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1、第五節(jié) 合情推理與演繹推理
1. (2020·合肥模擬)，，2，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A. an＝ B. an＝
C. an＝ D. an＝
2. 利用歸納推理推斷，當(dāng)n是自然數(shù)時(shí)，(n2－1)[1－(－1)n]的值( )
A. 一定是零 B. 不一定是整數(shù)
C. 一定是偶數(shù) D. 是整數(shù)但不一定是偶數(shù)
3. 對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類(lèi)比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的( )
A. 一條中線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是中心
B. 一條垂線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是垂心
C. 一條角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心
2、D. 中心
8. (2020·寧波模擬)在計(jì)算“＋＋…＋(n∈N*)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：
先改寫(xiě)第k項(xiàng)：＝－，
由此得＝－，＝－，…，＝－，
相加，得＋＋…＋＝1－＝.
類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“＋＋…＋(n∈N*)”，其結(jié)果為_(kāi)_______．
9. (2020·浙江)設(shè)n≥2，n∈N，n－n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為T(mén)n，則T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…，其中Tn＝________.
10. (2020·浙江五校聯(lián)考)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖甲、乙、丙、丁為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，
3、這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形，則f(n)的表達(dá)式為_(kāi)_______(n∈N*)．
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■ ■ ■ 圖乙
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圖丙 ■ ■ ■
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4、 ■
圖甲 圖丁
11. (2020·南京模擬)一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測(cè)時(shí)，如圖1，發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形的島嶼(邊長(zhǎng)為)；第二次觀測(cè)時(shí)，如圖2，發(fā)現(xiàn)它每邊中央處還有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次觀測(cè)時(shí)，如圖3，發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央處又有一向外突出的正三角形海岬，把這個(gè)過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學(xué)模型——柯克島．
把第1,2,3，…，n次觀測(cè)到的島的海岸線(xiàn)長(zhǎng)記為a1，a2，a3，…，an，試求a1，a2，a3的值及an的表達(dá)式．
圖
5、1 圖2 圖3
12. (2020·濰坊模擬)設(shè)集合A中不含有元素－1,0,1，且滿(mǎn)足條件：若a∈A，則有∈A，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：
(1)已知2∈A，求出A中其他所有元素；
(2)自己設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)屬于A，再求出A中其他所有元素；
(3)根據(jù)已知條件和前面(1)(2)你能悟出什么道理來(lái)，并證明你的猜想．
答案
9. 解析：觀察Tn表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出T2＝0，T4＝0，…，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝0；T3＝－，T5＝－，…， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝－.
10. f(n)＝2n2－2n＋1 解析：由f(1)＝1，
6、f(2)＝1＋3＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f(n)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＋…＋3＋1
∴f(n)＝2×＋(2n－1)＝2n2－2n＋1.
11. 由題意知，a1＝3，a2＝3×＝4，a3＝3×2＝.
因?yàn)榈谝粋€(gè)圖形的邊長(zhǎng)為，從第二個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，所以第n個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為n－1；
第一個(gè)圖形的邊數(shù)為3，從第二個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊數(shù)均為上一個(gè)圖形邊數(shù)的4倍，所以第n個(gè)圖形的邊數(shù)為3×4n－1.
因此an＝3n－1.
12. (1)由2∈A，則＝－3∈A?＝－∈A?＝∈A?＝2∈A，所以集合A＝.
(2)任取一常數(shù)，如3∈A，則同(1)可得：A＝.
(3)猜想任意的a≠±1，a≠0，a∈A，則集合A＝.下面作簡(jiǎn)要證明：a∈A，則∈A?＝－∈A?＝∈A?＝a∈A.這四個(gè)元素互不相等，否則a＝±1或a＝0.
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