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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案第七章 1對某一距離進行5次測量，結果如下： （米）.已知測量結果服從，求參數(shù)和的矩估計. 解 的矩估計為，的矩估計為 ， 所以 2設是來自對數(shù)級數(shù)分布的一個樣本，求的矩估計. 解 （1）因為很難解出來，所以再求總體的二階原點矩 （2） （1）（2）得 所以 所以得的矩估計 3設總體服從參數(shù)為和的二項分布，為取自的樣本，試求參數(shù)和的矩估計 解 解之得， ，即 ， ，所以 和的矩估計為 ，. 4設總體具有密度 其中參數(shù)為已知常數(shù)，且，從中抽得一個樣本，求的矩估計 解 ，解出得 于是的矩估計為 . 5設總體的密度為 試用樣本求參數(shù)的矩估計和極大似然估計. 解 先求矩估計：
2、解出得 所以的矩估計為 . 再求極大似然估計： ， ， ，解得的極大似然估計： . 6已知總體在上服從均勻分布，是取自的樣本，求的矩估計和極大似然估計. 解 先求矩估計： ， 解方程組 得 注意到，得的矩估計為 ，. 再求極大似然估計 ，由極大似然估計的定義知，的極大似然估計為 ；. 7設總體的密度函數(shù)如下，試利用樣本，求參數(shù)的極大似然估計. （1） （2）. 解 （1） 解似然方程 ，得的極大似然估計 （2）由極大似然估計的定義得的極大似然估計為樣本中位數(shù)，即 8設總體服從指數(shù)分布 試利用樣本求參數(shù)的極大似然估計. 解 由極大似然估計的定義，的極大似然估計為 9設來自幾何分布 ，試求未知參數(shù)
3、的極大似然估計. 解 ， 解似然方程 ，得的極大似然估計 。 10設是來自兩個參數(shù)指數(shù)分布的一個樣本. 其中，求參數(shù)和的（1）極大似然估計；（2）矩估計。 解 （1） 由極大似然估計的定義，得的極大似然估計為 ； 解似然方程得的極大似然估計 （2） 解方程組 得 .所以的矩估計為 11罐中有個硬幣，其中有個是普通硬幣（擲出正面與反面的概率各為0.5）其余個硬幣兩面都是正面，從罐中隨機取出一個硬幣，把它連擲兩次，記下結果，但不去查看它屬于哪種硬幣，如此重復次，若擲出0次、1次、2次正面的次數(shù)分別為，利用（1）矩法；（2）極大似然法去估計參數(shù)。 解 設為連擲兩次正面出現(xiàn)的次數(shù)，取出的硬幣為普通硬幣
4、，則 , ，即的分布為 （1）解出得 的矩估計為 （2）， ，解似然方程 得的極大似然估計 . 12設總體的分布列為截尾幾何分布 ，從中抽得樣本，其中有個取值為，求的極大似然估計。 解 解似然方程 得的極大似然估計 . 13設總體服從正態(tài)分布是其樣本，（1）求使得是的無偏估計量；（2）求使得為的無偏估計量. 解 （1） 可見當時，是的無偏估計量. （2） 設 ，因 ，所以 . 因為 ，所以于是 故當 時是的無偏估計。 14設是來自參數(shù)為的泊松分布總體的樣本，試證對任意的常數(shù)，統(tǒng)計量是的無偏估計量。 證 （此處利用了是的無偏估計，是的無偏估計），所以對任意的是的無偏估計。 15設總體有期望為一樣
5、本，問下列統(tǒng)計量是否為的無偏估計量？（1）;（2）;（3）;（4）；（5）；（6）. 解 （1），（2），（3）都是樣本的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1，故它們都是的無偏估計。但（4），（5），（6）一般不是的無偏估計，如，則，而不是0就是1，且 ，故 即 不是的無偏估計。 16設是參數(shù)的無偏估計量，且有，試證明不是的無偏估計量。 證 ，即 不是的無偏估計量. 注：該題說明：當是未知參數(shù)的無偏估計時，的函數(shù)不一定是的函數(shù)的無偏估計。 17設總體，是來自的樣本，試證估計量 ；， .都是的無偏估計，并指出它們中哪一個最有效. 證 故都是的無偏估計. , ， .所以最有效. 18設總體服從區(qū)間上的均
6、勻分布，未知，是取自的樣本。（1）求的矩估計和極大似然估計量；（2）上述兩個估計量是否為無偏估計量，若不是，請修正為無偏估計量；（3）問在（2）中兩個無偏估計量哪一個更有效。 解 （1）先求矩估計 ， ，所以的矩估計為 再求極大似然估計. ，所以的極大似然估計為 （2）可見矩估計是的無偏估計. 為求的數(shù)學期望，先求的密度. 總體的分布函數(shù)為 的分布函數(shù)為 所以 可見不是的無偏估計，若將修正為，則是的無偏估計。 （3） .故 較有效. 19設總體的數(shù)學期望已知，試證統(tǒng)計量是總體方差的無偏估計. 證 ， 證畢. 20設總體為來自的樣本，試證是的相合（一致）估計. 證 因為相互獨立，所以也相互獨立且
7、具有相同的分布，由大數(shù)定理，對任意的有.即 依概率收斂于，而依概率收斂于，由依概率收斂的性質(zhì).又由于（當時）而，故依概率收斂于，從而 是的相合估計。 21設是來自總體的一個樣本，是的一個估計量，若且試證是的相合（一致）估計量。 證 由切比雪夫不等式，對任意的有 于是 即 依概率收斂于，故是的相合估計。 22設是取自均勻分布在上的一個樣本，試證是的相合估計。 證 的分布函數(shù)為 的密度為 所以 由切比雪夫不等式有 當時 故 是的相合估計. 23從一批釘子中抽取16枚，測得長度（單位：厘米）為2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15,
8、2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，設釘長分布為正態(tài)，試在下列情況下，求總體期望的置信度為0.90的置信區(qū)間。 （1）已知厘米； （2）為未知. 解 （1）的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為； （2）的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為. 24生產(chǎn)一個零件所需時間（單位：秒），觀察25個零件的生產(chǎn)時間，得，試以0.95的可靠性求和的置信區(qū)間. 解 的置信區(qū)間為 其中 所以 的置信度0.95下的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為 所以的置信區(qū)間為 . 25零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差，令測得10個零件，得偏差值（單位：微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，
9、試求的無偏估計值和置信度為0.90的置信區(qū)間。 解 的無偏估計為 的無偏估計為 的置信區(qū)間為 所以 的置信度為0.90的置信區(qū)間為； 的置信區(qū)間為 所以的置信度0.90下的置信區(qū)間為 . 26對某農(nóng)作物兩個品種計算了8個地區(qū)的單位面積產(chǎn)量如下： 品種A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品種B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定兩個品種的單位面積產(chǎn)量，分別服從正態(tài)分布，且方差相等，試求平均單位面積產(chǎn)量之差在置信度為0.95下的置信區(qū)間. 解 此題是在的條件下求的置信區(qū)間. 的置信區(qū)間為 其中 .所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為 . 27設和兩批導線是用不
10、同工藝生產(chǎn)的，今隨機地從每批導線中抽取5根測量電阻，算得，若批導線的電阻服從分布，批導線的電阻服從，求的置信度為0.90的置信區(qū)間. 解 的置信區(qū)間為 其中 .所以 的置信度0.90下的置信區(qū)間為. 28兩臺機床加工同一種零件，分別抽取6個和9個零件測量其長度，算得，假定各臺機床零件長度服從正態(tài)分布，試求兩個總體方差比的置信區(qū)間（置信度為0.95）。 解 的置信區(qū)間為 其中 所以的置信區(qū)間為. 29設是來自參數(shù)為的指數(shù)分布總體的一個樣本，試求的置信度為的置信區(qū)間. 解 由習題六的第7題知 . 對于給定的，查分布表，求出臨界值和使 解出得 即的置信度下的置信區(qū)間為 . 30設總體服從區(qū)間上的均勻
11、分布為來自的一個樣本，試利用的分布導出未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間. 解 的分布函數(shù)為 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 對于給定的，令 即 由的分布函數(shù)的表達式即 從而得 即 將暴露出來得 所以的置信度為下的置信區(qū)間為 31設0.50, 1.25, 0.80, 2.00是來自總體的一個樣本值，已知服從正態(tài)分布 （1）求的數(shù)學期望（記為）； （2）求的置信度為0.95的置信區(qū)間； （3）利用上述結果求的置信度為0.95的置信區(qū)間. 解 （1） ； （2）的置信區(qū)間為 其中 ， 所以的置信區(qū)間為 （3）由的嚴格單調(diào)性及（2）. 注意到，知的置信度為0.95的置信區(qū)間為 . 32從一臺機床加工的軸中隨機地
12、取200根測量其橢圓度，由測量值（單位：毫米）計算得平均值，標準差，求此機床加工的軸之平均橢圓度的置信度為0.95的置信區(qū)間。 解 因總體不是正態(tài)的，所以該題是大樣本區(qū)間估計，設平均橢圓度為，由中心極限定理近似服從，對于給定的，查正態(tài)分布表，求出臨界值使 即的置信區(qū)間為 . 33在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)16個次品，試求這批貨次品率的置信區(qū)間（置信度近似為0.95） 解 設次品率為，100件產(chǎn)品中的次品數(shù)為，由教材163頁知，的置信區(qū)間為，其中 此處 本題中 ， 于是的置信度近似為0.95的置信區(qū)間為 . 34設為來自參數(shù)為的泊松分布的樣本，試求的置信度近似為0.95的置信區(qū)間. 解 由中心極限定理知近似服從 對于給定的，查正態(tài)分布表求出臨界值使 將括號內(nèi)的不等式進行等價變換： 所以的置信度近似為0.95的置信區(qū)間為 ，其中。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案第七章
