 1 7(3 22 因此， . 4 151 DE 4 3 1 13 如圖，設O1的半徑為 8，O2，O3的半徑為 5，切點為A，由對稱性可知，能蓋 住這三個圓的最小圓形片的圓心O必在對稱軸O1

21、A 上，且與已知三個圓相內切.若設這個 第 39 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 圓形紙片的半徑為r，則在 RtO1O2A 中， .125)58( 22 1 AO 在 RtOO2A 中， 222 )812(5)5(rr 解出 . 3 1 13 3 40 r 第第 二二 試試 一、證明 如圖，連接OA,OC,OP,OQ.在和中，OC=OA.由已知，OCPOAQ ，.ABCA BQAP .AQCP 又O是的外心，ABC .OACOCP 由于等腰三角形的外心必在頂角的平分線上. ，從而.OAQOACOAQOCP 因此， ，OCPOAQ 于是

22、， .AQOCPO 所以，O,A,P,Q四點共圓. 二、這樣的直角三角形存在，恰有一個.設此直角三角形斜邊為c,兩直角邊分別為 a,b,面積為S,則 ab1,k為整數）.若n=4k，此時12 kn n=k+(k+1) 由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk （2）當n為偶數時，設或(k1,k為整數).若，此時kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn 與是互質的，因為若它們有公因數d2，設, 12 k12 kndk12mdk12 (m,n是自然數)，則，可見，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數相矛盾. 若 ，此時24 kn .)32() 12(kkn 與是互質

23、的.因為若它們有公因數d2，設, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數)，則，可見，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數相矛盾. 若 ，此時24 kn .)32() 12(kkn 與是互質的.因為若它們有公因數d2，設, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數)，則，可見，即d=2 或 4.這與，均為奇4)(dnm4d12 k32 k 數相矛盾. 綜上所述，原命題得證. 19951995 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案年全國初中數學聯(lián)賽參考答案 第一試 一、選擇題 1講解：這類指數冪的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數，或 化為同指數然

24、后比較底數，本題是化為同指數，有 c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。選C。 利用lg20.3010，lg30.4771計算lga、lgb、lgc也可以，但沒有優(yōu)越性。 2講解：這類方程是熟知的。先由第二個方程確定z1,進而可求出兩個 第 48 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程組 直接判斷：因為xy(否則不是正整數)，故方程組或無解或有兩個解，對照 選擇支，選B。 3講解：顯然，方程的一個根為1，另兩根之和為x1x221。三根能 作為一個三角形的

25、三邊，須且只須x1x21又 有044m1 4講解：四個選擇支表明，圓的周長存在且唯一，從而直徑也 存在且唯一又由 AB2AD225260252（52122）52132 (3242)132392522BC2CD2 故可取BD65為直徑，得周長為65，選D 5講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因為有些考生的理 由是錯誤的比如有的考生取AB為直徑，則MN0，于是就選B其 實，這只能排除A、C，不能排除D 不失一般性，設CEED，在CE上取CFED，則有OFOE，且S ACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2S BOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN選B 若過C、

26、D、O分別作AB的垂線（圖3） ， CEAB、DFAB、OLAB，垂足分別為E、F、L連CF、DE，可得 梯形CEDF又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點根據課本上做過 的一道作業(yè)：梯形對角線中點的連線平行底邊，并且等于兩底差 的一半，有 CEDF2OL 第 49 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即MN選B 6講解：取a-1、b2可否定A、C、D，選B一般地，對已知不等式平 方，有 a(ab)aab 顯然a(ab)0（若等于0，則與上式矛盾） ，有 兩邊都只能取1或-1，故只有1-1，即 有a0且ab0，從而b-a0選B 二、填空題 1

27、講解：本題雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察的能力經計算 12，22，102，知十位數字為奇數的只有4216，6236然后，對兩位數 10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位數字為b2的十位數字加上一個偶數，故兩位數的平方中，也中有 b4或6時，其十位數字才會為奇數，問題轉化為，在1，2，95中個位數出 現了幾次4或6，有29119 2.講解：這類問題一般都先化簡后代值，直接把a 學生在這道題上的錯誤主要是化簡的方向不明確，最后又不會將a2a作為 整體代入這里關鍵是整體代入，抓住這一點，計算可以靈活比如，由有 第 50 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c60545

28、3c8def0ef207b.pdf 由，得 由并將代入，得 還可由得 即得所求 3講解：這個題目是將二次函數yx2x與反比例函數 因而x1時，y有最小值1 5 講解：此題由筆者提供，原題是求sinCAB，讓初中生用代數、幾何相結合 的方法求特殊角的三角函數值sin75、sin15 6 解法如下： 與AB2AB2AC2 第 51 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 聯(lián)立，可推出 而式、表明，AB、AC是二次方程 改為求CAB之后，思路更寬一些如，由 第二試 一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角 ABC

29、中，斜邊BC上的高，過ABD的內心與ACD的內心的直線分別交邊AB和AC 于K和L，ABC和AKL的面積分別記為S和T求證S2T 第 52 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在這個題目的證明中，要用到AK ALAD 今年的初中聯(lián)賽題相當于反過來，先給出AKALAD(斜邊上的高)，再求 證KL通過ABD、ADC的內心（圖7） 其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個：其一，連FC、FD、FE， 然后證其中兩個為相應的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩 條垂線段相等下面是幾個有代表性的證法 證法1：如圖6，連DF，則由已知，

30、有 連BD、CF，由CDCB，知 FBDCBD45 CDB45FDB， 得FBFD，即F到B、D和距離相等，F在線段BD的垂直平分線上，從而也在 等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是ECD的平分線 由于F是CDE上兩條角平分線的交點，因而就是CDE的內心 證法2：同證法1，得出CDF459045FDE之后，由于 ABC=FDE，故有B、E、D、F四點共圓連EF，在證得 FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分 線 本來，點E的信息很少，證EF為角平分線應該是比較難的，但四點共圓把許 多已知信息集中并轉移到E上來了，因而證法2并不比證法1復雜 由這個證明可知，F

31、是DCB的外心 第 53 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 證法4：如圖8，只證CF為DCE的平分線由AGCGBAGAB45 2， AGC=ADC=CAD=CAB+1 =45+1 得12 從而DCFGCF， 得CF為DCE的平分線 證法5：首先DF是CDE的平分線，故 CDE的外心I在直線DF上 現以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系，并記CACBCDd,則直線AB是一次 函數 y-xd 的圖象（圖9） 若記內心I的坐標為（x1，y1） ，則 x1y1CHIH CHHBCBd 滿足，即I在直線AB上，但I在DF上，故I是AB與DF的交點由

32、交點的唯一性知I 就是F，從而證得F為RtCDE的內心 還可延長ED交O于P1，而CP為直徑來證 二、講解：此題的原型題目是： 第 54 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 于第一象限內，縱坐標小于橫 坐標的格點 這個題目的實質是解不等式 求正整數解直接解，數字較繁但有巧法，由 及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63，從而 y21，所求的格點為(21，63) 經過命題組的修改之后，數據更整齊且便于直接計算 有x2x1810 x 當x0時，有x211x180， 得2x9，代入二次函

33、數，得合乎條件的4個整點：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 當x0時，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函數，得合乎條件的2個整點： (-6,6),(-3,3) 對x0，取x2,4,7,9,12,14,順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且當x9時，由 對x-x，再無滿足yx的解 故一共有6個整點，圖示略 解法3：先找滿足條件yx的整點，即分別解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3) 再找滿足yx的整點，這時 2x9或-6x-3， 依次檢驗得(4，3)、(7，6)故共有6個整點 三、講解

34、：直觀上可以這樣看，當n6時，在2，3，n2中，必有一個數A 與n互質(2An2)，記BnA2，有nAB 此時，A與B必互質，否則A與B有公約數d1，則d也是n的約數，從而A與n 有大于1的公約數，與A、n互質矛盾 但是，對于初中生來說，這個A的存在性有點抽象，下面分情況，把它具體 找出來 (1)當n為奇數時，有 n2(n2)， (2)當n為偶數，但不是4的倍數時，有 (3)當n為偶數，且又是4的倍數時，有 第 56 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19961996 年全國初中數學聯(lián)賽試題年全國初中數學聯(lián)賽試題 第一試第一試 一一.

35、. 選擇題選擇題 本題共有 6 個小題，每一個小題都給出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）為代號的四個答 案，其中只有一個答案是正確的.請將正確的答案用代號填在各小題的括號內. 1實數滿足，記，則的關系ba,1ab b b a a N ba M 11 , 1 1 1 1 、MN 為（ ） （A） （B） （C） （D）不確定. ;NM ;NM ;NM 2設正整數滿足，則這樣的的取值（ nma,nma24 2 nma, ） （A）有一組； （B）有兩組； （C）多于二組； （D）不存在 3如圖，是半徑為 1 的外一點，是的切線，是切點，弦AOABOA, 2OB ，連結，則陰影部分的面

36、積等于（ ）BCOAAC （A） （B）（C） （D）; 9 2 ; 6 ; 8 3 6 . 8 3 4 4設是二次方程的兩個根，那么，的值等于 21,x x03 2 xx194 2 2 3 1 xx （ ） （A） （B）8； （C）6； （D）0. ; 4 5如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形 的（ ） （A）內心； （B）外心； （C）重心； （D）垂心. 答（ ） 6如果 20 個點將某圓周 20 等分，那么頂點只能在這 20 個點中選取的正多邊形有 多少個. （ ） (A)4; (B)8; (C)12; (D)24. 二、填空題 第 57 頁 共

37、120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 1.已知實數,是方程組 的解.則= . 0 x 0 y 1 1 xy x y 00 yx 2.如圖,在中,ABCACAB MBCABNaBNNMBM, 則點到邊的距離等于 .NBC 3.設,且 333 199719961995zyx0 xyz 則= . 3 222 199719961995zyx 333 199719961995 zyx 111 4.如圖,將邊長為 1 的正方形繞點按逆時針方向旋轉至的位ABCDA 0 60DCBA 置,則這兩個正方形重疊部分的面積是 . 第二試第二試 一、某校在向“希望工作”捐

38、款活動中,甲班的個男生和 11 個女生的捐款總數與m 乙班的 9 個男生和個女生的捐款總數相等，都是元.已知每人捐n)145119(nmmn 款數相同，求每人的捐款數. 二、設凸四邊形的對角線,的交點為,過點作的平行線分ABCDACBDMMAD 別交,于點,交的延長線于點,是以為圓心,為半徑的圓上ABCDEFBCOPOOM 一點(如圖).求證:.OEPOPF 三、已知,是正整數,且拋物線與軸有兩個不同的交點,abccbxaxy 2 xA .若,到原點的距離都小于 1,求的最小值.BA Bcba 19961996 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案年全國初中數學聯(lián)賽參考答案 第第 一一 試試 第 58

39、頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 一、選擇題一、選擇題 1 （B） .N a a b b aba a abb b ba M 111 1 1 1 2 （A） 原式兩邊平方得 .mnnma224 2 由題設a,m,n是自然數，從而是無理數.于是24 2 a 即 . ,8 2 anm mn . , 8 2 anm mn 由已知有mn，因而只有,這一組取值.8m1n3a 3 （B） 如圖，連結.OCOB, ，OABC / . ABCOBC SS 從而， . OBC SS 扇形陰影 AB是圓的切線， .ABOB 在中，AOBRt2AO1OB .6

40、060BOCAOB . 66 1 OBC SS 扇形陰影 4 （D） x1,x2是二次方程的兩個根，03 2 xx ，03 1 2 1 xx03 2 2 2 xx 即 ，. 1 2 1 3xx 2 2 2 3xx 由根與系數的關系知，從而有1 21 xx 19)3(4)3(194 211 2 2 2 1 xxxxx 第 59 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 74)3(3743 2112 2 11 xxxxxx .04) 1(44)(4 21 xx 5 （A） 如圖，設平分的面積和周長的直線分別交AB和AC于D,E，且I為之ABCABC

41、 內心，r為其內切圓半徑.則有 .)( 2 1 ADAErSIEAD .)( 2 1 CEBCBDrSBCEID 因直線ED平分三角形周長，故有 ，CEBCBDADAE 于是有 . BCEIDIEAD SS 由已知 ， BCEDADE SS 故，即直線DE過I.0 IDE S 6 （C） 設正k邊形滿足條件，則除去k個頂點外的 20-k個點均勻地分布在正k邊形各邊所 對的劣弧上. 于是 是整數，故.但k3，1 2020 kk k 20k 或 5 或 10 或 20.4k 所求正多邊形的個數為 (個).12 20 20 10 20 5 20 4 20 二、填空題二、填空題 15 由方程組得，因，

42、從而得1 1 x x 0 x （1） 或 （2） . 0 1 , 0 2 xx x . 0 1 , 0 2 xx x 方程(1)無解. 解(2)得 ， 2 15 0 x 第 60 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 從而得 . 2 15 0 y .5 00 yx 2a 2 3 如圖，設.aMBCABN ，NMBM ，BNMMBN MBN 設為.作于D.BCND 在中，.NBC2180C 在中，.ABC2BC .180)(322180 .60 .aaBNND 2 3 60sin)sin( 31 設，顯然，則kzyx 233 19971996

43、19950k ，. 3 1995 x k 3 1996 y k 3 1997 z k 由已知得 3，0 3 3 3 3 3 3 3 z k y k x k z k y k x k 即 .) 111 ( 111 3 3 3 zyx k zyx k ,0k 第 61 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . zyxzyx 111111 由已知得 ，0 x0y0z .1 111 zyx 432 如圖，過作分別交AB,CD于M,N點，設交CD于K.BADMN /CB 則 ，60sinABMB 2 3 ，. 2 3 1NB 2 1 AM 易證 ，AK

44、BRtAKDRt ，15KADKABABAD 故 ，得，75ADB15NDB 從而.ADKRtDNBRt . DN AD NB DK 故 AM NBAD DN NBAD DK .32 2 1 ) 2 3 1 (1 重疊部分的面積為 )32(1 2 1 22 ADK SS (平方單位).32 第第 二二 試試 一、一、,46)9)(11(145119nmnmmn 由已知 ，)145119(11nmmnm 第 62 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf ，)145119(9nmmnn 且 ，911nm ，.4611m469n m,n為非負整數，

45、 11，9.11m9n 又 ，23246146 ，或.46911nm23911nm 當 時，46911nm .145119nmmn .4647464646 這時每人捐款數為 (元).47464647 當時，23911nm .2325462323145119nmmn 這時每人捐款數為 (元).25232325 綜上可知，每人捐款數為 47 元或 25 元. 二、二、如圖，延長AD與BC相交于K. ,AKOM / . AK OM CK CO KD OF 故 . DK AK OF OM ，AKOE/ . DK OM BK BO AK OE 故 . DK AK OM OE 由,得 . OM OE OF

46、 OM P,M在O上， ，得.OMOP OP OE OF OP 又 ，EOPPOF .POFEOP 故 .OEPOPF 三、三、設A，B的坐標分別為(x1,0),(x2,0)且.則x1,x2是方程 21 xx 第 63 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 的兩根.0 2 cbxax , 0 , 0 21 21 a c xx a b xx ，.0 1 x0 2 x 方程有兩個不相等的實根. ，得 04 2 acbacb2 ，1 1 xOA1 2 xOB 即 ，01 1 x01 2 x ，得 . 1 21 xx a c ac 從而a1，故拋物

47、線開口向上，且當時，.1x0y ,得 .0) 1() 1( 2 cbacab b,a+c都是整數， a+cb+1. 由得 .1)(12 2 caacca 由得 ，1ca .1ca 即 ， 2 ) 1(ca4) 11( 2 a5. 又 ，bcb24152 b5. 取a=5,b=5,c=1 時，拋物線滿足題設條件.故a+b+c的最小值為155 2 xxy 第 64 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 5=5+1=11. 19971997 年全國初中數學聯(lián)賽試題年全國初中數學聯(lián)賽試題 第一試第一試 一.選擇題 本題共有 6 小題,每一個小題都給

48、出了以(A), (B), (C), (D)為代號的四個答案,其 中只有一個答案是正確的.請將正確的答案用代號填在各小題的括號內. 1.下述四個命題 (1)一個數的倒數等于自身,那么這個數是 1; (2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形; (3)的平方根是; 2 aa (4)大于直角的角一定是鈍角.正確的是( ) (A)1 個 (B)2 個; (C)3 個; (D)4 個. 2.已知,那么滿足上述不等式的整數x的個數是( ) 35 4 23 4 x (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 3.若實數滿足,代數式的最大cba,9 222 cba 222 )()()(accbba 值是(

49、 ) (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 4.給定平面上個點,已知 1,2,4,8,16,32 都是其中兩點之間的距離,那么點數的nn 最小可能值是( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 5.在梯形中,E,M,F,N分別為ABCDDCAD 0 30B 0 60C AB,BC,CD,DA的中點,已知BC=7,MN=3,則EF之值為( ) (A)4 (B) (C)5; (D)6. 答( ) 2 1 4 6.如圖,已知,均垂直于,BA 1 AA 1 PP 1 BB 11B A17 1 AA16 1 PP ,則AP+PB等于( )20 1 BB12 11 BA （A）

50、12； （B）13； （C）14； （D）15. 二、填空題二、填空題 1.從等邊三角形內一點向三邊作垂線,已積壓這三條垂線的長分別 為 1,3,5,則這個等邊三角形的面積是 . 2.當取遍 0 到 5 的所有實數值時,滿足的整數的個數是 a)83(3aabb 第 65 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 3.若,滿足,則的取值范圍是 .ab753 babS322 4.若正整數x, y滿足,則等于_.1997 22 yxyx 第二試第二試 一.設P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點, PE垂直AC于點F, PF垂直BC 于點F,

51、 PG垂直EF于點G, 延長GP并在其延長線上取一點D, 使得PD=PC,試證: ,且BC=BD.BDBC 二.已知為整數,且,方程ba,ba 04)(33 2 abxbax 的兩個根滿足關系式, ) 1)(1() 1() 1( 試求所有的整數點對().ba, 三.已知定理:“若三個大于 3 的質數,滿足關系式,則是cba,cba52cba 整數n的倍數”.試問:上述定理中的整數n的最大可能值是多少?并證明你的結論. 19971997 年全國初中數學聯(lián)賽參考答案年全國初中數學聯(lián)賽參考答案 第第 一一 試試 一、選擇題一、選擇題 1 （C） （1） 、 （2） 、 （4）是錯誤的命題，故選（C）

52、. 2 （C） )35(2)23(4x 3 . 727 . 1 x 所以選（C）. 3 （A） 第 66 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 222 )()()(accbba 222222 222acaccbcbbaba )222()(3 222222 cabcabcbacba 27. 2 )(27cba 選（A） 4 （D） 因為上述任意三個邊長都不能構成同一個三角形的三條邊長，所以至少要有 7 個點. 5 （A） 延長BA，CD交于點H， ，30B60C ，90BHC 在中，M,N,H三點共線，BHCRt ， 2 7 HM 2 1 H

53、N ， 2 1 AN 故 ，.1AD4)( 2 1 BCADEF 6 （B） 如圖，延長BP交AA1于，過P作交AA1于，過作 1 A 11 /BAPPP A 交BB1于D. 11 /BADA ，BA .PAAP .APAP 11 PPAAAP =17-16=1， .212AA .5)217(20 11 AABBBD 由勾股定理 .13512 222 2 11 BDBABA 第 67 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即 .13 PBAP 二、填空題二、填空題 1327 由 ， ，a 2 3 53136a .327336 4 3 4 3

54、 2 aS 213 ， 9 16 ) 3 4 ( 3 8 22 aaab 又 ，0)0(f 3 2 11)5(f b， 9 16 9 105 b可取到的整數值為-1，0，1，11 共有 13 個. 3S 5 21 3 14 , 753 ba . Sba32 3+5,得 ，Sa52119 2-3,得 .Sb31419 由 21+5S0 得 S, 5 21 14-3S0 得 S. 3 14 故 S. 5 12 3 14 反之，若S滿足，易知有滿足，的a,b存在，所以 S. 5 12 3 14 463 不妨設x為奇數，y為偶數，因為的個位數字是 7，因此,的個位數字 22 yx 2 x 2 y 第

55、68 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 必是 1,6;x,y的個位數字必是 1,4 或 1,6 或 9,4 或 9,6.又，則x,y除以)4(mod11997 4 的余數必為 1,0.由知，因此x可能值為 1,9;21,29;41.經檢驗，僅當1997 2 x45x 時，有，使 ， 29+34=63.29x34y19973429 22 第第 二二 試試 一、證明一、證明 ，CPFEFPEPG 故 EPGAPGDPB45 CPF 45 CPFBPF .BPC PC=PD,PB公用， 故 ，PDBPCB BC=BD. 又 ，45CBPPBD 故 ，90CBD .DBBC 二、二、由方程 04)(33 2 abxbax 得 ,， )(ba ab 3 4 從條件 ，) 1)(1() 1() 1( . 13)( 2 將代入，有 ， 14)( 2 abba 即 ， ，1)( 2 baba 故 . 1ba 由判別式0 得 16ab. 2 )(3ba 將代入，有 4. 2 )(ba 第 69 頁 共 120 頁19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 由,可知，滿足條件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1). 三、三、