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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋。證明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.
【解析】證明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，
∴g(0)·g()<0.
又函數(shù)g(x)在[0，]上連續(xù)，
所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
例2 已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求的取值范圍，并求出該零點.
【解析】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根.
設(shè)2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋
2、1＝0.
當(dāng)Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1不合題意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合題意.
當(dāng)Δ＞0，即m＞2或m＜－2時，
t2＋mt＋1＝0有一正一負(fù)根，
即t1t2＜0，這與t1t2＞0矛盾.
∴這種情況不可能.
綜上可知：m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為＝0.
創(chuàng)新題型
1、若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)有極值－.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍。]
2、已知函數(shù)
（I
3、）求在區(qū)間上的最大值
（II）是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。
3、設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。
參考答案
1.【解析】由題意可知f′(x)＝3ax2－b，
(1)于是
故所求的解析式為f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x
4、－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.
當(dāng)x變化時f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：
X
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
因此，當(dāng)x＝－2時，f(x)有極大值；
當(dāng)x＝2時，f(x)有極小值－.
所以函數(shù)的大致圖象如圖.故實數(shù)k的取值范圍是－＜k＜.
綜上，
（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)
的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。
當(dāng)時，是增函數(shù)；
當(dāng)時，是減函數(shù)；
當(dāng)時，是增函數(shù)；
當(dāng)或時，
當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，
要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須
即
所以存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為
3.【解析】因為
（1）令
或x>0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（－2，－1）和（0，+∞）； 令
的單調(diào)減區(qū)間（－1，0）和（－∞，－2）。
（2）令（舍），由（1）知，f(x)連續(xù)，
因此可得：f(x)e2－2
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