2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考大題專項(xiàng)練
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高考大題專項(xiàng)練四 高考中的立體幾何
一、非選擇題
1.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).
(1)證明:PO⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.
答案:(1)證明因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),
所以O(shè)P⊥AC,且OP=23.
連接OB,因?yàn)锳B=BC=22AC,
所以△ABC為等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=12AC=2.
由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)解作CH⊥OM,垂足為H.
又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.
由題設(shè)可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.
所以O(shè)M=253,CH=OC·MC·sin∠ACBOM=455.
所以點(diǎn)C到平面POM的距離為455.
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:
(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD;
(3)EF∥平面PCD.
答案:證明(1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.
因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,
所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,
所以AB⊥PD.
又因?yàn)镻A⊥PD,所以PD⊥平面PAB.
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,DG.
因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn),
所以FG∥BC,FG=12BC.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),
所以DE∥BC,DE=12BC.
所以DE∥FG,DE=FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.
所以EF∥DG.
又因?yàn)镋F?平面PCD,DG?平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E⊥平面ABCD.
(1)證明:A1O∥平面B1CD1;
(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
答案:證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C.
又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因?yàn)锳C⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以A1E⊥BD,因?yàn)锽1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
4.如圖,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,點(diǎn)E在A1D上.
(1)證明:AA1⊥平面ABCD;
(2)當(dāng)A1EED為何值時(shí),A1B∥平面EAC,并求出此時(shí)三棱錐D-AEC的體積.
答案:(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,
所以AB=AD=AC=2.
在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥AB.
同理,AA1⊥AD.
又因?yàn)锳B∩AD于點(diǎn)A,所以AA1⊥平面ABCD.
(2)解當(dāng)A1EED=1時(shí),A1B∥平面EAC.
證明如下:連接BD交AC于O,當(dāng)A1EED=1,
即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時(shí),連接OE,
則OE∥A1B,所以A1B∥平面EAC.
設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF.
則EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1,
可求得S△ACD=3.
所以VE-ACD=13×1×3=33,
即VD-AEC=VE-ACD=33.
5.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn).過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.
(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;
(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=π3,求四棱錐B-EB1C1F的體積.
答案:(1)證明因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥CC1.
又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.
因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.
又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)解AO∥平面EB1C1F,AO?平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN,故AO∥PN.
又AP∥ON,故四邊形APNO是平行四邊形,
所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.
因?yàn)锽C∥平面EB1C1F,所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離.
作MT⊥PN,垂足為T,則由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,
故MT=PMsin∠MPN=3.
底面EB1C1F的面積為12×(B1C1+EF)×PN=12(6+2)×6=24.
所以四棱錐B-EB1C1F的體積為13×24×3=24.
6.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.
(1)證明:G是AB的中點(diǎn);
(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
答案:(1)證明因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD.
因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.
所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).
(2)解在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,
所以EF⊥PA,EF⊥PC.
因此EF⊥平面PAC,
即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.
連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,
所以D是正三角形ABC的中心.
由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,
故CD=23CG.
由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,
所以DE∥PC,
因此PE=23PG,DE=13PC.
由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面體PDEF的體積V=13×12×2×2×2=43.
7.如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23DA,求三棱錐Q-ABP的體積.
答案:(1)證明由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.
又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.
又BP=DQ=23DA,所以BP=22.
作QE⊥AC,垂足為E,則QE13DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱錐Q-APB的體積為VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.
8.(2021浙江,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn),PD⊥DC,PM⊥MD.
(1)證明:AB⊥PM;
(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.
答案:(1)證明在△CDM中,DC=1,MC=2,∠DCM=60°,
則DM=3,所以CD⊥DM.
又因?yàn)镃D⊥PD,所以CD⊥平面PDM.
因此CD⊥PM.
又因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥PM.
(2)解連接AC交DM于點(diǎn)E,過E作EF∥AN交PC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FH∥CD,交PD于H,連接HE.
由(1)知CD⊥平面PDM,所以FH⊥平面PDM.
故∠FEH是直線AN與平面PDM所成的角.
由(1)知PM⊥CD,又已知PM⊥MD,
所以PM⊥平面ABCD.
連接AM,在平行四邊形ABCD中,AM=7,AC=21.
在直角△PMA中,由PA=15,AM=7得PM=22.
在直角△PMC中,由PM=22,MC=2得PC=23.
在△PAC中,由PA=15,PC=23,AC=21得AN=15.
在平行四邊形ABCD中,ECAC=13,
所以EFAN=FCNC=13,故EF=153,HF=56,
在直角△FHE中,sin∠FEH=HFEF=156.
因此,直線AN與平面PDM所成角的正弦值為156.
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