多元函數微分[共184頁]

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1、高數課件重慶大學數理學院 教師 吳新生 第八章 多元函數微分法及其應用開 始退出第一節(jié) 多元函數的基本概念返 回第二節(jié) 偏導數第四節(jié) 多元復合函數的求導法則第五節(jié) 隱函數的求導公式第六節(jié) 微分法在幾何上的應用第八節(jié) 多元函數的極值及其求法第七節(jié) 方向導數與梯度第三節(jié) 全微分總習題返 回一.區(qū)域四.多元函數的連續(xù)性三.多元函數的極限二.多元函數概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數的基本概念多元函數的基本概念習題第一節(jié) 多元函數的基本概念 一、區(qū)域 1.鄰域 設 是xOy平面上的一個點，是某一正數.與點 距離小于的點 的全體稱為 的鄰域，記為 ，即也就是返 回000(,)P xy000(,)P xy( ,

2、)P x y0P0(, )U P00(, )U PP PP22000(, )( , )()()U Px yxxyy下一頁2.區(qū)域 設E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點.如果存在點P的某一鄰域 使 ， 則稱P為E的內點(圖8-1). 如果點集E的點都是內點，則 稱E為開集. 如果點P的任一鄰域內既有屬 P 于E的點，也有不屬于E的點， E 則稱P為E的邊界點（圖8-2）. 設D是開集.如果對于D內的 圖 8-1 任何兩點，都可用折線連結起下一頁上一頁( )U P( )U PE返 回 來,而且該折線上的點都屬于D, P 則稱開集D是連通的. 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. E 開區(qū)域連同它的邊

3、界一起,稱 為閉區(qū)域. 圖 8-23.n維空間 設n為取定的一個自然數,我們稱有序n元數組 的全體為n維空間,而每個有序n元數組 稱為n維空間中的一個點,數 稱12( ,)nx xx12( ,)nx xxix返 回下一頁上一頁為該點的第i個坐標,n維空間記為 . n維空間中兩點 及 間的距離規(guī)定為n12( ,)nP x xx12(,)nQ y yy2221122()()()nnPQyxyxyx返 回下一頁上一頁二、多元函數概念 定義定義1 1 設設D D是平面上的一個點集是平面上的一個點集. .如果對于如果對于每個點每個點P=(x,y)D,P=(x,y)D,變量變量z z按照一定法則總有確按照

4、一定法則總有確定的值和它對應定的值和它對應, ,則稱則稱z z是變量是變量x x、y y的的二元函數二元函數( (或點或點P P的函數的函數),),記為記為點集D稱為該函數的定義域,x、y稱為自變量,z( ,)()zfx yzfP或例題返 回下一頁上一頁也稱為因變量,數集 稱為該函數的值域. 把定義1中的平面點集D換成n維空間內的點集D.則可類似的定義n元函數 .當n=1時，n元函數就是一元函數.當n2時n元函數統(tǒng)稱為多元函數. .( , ),( , )z zf x yx yD12( ,)nuf x xx返 回下一頁上一頁三、多元函數的極限 二元函數 當 , ,即 時的極限.這里 表示點 以任

5、何方式趨于 ，也就是點 與點 間的距離趨于零，即 定義定義2 2 設函數設函數f(x,y)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內有定義，內有定義， 是是D D的內點或邊界點如果的內點或邊界點如果對于任意給定的正數對于任意給定的正數，總存在正數，總存在正數，使得，使得對于適合不等式對于適合不等式( , )zf x y0 xx0yy000( , )(,)P x yP xy0PP0P0P22000()()0PPxxyy000(,)PxyPP返 回下一頁上一頁的一切點的一切點P(x,y)DP(x,y)D，都有，都有成立，則稱常成立，則稱常A A為函數為函數f(x,y)f(x,y)當當

6、， 時的極限，記作時的極限，記作或或 這里這里 . . 220000()()P Pxxyy( , )f x yA0 xx0yy0lim( , )xxf x yA( , )f x yA(0)0PP例題返 回下一頁上一頁四、多元函數的連續(xù)性 定義定義3 3 設函數設函數f(x,y)f(x,y)在開區(qū)域在開區(qū)域( (或閉區(qū)域或閉區(qū)域)D)D內有定義，內有定義， 是是D D的內點或邊界點且的內點或邊界點且 . .如果如果則稱函數則稱函數f(x,y)f(x,y)在點在點 連續(xù)連續(xù). . 若函數f(x,y)在點 不連續(xù)，則稱 為函數f(x,y)的間短點. 函數0PD0000lim ( , )(,)xxyy

7、f x yf xy0P222222,0( , )0,xyxyxyf x yxy=0000(,)P xy000(,)P xy000(,)P xy返 回下一頁上一頁當x0,y0時的極限不存在，所以點(0,0)是該函數的一個間斷點. 函數在圓周 上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點，是一條曲線. 性質性質1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界閉區(qū)在有界閉區(qū)域域D D上的多元連續(xù)函數，在上的多元連續(xù)函數，在D D上一定有最大值和上一定有最大值和最小值最小值. . 在D上至少有一點 及一點 ，使得 為最大值而 為最小值，即對于一切PD，有221sin1zxy221xy1P2P1()

8、f P2()f P返 回下一頁上一頁 性質性質2(2(介值定理介值定理) ) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元上的多元函數，如果在函數，如果在D D上取得兩個不同的函數值，則它上取得兩個不同的函數值，則它在在D D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。 如果是函數在D上的最小值m和最大值M之間的一個數，則在D上至少有一點Q，使得f(Q)=. *性質性質3(3(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 在有界閉區(qū)域上在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數必定在的多元連續(xù)函數必定在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù). . 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對于任意給定的正

9、數，總存在正數，使得對于D上的21()( )()f Pf Pf P返 回下一頁上一頁任意二點 ，只要當 時，都有成立. 一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的. . 由多元初等函數的連續(xù)性，如果要求它在點 處的極限，而該點又在此函數的定義區(qū)域內，則極限值就是函數在該點函數值，即12()()f Pf P0P00lim( )()PPf Pf P例題12,P P12P P返 回上一頁一.偏導數的定義及其計算方法二.高階偏導數第二節(jié)第二節(jié) 偏導數偏導數習題返 回一、偏導數的定義及其計算方法 定義定義 設函數設函數 在點在點 的某的某一鄰域內有定義，當一鄰域內有定義

10、，當y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 處處有增量有增量x x 時，相應地函數有增量時，相應地函數有增量如果如果 （1 1）存在，則稱此極限為函數存在，則稱此極限為函數 在點在點 處對處對x x的偏導數的偏導數 ，記作，記作( , )zf x y00(,)xy0y0 x0000(,)(,)f xx yf xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁例如，極限(1)可以表示為 (2)類似地,函數函數 在點在點 對對y y的偏導的偏導數定義為數定義為 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx y

11、xx或0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁上一頁 (3)記作記作 如果函數 在區(qū)域D內每一點(x,y)處對x的偏導數都存在,那么這個偏導數就是x、y函數,它就稱為函數 對自變量x的偏導函數，記作00000(,)(,)limxf xx yf xyy 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx yxx或( , )zf x y( , )zf x y返 回下一頁上一頁 類似的，可以定義函數z=f(x,y)對自變量y的偏導函數，記作 求 時只要把y暫時看作常量對x求導數；求 時只要把暫x時

12、看作常量對y求導數.,( ,)xxzfzfx yxx或,( ,)yyzfzfx yyy或fxfy例題返 回下一頁上一頁 圖 8-6xyz0 x0yO0MxTyT0(, )zf xy0( ,)zf x y返 回下一頁上一頁二、高階偏導數 設函數z=f(x,y)在區(qū)域D內具有偏導數那么在D內 都是x,y的函數.如果這兩個函數的偏導數也存在,則稱它們是函數z=f(x,y)的二階偏導數.按照對變量求導次序的 不同下列四個二階偏導數：222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y ( , ),( , )xyzzfx yfx yxy( , )( , )xyfx yfx y、2

13、22( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 返 回下一頁上一頁 二元函數z=f(x,y)在點 的偏導數有下述幾何意義. 設 為曲面z=f(x,y)上的一點,過 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ,則導數 ，即偏導數 ,就是這曲線在點 處的切線 對x軸的斜率(見圖8-6).同樣偏導數 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點 處的切線 對y軸的斜率.00(,)xy00000(,(,)Mxyf xy0M0yy0yy0( ,)zf x y00( ,)df x yxxdx00(,)xfxy0M0 xM T00(,)yfxy0 xx0M0 xM T返

14、回下一頁上一頁其中第二、第三兩個偏導數稱為混合偏導數.同樣可得三階、四階、以及n階偏導數.二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高階偏導數. 定理定理 如果函數如果函數z=f(x,y)z=f(x,y)的兩個二階混合偏的兩個二階混合偏導數導數 及及 在在D D內連續(xù)，那么在該區(qū)域內內連續(xù)，那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等這兩個二階混合偏導數必相等. .222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 222( , ),( , )yxyyzzzzfx yfx yxyy xyyy 2zy x 2zx y 例題例題返 回上一頁第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應用全微分及其應用習題下一

15、頁返 回第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應用全微分及其應用 二元函數對某個自變量的偏導數表示當另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數對x和對y的偏增量，而右端分別叫做二元函數對x和對y的偏微分. 設函數z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，并設 為這鄰域內的任意一(, )( , )( , )xf xx yf x yfx yx( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yy(,)P xx yy下一頁上一頁返 回點，則稱這兩點的函數值之差為函數在點P對應于自變量增量x、y的全增量，記作z，即 定義定義 如果函數如果函數z=f(x,y)z=

16、f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)的全增的全增量量 (1)(1)可表示為可表示為(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )zA xB yo 下一頁上一頁返 回其中其中A A、B B不依賴于不依賴于xx、yy而僅與而僅與x,yx,y有關，有關， ，則稱函數，則稱函數z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 稱為函數稱為函數z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)全微分，記作全微分，記作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函數在區(qū)域D內各

17、點處都可微分，那么稱這函數在D內可微分. 下面討論函數z=f(x,y)在點(x,y)可微分的條件. 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 如果函數如果函數z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點22()()xy A xB y dzA xB y 下一頁上一頁返 回(x,y)(x,y)可微分，則該函數在點可微分，則該函數在點(x,y)(x,y)的偏導數的偏導數 必定存在，且函數必定存在，且函數z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)的全微的全微分為分為 (3)(3) 證 設函數z=f(x,y)在點P(x,y)可微分.于是對于點P的某個鄰域內的任意點 ，(2)式總成立.特別當

18、時(2)式也應成立，這時 ，所以(2)式成為zxzyzzdzxyxy (,)P xx yyx 0y 下一頁上一頁返 回上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得從而，偏導數 存在，而且等于A.同樣可證 =B.所以三式成立.證畢.(, )( , )()f xx yf x yAxx x0 x 0(, )( , )limxf xx yf x yAx zxzy下一頁上一頁返 回 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏導數的偏導數 在在(x,y)(x,y)連續(xù)，則函數在該點可微分連續(xù)，則函數在該點可微分. . 證 因為我們只限于討論在某一區(qū)域內有定義的函數(對于偏

19、導數也如此)，所以假定偏導數在點P(x,y)連續(xù)，就含有偏導數在該點的某一鄰域內必然存在的意思.設點 為這鄰域內任意一點，考察函數的全增量zzxy、(,)xx yy(,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy下一頁上一頁返 回在第一個方括號內的表達式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數 的增量.于是應用拉格郎日中值定理，得到 又依假設， 在點 連續(xù)，所以上式可寫為(,)( ,)f xx yyf x yy( ,)( , )f x yyf x y( ,)f x yy(,)( ,)f xx yyf x yy11(,)01xfxx yyx()( , )x

20、fx y( , )x y下一頁上一頁返 回 (4)其中 為x、y的函數，且當時， . 同理可證第二個方括號內的表達式可寫為 (5)其中 為y的函數，且當 時， . 由(4)、(5)兩式可見，在偏導數連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為(,)( ,)f xx yyf x yy1( , )xfx yxx 10,0 xy 102( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yyy 20y 20下一頁上一頁返 回 容易看出它就是隨著 即 而趨于零的. 這就證明了z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的.12( , )( , )xyzfx yxfx yyxy 1212xy 0,0 xy 0例題

21、上一頁返 回第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則返 回下一頁習題第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 定理定理 如果函數如果函數 及及 都在點都在點t t可導，函數可導，函數z=f(u,v)z=f(u,v)在對應點在對應點(u,v)(u,v)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導數，則符合函數導數，則符合函數 在在t t可導，切可導，切其導數可用下列公式計算：其導數可用下列公式計算： (1)(1) 證 設t獲得增量t，這時 、 的對應增量為u 、v,由此，函數z=f(u,v)( )ut( )vt( ),( )zfttdzz duz dudtu dtv dt( )ut

22、( )vt下一頁上一頁返 回相應的獲得增量z.根據規(guī)定，函數z=f(u,v)在點(u,v)具有連續(xù)偏導數，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當 時， . 將上式兩邊各除以t，得因為當 ，時 ， ，12zzzuvuvuv 0,0uv 120,012zzuzvuvtutvttt 0t 0,0uv udutdt下一頁上一頁返 回 ，所以 這就證明符合函數 在點t可導，且其導數可用公式(1)計算.證畢. 全微分形式不變全微分形式不變 設函數z=f(u.v)具有連續(xù)偏導數，則有全微分vdvtdt0limxzz duz dvtu dtv dt( ),( )zftt下一頁上一頁返 回如果u、v又是x、y的函數

23、、 且這兩個函數也具有連續(xù)偏導數，則復合函數 的全微分為zzdzdudvuv( , )ux y( , )vx y( , ),( , )zfx yx yzzdzdxdyxy下一頁上一頁返 回其中 及 發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的 及 帶如上式，得zxzyzxzxzyzuzvzuzvdzdxdyuxv xuyv y zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv下一頁上一頁返 回由此可見，無論z是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數，它的全微分形式是一樣的.這個性質叫做全微分形式不變性.上一頁返 回一.一個方程的情形二.方程組的情形第五節(jié)第五節(jié) 隱函數的求

24、導公式隱函數的求導公式返 回習題一、一個方程的情況 隱函數存在定理隱函數存在定理1 1 設函數設函數 在點在點 的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數，且的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數，且 ， ，則方程，則方程 在點在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單質來年許具的某一鄰域內恒能唯一確定一個單質來年許具有連續(xù)導數的函數有連續(xù)導數的函數 , ,它滿足條件它滿足條件 ，并有，并有 （1 1）( , )F x y00(,)P xy00(,)0F xy00(,)0yF xy00(,)0F xy00(,)xy( )yf x00()yf xxyFdydxF 返 回下一頁 公式推導： 將方程 所確定的函數 代入，得恒等式其左端

25、可以看作是x的一個復合函數，求這個函數的全導數，由于恒等式兩端求導后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的00(,)0F xy( )yf x( ,( )0F x f x0FF dyxy dxyF00(,)0yF xy00(,)xy返 回下一頁上一頁一個鄰域，在這個鄰域內 ，于是得 如果 的二階偏導數也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復合偏導數而再求一次導，即得0yF xyFdydxF ( , )F x y22xxyyFFd ydydxxFyFdx返 回下一頁上一頁 隱函數存在定理可以判定由方程所確定的二元函數 的存在，以及這個函數的性質。隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數

26、設函數 在點在點 的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，22xxyyxxxyyyyxxyyyF FF FF FF FFFFF2232xxyxyxyyyxyF FF F FF FF( , , )0F x y z ( , )zf x y( , , )0F x y z 000( ,)P x y z返 回下一頁上一頁且且 ，則方程，則方程 在點在點 的某一鄰域內恒能的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數數 ，它滿足條件，它滿足條件 ，并，并有有 (2)將公式(2)做如下的推導，由于 將上式兩端分別對x和y求導，應用復合函

27、數求導 000000(,)0,(,)0 xF xyzF xyz( , , )0F x y z 000(,)x y z( , )zf x y000(,)zf xy,yxzzFFzzxFyF ( , ,( , )0F x y f x y返 回下一頁上一頁法則得因為 連續(xù)，且 ，所以存在點 的一個鄰域，在這個鄰域內 ，于是得0,0 xzyzzzFFFFxyzF000(,)0zF xyz000(,)xyz0zF ,yxzzFFzzxFyF 返 回下一頁上一頁二、方程組的情況 考慮方程組 (5)在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數.這種情形下我們可以由函數F、

28、G的性質來斷定方程組(5)所確定的兩個二元函數的存在，以及它們的性質.( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v返 回下一頁上一頁 隱函數存在定理隱函數存在定理3 3 設設 以及以及 在點在點 的某一鄰域內的某一鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數，又具有對各個變量的連續(xù)偏導數，又 、 ，且，且 偏導數所組成的函數行列式偏導數所組成的函數行列式 ( (或稱雅可比或稱雅可比(Jacobi(Jacobi) )行列式行列式) )：( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000

29、(,)0G xy u v(,)( , )FFF GuvJGGu vuv返 回下一頁上一頁在點在點 不等于零，則方程組不等于零，則方程組 、 在點在點 的某一鄰域內恒能唯一確定一組的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數 ， ，它們滿足條件，它們滿足條件 ， ，并有，并有0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v0000(,)xy u v( , )uu x y( , )vv x y000(,)uu xy000(,)vv xy1(,)( , )xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx uGG 返

30、回下一頁上一頁 (6)1(,)( , )uxuxuvuvFFGGuF GFFxJu xGG 1(,)( , )yvyvuvuvFFGGuF GFFyJy vGG 返 回下一頁上一頁 下面僅就公式(6)做如下推導. 由于1( ,)( , )uyuyuvuvFFGGuF GFFyJu yGG , , ( , ), ( , )0F x y u x y v x y, , ( , ), ( , )0G x y u x y v x y返 回下一頁上一頁將恒等式兩邊分別對x求導，應用復合函數求導法則得這是關于 的線性方程組，由假設可知在點 的一個鄰域，系數行列式00 xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx

31、,uvxx0000(,)P xy u v0uvuvFFJGG返 回下一頁上一頁從而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GxJx vxJu x 1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GyJy vyJu y 返 回上一頁一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用返 回習題一、空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的參數方程 (1)這里假定(1)式的三個函數都可導. 在曲線上取對應與 的一點及對應于 的鄰近一點 .根據解析幾何，曲線的割線 的方程是 ( ),( ),( )

32、xtytzt0tt000(,)M xyz0ttt000(,)M xx yy zzMM000 xxyyzzxyz返 回下一頁當 沿著趨于 ，時割線 的極限位置 就是曲線在點 處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得 令 (這t0)， 通過對上式取極限，即得 圖 8-7 曲線在點 處的切線方程MMMMTMzMMMM000 xxyyzzxyztttzxyMTM O返 回下一頁上一頁 這里當要假定 都不能為零. 切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量就是曲線通過在點 處的一個切向量. 點通過 而與切線垂直的平面稱為曲線在000000( )( )( )xxyyzztttz000( )( )( )ttt

33、、000( ),( ),( )TtttMM返 回下一頁上一頁點 處的法平面，它是通過點 而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為zM000(,)M xyz000000( )()( )()( )()0txxtyytzz返 回下一頁上一頁二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形. 設曲面由方程(9)給出， 是曲面上的一點，并設函數 的偏導數在該點連續(xù)且不同時為零.在曲線上，通過點M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數方程為z( , , )0F x y z 000(,)M xyz( , , )F x y z返 回下一頁上

34、一頁程為 (10) 對應于點 且 ， ， 不全為 零，則由(2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 8-8 ( ),( ),( )xtytztzzxyOMTn0tt000(,)M xyz0( )t0( )t0( )t000000( )( )( )xxyyzzttt返 回下一頁上一頁 引入向量 則表示(10)在點M處的切向量 z000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz0000000(,)( )(,)( )xyF xyztF xyzt000(,)( )0zF xyzt0( ),( ),( )Tttt返 回下一頁上一頁與向量n垂直.因為曲線(10)是曲面上通過點M的任

35、意一條曲線，它們在點M的切線都與同一個向量n垂直，所以曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上.這個平面稱為曲面在點M的切平面.這切平面的方程是 (12) 通過點 而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點的法線.法線方程是z00000000(,)()(,)()xyF xyzxxF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz000(,)M xyz返 回下一頁上一頁 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.向量就是曲面在點M處的一個法向量.z000000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz000000000(,),(,),(

36、,)xyzF xyzF xyzF xyz返 回上一頁一.方向導數二.梯度第七節(jié)第七節(jié) 方向導數與梯度方向導數與梯度返 回習題第七節(jié) 方向導數與梯度 一、方向導數 設函數z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內有定義.自點P引射線.設x軸正向到射線 的轉角為 ，并設 為 上的另一點(圖8-9)且 .我們考慮函數的增量 與 兩點間的距離 的比值 .當 沿著 趨于 時，如果這個比的極限存在，則稱這極ll(,)P xx yyl( )PU P(,)( , )f xx yyf x yPP、22()()xy PlP返 回下一頁 限為函數f(x,y)在點P沿 方向 的方向導數，記 作 ，即 圖 8-

37、9lyOxyPxPlfl0(,)( , )limff xx yyf x yl返 回下一頁上一頁 定理定理 如果函數如果函數z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點P(x,y)P(x,y)是可微是可微分的，那么函數在該點沿任一方向的導數都存分的，那么函數在該點沿任一方向的導數都存在且有在且有其中其中 為為x x軸到方向軸到方向 的轉角的轉角. . 證證 根據函數z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的假定，函數的增量可以表達為cossinffflxyl(,)( , )( )fff xx yyf x yxyoxy 返 回下一頁上一頁兩邊各除以 ，得到所以 (,)( , )f xx yyf x y

38、( )fxfyoxy ( )cossinffoxy返 回下一頁上一頁這就證明了方向導數存在且其值為0(,)( , )limf xx yyf x ycossinffxycossinffflxy返 回下一頁上一頁 對于三元函數u=f(x,y,z)來說，它在空間一點P(x,y,z)沿著 (設方向 的方向為)的方向導數，同樣可以定義為其中 ， 同樣可以證明，如果函數在所考慮的點處可微分，那么函數在該點沿著方向 的方向導數ll、 、0(,)( , , )limff xx yy zzf x y zl222()()()xyz cos ,x cos,cos .yz l返 回下一頁上一頁為coscoscosff

39、fflxyz返 回下一頁上一頁二、梯度 在二元函數的情形，設函數z=f(x,y)在平面區(qū)域D內具有一階連續(xù)偏導數，則對于每一點P(x,y)D，都可以定出一個向量這向量稱為函數z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作 ，即ffijxygrad ( , )f x ygrad ( , )fff x yijxy返 回下一頁上一頁 函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值. 由梯度的定義可知，梯度的模為 一般來說二元函數z=f(x,y)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數)所截得的曲線L的方程為22grad ( , )fff x

40、yxy返 回下一頁上一頁 這條曲線 在xOy面 的投影是一條平面曲 線 (圖8-10)，它 在xOy平面直角坐標 系中的方程為 圖 8-10( , )zf x yzcyOxgrad ( , )f x y1( , )f x yc( , )f x yc2( , )f x yc*LL*L( , )f x yc返 回下一頁上一頁對于曲線 上的一切點，已給函數的函數值都是c，所以我們稱平面曲線 為函數z=f(x,y)的等高線. 由于等高線f(x,y)=c上任一點P(x,y)處的法線斜率為所以梯度*L11xyxyfdyffdxf *Lffijxy返 回下一頁上一頁為等高線上點P處的法向量.因此我們可得梯度

41、與等高線的下述關系：函數z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度方向與過點P的等高線f(x,y)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線，而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數.這個法線方向就是方向導數取得最大值的方向. 對于三元函數來說，函數u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數，則對每一點 ，都可定出一個向量( , , )P x y zG返 回下一頁上一頁這向量稱為函數u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度，將它記作 ，即 如果我們引進曲面fffijkxyzgrad ( , , )f x y zgrad ( , )ffff x yij

42、kxyz( , , )f x y zc返 回下一頁上一頁為函數u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面，而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數.返 回上一頁一.多元函數的極值及最大值、最小值二.條件極值第八節(jié)第八節(jié) 多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法返 回習題第八節(jié) 多元函數的極值及其求法 一、多元函數的極值及最大值、最小值 定義定義 設函數設函數 在點在點 的的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內異于某個鄰域內有定義，對于該

43、鄰域內異于 的點的點 ：如果都適合不等式：如果都適合不等式則稱函數在點則稱函數在點 有有極大值極大值 ；如；如果都適合不等式果都適合不等式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy返 回下一頁則稱函數在點則稱函數在點 有有極小值極小值 . .極大極大值、極小值統(tǒng)稱為值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數取得極值的點稱使函數取得極值的點稱為為極值點極值點. . 以上關于二元函數的極值概念，可推廣到n 元函數.設n元函數 在點 的某一鄰域內有定義，如果對于該鄰域內有異于 的任何點 都不適合不等式 00( ,

44、 )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy( )uf P0P0PP返 回下一頁上一頁則稱函數 在點 有極大值(極小值) . 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 設函數設函數 在在點點 具有偏導數，且在點具有偏導數，且在點 處有極處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：值，則它在該點的偏導數必然為零： 證證 不妨設 在點 處有極大值.依極大值的定義，在 的某鄰00( )()( ( )()f Pf Pf Pf P( )f P0P0()f P( , )zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy( , )zf x y00(,)xy00(,)

45、xy返 回下一頁上一頁域內異于 的點 都適合不等式特殊地，該鄰域內取 而 的點，也應合適不等式這表明一元函數 在 處取得極大值，因而必有 ( , )x y00(,)xy00( , )(,)f x yf xy0yy0 xx000( ,)(,)f x yf xy0( ,)f x y0 xx00(,)0 xfxy返 回下一頁上一頁類似地可證 如果三元函數 在點 具有偏導數，則它在點 具有極值的必要條件為 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 設函數設函數 在在00(,)0yfxy( , , )uf x y z000(,)xyz000(,)xyz000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyz

46、fxyzfxyzfxyz( , )zf x y返 回下一頁上一頁點點 的某鄰域內連續(xù)且具有的某鄰域內連續(xù)且具有 一階及二階一階及二階連續(xù)偏導數，又連續(xù)偏導數，又 ， ，令，令則則 在在 處是否取得極值的條件如處是否取得極值的條件如下：下： (1) (1) 時具有極值，且當時具有極值，且當 時有極大值，當時有極大值，當 時有極小值；時有極小值； (2) (2) 時沒有極值；時沒有極值； (3) (3) 時可能有極值，也可能沒時可能有極值，也可能沒00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC( , )f x y00(

47、,)xy20ACB0A0A20ACB20ACB返 回下一頁上一頁有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論. . 二階連續(xù)偏導數的函數 的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組求得一切實數解，即可求得一切駐點. 第二步 對于每一個駐點 ，求出二階偏導數的值 和 . 第三步 定出 的符號，按定理2的( , )zf x y( , )0,( , )0 xyfx yfx y00(,)xyAB、C2ACB返 回下一頁上一頁結論判定 是否是極值、是極大值還是極小值.0( ,)f x y返 回下一頁上一頁二、條件極值 拉格朗日乘數法 上面所討論的極值問題，對于函數的自變量，除了限制在函數的定義域以外，并無其他

48、條件，所以有時候稱為無條件極值.但在實際問題中，有時會遇到對函數的自變量還有附加條件的極值問題. 例如，求表面積為 而體積為最大的長方體的體積問題.設長方體的三棱的長為 還必須滿足附加條件 .象這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.2a, ,x y z22()xyyzxza返 回下一頁上一頁 對于有些實際問題，可以把條件極值化為無條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問題，可由條件 ，將z表示成x,y的函數再把它代入 中，于是問題就化為求222()axyzxyVxyz22()xyyzxza2222()xyaxyVxy返 回下一頁上一頁的無條件極值. 但在很多情形下，將條件極值化

49、為無條件極值并不這樣簡單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題. 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數 在附加條件 下的可能極值點，可以先構成輔助函數其中 為某一常數.求其對x與y的一階偏導數，( , )zf x y( , )0 x y( , )( , )( , )F x yf x yx y返 回下一頁上一頁并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來：由這方程組解出 及 ，則其中 就是函數 在附加條件 下的可能極值點的坐標. ( , )0 x y( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y( , )f x y(

50、 , )0 x y, x y, x y返 回下一頁上一頁第八章結束第八章結束上一頁返 回總習題總習題 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個正 確的填入下列空格內： （1） 在點 可微分是 在該點連續(xù)的 充分 條件. 在點連續(xù)是 在該點可微分的 必要 條件. （2） 在點 的偏導數 及 存在是 在該點可微分的 必要 ( ,)f x y下一頁返 回( ,)x y( ,)f x y( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)f x y條件. 在點 可微分是函數在該點的偏導數 及 存在的 充分 條件. （3） 的偏導數 及 在點

51、存在且連續(xù)是 在該點可微分的 充分 條件. （4）函數 的兩個二階混合偏導數 及 在區(qū)域D內連續(xù)是這兩個二階下一頁返 回( ,)zf x y( ,)x yzxzy上一頁( ,)zf x yzxzy( ,)x y( , )f x y( ,)zf x y2zx y 2zy x 混合偏導數在D內相等的 充分 條件.2.求函數 的定義 域，并求 .3.證明極限 不存在.下一頁返 回上一頁120lim( ,)xyf x y2224( ,)ln(1)xyf x yxy22400limxyxyxy題解題解4.設求 及 .5.求下列函數的一階和二階偏導數：下一頁返 回上一頁2222222,0( ,)0,0 x

52、 yxyxyf x yxy( ,)xfx y( ,)yfx y2(1)ln()zxy(2)yzx題解題解題解6.求函數 當 時的全增量和全微分.7.設 證明： 在點(0,0)處連續(xù)且偏導數存在，但不可微分. 下一頁返 回上一頁2222223/222,0()( ,)0,0 x yxyxyf x yxy 0.03y2,1,0.01,xyx22xyzxy( ,)f x y題解題解8.設 ，而 都是可微函數，求 .9.設 具有連續(xù)偏導數，而求 .10.設 ，其中f具有連續(xù)的二階偏導數，求 . 下一頁返 回上一頁,uvwdudt( ),( )xtytyux( , ,)zf u v w,zzz( , ,)

53、,yzf u x yuxe2zx y 題解題解題解11.設 試求 和 .12.求螺旋線在點 處的切線及法平面方程.13.在曲面 上求一點，使這點處的法線垂直于平面 ，并寫出這法線的方程.下一頁返 回上一頁cos ,sin ,.uuxev yev zuvzxzycos,sin,xayazb( ,0,0)azxy290 xyz題解題解題解14.設x軸正向到方向 的轉角為 ，求函數在點(1,1)沿方向 的方向導數，并分別確定轉角 ，使這導數有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數 在橢球面上點 處沿外法線方向的方向導數.下一頁返 回上一頁l22( ,)f x yxxyyl222uxy

54、z2221xyzabc0000(,)Mxyz題解題解16.求平面 和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點.17.在第一卦限內做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點，并求此最小體積.返 回上一頁221xy1345xyz2221xyzabc題解題解解：解：求定義域 需滿足即 需滿足下一頁返 回( , )x y222224010ln(1)0 xyxyxy( , )x y22222401011xyxyxy( , )x yD而 是D的一個內點.返 回2224( , )ln(1)xyf x yxy222( , ) 40,01Dx yxyxy上一頁1,0212012

55、lim( , ),032ln4xyf x yf解：解： 設當 時， 沿 的方向趨近于零顯然，該極限隨k的 不同而改變.返 回0 x y22242420000limlimxxyyxykxxyxk x12ykx242400lim(1)1xykxkkxk解：解：當當 , ,顯然顯然 . .當當 , ,下一頁返 回(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 220 xy0 xf 220 xyxyxyxyxxyxxfxx2222220)()(lim下一頁返 回2222222220()()()lim()()xxxyxyxy xxyxxyxyx 2222222222220()()

56、()()lim()()xxxxxxyxyy xyxxxxyxy 2223)(2yxxy上一頁同理同理當當 , ,顯然顯然 . .當當 , ,返 回220 xy220 xy0yf 222222)()(yxyxxfy上一頁解：解：返 回21xZxy22yxyZy22)(1yxZxx222()xyyxyZZxy222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxZyy解：解：返 回1yxZyxxxZyyln2) 1(yxxxyyZ11lnyyxyyxZZxyxx2)(ln xxZyyy解：解：全增量返 回) 1 , 2()03. 1 ,01. 2(ffZ3203. 101. 203. 101. 2

57、222222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyZx2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxZy下一頁返 回上一頁22210 010 030 03xxyxyydzZ.Z.證明: 顯然 時, 有返 回下一頁(0 0)0f，, 022( ,)( ,)x yx yxy22222332222221 ()04()()x yxyxyxy返 回下一頁21212241)(41yx處處連連續(xù)續(xù)在在)0 , 0(),(yxf000lim)0 , 0()0 ,0(lim00 xxfxfxx又又0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf同理：同理：上一頁返 回下一頁上一頁(0

58、,0)即在處，偏導存在即在處，偏導存在yfxfZyx)0 , 0()0 , 0(而而0)0 , 0()0 ,0(fyxf232222)(yxyx222002200)(limlimyxyxyxZyxyx又：又：返 回若令若令 沿沿 方向趨近于方向趨近于0 xkyy22242222220000limlim()(1)xxyy k xxykxxykx 則則222(1)kk上一頁解解: 返 回xydudxdyuudtdtdt)( ln)( 1txxtyxyy解解: 返 回vwvwzvwZZZZ uwuwzuwZZZZuuvzuvZZZZ 解解: 返 回yuxuxZufffefxx2( )yyyyuuuu

59、yxuxyZe ffxefefxefx y uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2解解: 返 回cos ,sinyuxev yevxyarctgvyxu),ln(2122ZZuZvxuxvx222222()1 ( )yxxvuyxyx下一頁 返 回上一頁2222yxuyvyxxueuuvv)sincos(uevvvuyZ)sincos(同理：同理：解解: 返 回sin ,cos ,xayaZb 0)0 , 0 ,(對應的對應的而點而點 a, 0baT 0byaZax切線方程為切線方程為0bZay法平面方程為：法平面方程為：解解: 返 回00000(,), 1Zxyxyzyxn設曲

60、面上這點為設曲面上這點為113100 xy由題意得：由題意得：33, 1000Zxy133113) 3 , 1, 3(Zyx法線方程為：法線方程為：這點為這點為解解: 返 回cossinlfffxysin)2(cos)2(xyyx)4cos(2sincos11），（fl即：即：24時，有最大值時，有最大值（1）當（1）當245時，有最小值時，有最小值（2）當（2）當時，值為0時，值為04 47 7（3）當（3）當解解: 返 回( , , )(coscoscos )x y zxyzuuuun)cos2cos2cos2000zyx)2,2,2(),(,1222222222czbyaxFFFnczb

61、yaxFzyx則則令令下一頁 返 回下一頁)2,2,2(202020),(000czbyaxnzyx則則420420420204204204202022cosczbyaxaxczbyaxax4204204202042042042020cos,cosczbyaxazczbyaxay上一頁 返 回420420420220220220),(222000czbyaxczbyaxnuzyx上一頁解解: 返 回221xy由由題題意意得得，就就是是要要在在的的條條件件下下有有最最小小值值使使)431 (5yxZ得得：令令0)1 ()431 (522fffyxyxfyx由由010245023522yxyx下一

62、頁 返 回上一頁最短點最短點與面與面為為xoyZyx)1235,53,54(123553,54,2425解解: 返 回下一頁000000000222(,)222()()()()()()0 xyzxyzxxyyzzabc設切點,則切平面方程為設切點,則切平面方程為), 0 , 0);0 , 0);0 , 0 ,0)()()(020202020020020zcybxazzazyybyxxax（：則與三點坐標軸交點為則與三點坐標軸交點為即即上一頁 返 回下一頁2220001,6a b cUx y z即為最小值即為最小值則有則有, ,設設令令0)1 (61000202020000222ffffczby

63、axzyxcbafzyx上一頁 返 回下一頁102161021610181220220220202200022220220002222022000222czbyaxczzyxcbabyyzxcbaaxxzycba上一頁 返 回abccbaabcczbyax3),3,3,3(343,3,3,3000極值為極值為所求點為所求點為解得：解得：上一頁習習 題題 8-18-11.已知函數 試 求 .2.試證函數 滿足關系式.3.以知函數 ，試求 .22( , )tanxf x yxyxyy(,)f tx ty(,)( , )( , )( , )( , )F xy uvF x uF x vF y uF y

64、 v( , )lnlnF x yxy下一頁返 回( , , )wu vf u v wuw(,)f xy xy xy4.求下列各函數的定義域：下一頁返 回2(1)ln(21)zyx上一頁11(2)zxyxy(3)zxy22(4)ln()1xzyxxy5.求下列各極限：下一頁返 回222222221(5)(0)zRxyzxyzrRr上一頁22(6)arccoszzxy22011(1)limxyxyxy2210ln()(2)limyxyxexy6.證明下列極限不存在：下一頁返 回上一頁20sin()(5)limxyxyy2210ln()(2)limyxyxexy0024(3)limxyxyxy222

65、222001 cos()(6)lim()x yxyxyxy e00(1)limxyxyxy2222200(2)lim()xyx yx yxy7.函數 在何處是間斷的？8.證明 .2222yxzyx上一頁返 回2210lim0 xyxyxy例例1 1 圓柱體的體積 和它的底半徑 、高 之間具有關系這里，當 、 在集合 內取定一對值 時， 的對應值就隨之確定.例例2 2 一定量的理想氣體的壓強 、體積 和絕對溫度 之間具有關系Vrh2Vr hrh( , )0,0r h rh( , )r hVpVTRTpV下一頁返 回其中 為常數.這里，當 、 在集合 內取定一對值 時，的值就隨之確定.例例3 3

66、設 是電阻 并聯(lián)后的總電阻，由電學知道，它們之間具有關系這里，當 在集合 內取定一對值 時， 的對應值就隨之確定.VTp12RR、R( , )0,0V T VT( , )V TR1212R RRRR12RR、1212(,)0,0R RRR12()RR、R上一頁返 回例例4 4 設求證證證 因為可見，對任給 ，取 則當2222221( , )()sin(0)f x yxyxyxy00lim( , )0 xyf x y222222222211()sin0sinxyxyxyxyxy0下一頁返 回時，總有成立，所以220(0)(0)xy22221()sin0 xyxy00lim( , )0 xyf x y下一頁上一頁返 回例例5 5 求解 這里 在區(qū)域 和區(qū)域 內都有定義， 同時為 及 的邊界點.但無論在 內還是在 內考慮，下列運算都是正確的：1( , )0Dx y x0(0,2)P1D02sin()limxyxyxsin()( , )xyf x yx2( , )0Dx y x2D1D2D0022sin()sin()limlimlim1 22xxyyyxyxyyxx上一頁返 回例例6 6 求